2024-2025學年新教材高中數學第九章解三角形9.2正弦定理與余弦定理的應用學案新人教B版必修第四冊

PAGE9.2正弦定理與余弦定理的應用必備學問·自主學習1.實際測量中的有關名稱、術語【提示】對常見術語的幾點說明(1)仰角與俯角是指目標視線與水平視線的夾角,水平視線易與鉛垂線混淆.(2)方位角中的順時針易記錯為逆時針.2.解三角形實際問題的流程1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)已知三角形的三個角,能夠求其三條邊()(2)兩個不行到達的點之間的距離無法求得()(3)方位角和方向角是一樣的()提示:(1)×.要解三角形,至少知道這個三角形的一條邊長.(2)×.兩個不行到達的點之間的距離我們可以借助第三個點和第四個點量出角度、距離求得.(3)×.方位角是指從正北方向順時針轉到目標方向線的水平角,而方向角是以觀測者的位置為中心,將正北或正南方向作起始方向旋轉到目標方向線所成的角(一般指銳角).2.如圖,在河岸AC測量河的寬度BC,測量下列四組數據,較相宜的是()A.γ,c,α B.b,c,αC.c,α,β D.b,α,γ【解析】選D.a,c均隔河,故不易測量,測量b,α,γ更合適.3.兩燈塔A,B與海洋視察站C的距離都等于akm,燈塔A在C北偏東30°,B在C南偏東60°,則A,B之間的距離為()A.QUOTEakm B.QUOTEakm C.akm D.2akm【解析】選A.在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=90°,所以AB=QUOTEakm.4.有一個長為1千米的斜坡,它的傾斜角為75°,現要將其傾斜角改為30°,則坡底要伸長_______千米【解析】如圖,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,QUOTE=QUOTE,所以AC=AB·QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關鍵實力·合作學習類型一測量高度問題(數學運算)1.如圖,從山頂望地面上C,D兩點,測得它們的俯角分別為45°和30°,已知CD為100m,點C位于BD上,則山高AB等于()A.100m B.50QUOTEmC.50QUOTEm D.50(QUOTE+1)m2.在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是()A.20QUOTEm B.20(1+QUOTE)mC.10(QUOTE+QUOTE)m D.20(QUOTE+QUOTE)m【解析】1.選D.設山高為h,則由題意知CB=h,DB=QUOTEh,所以QUOTEh-h=100,即h=50(QUOTE+1).2.選B.如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,所以AB=CD=20m,BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20QUOTEm,所以BE=BC+CE=(20+20QUOTE)m.解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖:依據已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形:分析與問題有關的三角形.(3)求解:運用正、余弦定理,有序地解相關的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運用立體幾何學問與平面幾何學問,留意方程思想的運用.【補償訓練】某愛好小組要測量電視塔AE的高度H(單位:m).如圖所示,豎直放置的標桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測得一組α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,請據此算出H的值.【解析】由AB=QUOTE,BD=QUOTE,AD=QUOTE及AB+BD=AD得QUOTE+QUOTE=QUOTE,解得H=QUOTE=QUOTE=124.因此電視塔的高度H是124m.類型二測量角度問題(數學運算)【典例】甲船在A點發(fā)覺乙船在北偏東60°的B處,乙船以每小時a海里的速度向北行駛,已知甲船的速度是每小時QUOTEa海里,問甲船應沿著什么方向前進,才能最快與乙船相遇?【思路導引】假設兩船在C點相遇,甲船沿方向行駛,把問題轉化為在三角形ABC內求∠CAB來求解.【解析】如圖所示.設經過t小時兩船在C點相遇,則在△ABC中,BC=at(海里),AC=QUOTEat(海里),B=90°+30°=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sin∠CAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因為0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°,所以甲船應沿著北偏東30°的方向前進,才能最快與乙船相遇.測量角度問題畫示意圖的基本步驟在一次抗洪搶險中,某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉動,失去動力的救生艇在洪水中漂行,此時,風向是北偏東30°,風速是20km/h;水的流向是正東,流速是20km/h,若不考慮其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_______,大小為_______km/h.

【解析】如圖,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20QUOTE,∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE類型三測量距離問題(邏輯推理、數學運算)角度1兩點不行到達的距離問題

【典例】如圖,A,B兩點都在河的對岸(不行到達),設計一種測量A,B兩點間距離的方法.【思路導引】在岸邊選定兩點C,D,分別在△ADC和△BDC中,構建方程求解.【解析】測量者可以在河岸邊選定兩點C,D,測得CD=a,并且在C,D兩點分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,應用正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE,BC=QUOTE=QUOTE.計算出AC和BC后,再在△ABC中,應用余弦定理計算出A,B兩點間的距離AB=QUOTE.角度2兩點在障礙物兩側的距離問題

【典例】如圖所示,要測量一水塘兩側A,B兩點間的距離,先選定適當的位置C,用經緯儀測出角α,再分別測出AC,BC的長b,a,則可求出A,B兩點間的距離.即AB=QUOTE.若測得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,試計算AB的長.【思路導引】在△ABC中,運用余弦定理求解.【解析】在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000.所以AB=200QUOTE(m).即A,B兩點間的距離為200QUOTE三角形中與距離有關的問題的求解策略(1)解決與距離有關的問題,若所求的線段在一個三角形中,則干脆利用正、余弦定理求解即可;若所求的線段在多個三角形中,要依據條件選擇適當的三角形,再利用正、余弦定理求解.(2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊,分析所解三角形中已知哪些元素,還須要求出哪些元素,敏捷應用正、余弦定理來解決.1.(2024·成都高一檢測)某船在A處測得燈塔D在其南偏東60°方向上,該船接著向正南方向行駛5海里到B處,測得燈塔D在其北偏東60°方向上,然后該船向東偏南30°方向行駛2海里到C處,此時船到燈塔D的距離為_______海里()

A.QUOTEB.QUOTEC.6D.5【解析】選A.依據題意可畫圖形(如圖),因為在A處測得燈塔D在其南偏東60°方向上,即∠BAD=60°,船接著向正南方向行駛5海里到B處,即AB=5,在B處測得燈塔D在其北偏東60°方向上,即∠ABD=60°,所以△ABD為一個等邊三角形,即AB=BD=5,船向東偏南30°方向行駛2海里到C處,依據圖形可得∠DBC=60°且BC=2,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=25+4-2×5×2×QUOTE=19,解得CD=QUOTE.2.(2024·合肥高一檢測)炮兵陣地A在視察哨M的南偏東30°方向,在視察哨N的南偏西15°方向,若視察哨N在M的正東方向相距akm處,現視察哨M發(fā)覺炮擊目標B在M的北偏東45°方向,視察哨N發(fā)覺目標B位于N的北偏西75°方向,則陣地A到目標B的距離為()A.QUOTEkmB.QUOTEkmC.QUOTEkmD.QUOTEkm【解析】選A.依題意可得如下圖形:則在△AMN中∠AMN=60°,A=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,解得AN=QUOTEa,在△BMN中∠BMN=45°,B=120°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以BN=QUOTEa,在△BNA中∠ANB=180°-(15°+75°)=90°,所以AB2=AN2+BN2=QUOTE+QUOTE=QUOTEa2,所以AB=QUOTEa.【補償訓練】(2024·武漢高一檢測)如圖所示,為了測量A、B處島嶼的距離,小明在D處觀測,A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛10海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A、B兩島嶼的距離為_______海里.()

A.5QUOTEB.10QUOTEC.10QUOTED.20QUOTE【解析】選A.連接AB,由題意可知:CD=10,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠DAC=45°,∠ADB=60°.在△ADC中,由正弦定理可知:QUOTE=QUOTE?AD=5QUOTE.在Rt△BCD中cos∠BDC=QUOTE?BD=10QUOTE.在△ABD中,由余弦定理可知:AB=QUOTE=5QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.學校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4m,∠A=30°,則其跨度AB的長為()A.12m B.8m C.3QUOTEm D.4QUOTEm【解析】選D.由題意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE=4QUOTEm.2.一艘船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處,則這只船的航行速度為()A.QUOTEnmile/h B.34QUOTEnmile/hC.QUOTEnmile/h D.34QUOTEnmile/h【解析】選A.如圖所示,在△PMN中,QUOTE=QUOTE,所以MN=QUOTE=34QUOTE,所以v=QUOTE=QUOTEnmile/h.3.如圖所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以計算出A,B兩點的距離為()A.50QUOTEm B.50QUOTEmC.25QUOTEm D.QUOTEm【解析】選A.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又因為∠ABC=30°,所以AB=QUOTE=QUOTE=50QUOTE(m).4.(教材二次開發(fā):練習改編)如圖,漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12km,漁船乙以10km/h的速度從島嶼A動身沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處動身沿北偏東α的方向追逐漁船乙,剛好用2小時追上.則漁船甲的速度為_______,sinα=_______.

【解析】(1)由已知得AB=12km,AC=20km,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×QUOTE=784,所以BC=28km,所以漁船甲的速度v甲=QUOTE=14(km/h).(2)在△ABC中∠BCA=α,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinα=QUOTE.答案:14km/hQUOTE課時素養(yǎng)評價三正弦定理與余弦定理的應用(15分鐘30分)1.海上有A,B兩個小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°的視角,從B島望C島和A島成75°的視角,則B,C間的距離是 ()A.10QUOTEnmile B.QUOTEnmileC.5QUOTEnmile D.5QUOTEnmile【解析】選D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得BC=5QUOTE(nmile).2.(2024·成都高一檢測)某船在海平面A處測得燈塔B在北偏東60°方向,與A相距6千米處.該船由A處向正北方向航行8千米到達C處,這時燈塔B與船相距 ()A.2QUOTE千米 B.2QUOTE千米C.6千米 D.8千米【解析】選A.由題意,畫示意圖如圖:已知AB=6,AC=8,∠A=60°,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA=64+36-2×8×6×QUOTE=52,所以BC=QUOTE=2QUOTE.所以燈塔B與船之間的距離為2QUOTE3.(2024·天津高一檢測)如圖,某景區(qū)欲在兩山頂A,C之間建纜車,須要測量兩山頂間的距離.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°,山頂C的仰角為60°,∠BED=120°,則兩山頂A,C之間的距離為 ()A.2QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】選C.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠BED=120°,所以BE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,DE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;在△BED中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2·BE·DE·cos∠BED=3+3-2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=9,所以BD=3;所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即兩山頂A,C之間的距離為QUOTEkm.4.(2024·襄陽高一檢測)如圖,有一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛,汽車在A點測得馬路北側山頂D的仰角為30°,汽車行駛300m后到達B點測得山頂D在北偏西30°方向上,且仰角為45°,則山的高度CD為 ()A.150QUOTEm B.150mC.300QUOTEm D.300m【解析】選D.由題意可知:∠DAC=30°,∠DBC=45°,因為汽車到B點,測得D在北偏西30°方向上,所以∠ABC=120°.設山的高度為h,在Rt△DCA中,tan∠DAC=QUOTE?AC=QUOTEh.在Rt△DBC中,tan∠DBC=QUOTE?BC=h.在△BCA中,由余弦定理可得:AC2=BC2+AB2-2·BC·AB·cos∠ABC?h2-150h-45000=0?h=300,h=-150(舍去).5.某人從A處動身,沿北偏東60°行走3QUOTEkm到B處,再沿正東方向行走2km到C處,則A,C兩地的距離為km.

【解析】如圖所示,由題意可知AB=3QUOTE,BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,AC=7.則A,C兩地的距離為7km.答案:76.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的寬度.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).如圖作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以CD=60,所以河的寬度為60m.(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點,在甲、乙兩點測得塔頂的仰角分別為45°,30°,在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°,甲、乙兩地相距500m,則電視塔在這次測量中的高度是 ()A.100QUOTEm B.400m C.200QUOTEm D.500m【解析】選D.由題意畫出示意圖,設高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=QUOTEh,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,解得h=500或h=-250(舍).2.如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC=10m,吊桿AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,則起吊的貨物與岸的距離AD為 ()A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】選B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEm,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×QUOTE=QUOTEm.3.(2024·六安高一檢測)小趙開車從A處動身,以每小時40千米的速度沿南偏東40°的方向直線行駛,30分鐘后到達B處,此時,小王發(fā)來微信定位,顯示他自己在A的南偏東70°方向的C處,且A與C的距離為15QUOTE千米,若此時,小趙以每小時52千米的速度開車直線到達C處接小王,則小趙到達C處所用的時間大約為QUOTE()A.10分鐘 B.15分鐘 C.20分鐘 D.25分鐘【解析】選B.依據條件可得∠BAC=30°,AB=20,AC=15QUOTE,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos30°=175,則BC=5QUOTE≈13(千米),由B到達C所需時間約為QUOTE=0.25小時=15分鐘.4.(2024·鄭州高一檢測)馬爾代夫群島是世界上風景最為美麗的群島之一,如圖所示,為了測量A,B兩座島之間的距離,小船從初始位置C動身,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏東15°的方向上,現在船往東開2百海里到達E處,此時測得B在E的北偏西30°的方向上,再開回C處,由C向西開2QUOTE百海里到達D處,測得A在D的北偏東22.5°的方向上,則A,B兩座島之間的距離為百海里 ()

A.3 B.3QUOTE C.4 D.4QUOTE【解析】選B.由題意,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,在△ADC中,可得∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2QUOTE,在△BCE中,可得∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=45°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,可得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=QUOTE+QUOTE-2×2QUOTE×QUOTEcos60°=18,所以AB=3QUOTE.【補償訓練】(2024·福州高一檢測)甲船在島B的正南方A處,AB=10千米,甲船以每小時4千米的速度向正北航行,同時乙船自B動身以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛去,當甲、乙兩船相距最近時,它們所航行的時間是 ()A.QUOTE分鐘B.QUOTE分鐘C.21.5分鐘 D.2.15分鐘【解析】選A.假設經過x小時兩船相距最近,甲、乙分別行至C,D,如圖所示,可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×QUOTE=28x2-20x+100,當x=QUOTE小時,即航行QUOTE分鐘時距離最小.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.某人在A處向正東方向走xkm后到達B處,他向右轉150°,然后朝新方向走3km到達C處,結果他離動身點恰好QUOTEkm,那么x的值可能是 ()A.QUOTEB.2QUOTEC.3QUOTED.3【解析】選AB.由題意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿,甲觀測的仰角為50°,乙觀測的仰角為40°,用d1,d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離,那么有 ()A.d1>d2B.d1<d2C.d1<20m D.d2<20m【解析】選BC.如圖,設旗桿高為h,則d1=QUOTE,d2=QUOTE.因為tan50°>tan40°,所以d1<d2.又因為tan50°>tan45°=1,所以d1<20m.【補償訓練】(2024·濟南高一檢測)《數書九章》是中國南宋時期杰出數學家秦九韶的著作,全書十八卷共八十一個問題,分為九類,每類九個問題,《數書九章》中記錄了秦九韶的很多創(chuàng)建性成就,其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a,b,c求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上,以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實,一為從隅,開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,即S=QUOTE.現有△ABC滿意sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面積S△ABC=6QUOTE,請運用上述公式推斷下列命題正確的是()A.△ABC周長為10+2QUOTEB.△ABC三個內角A,C,B成等差數列C.△ABC外接圓直徑為QUOTED.△ABC中線CD的長為3QUOTE【解析】選ABC.由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶QUOTE,設a=2m,b=3m,c=QUOTEmQUOTE,所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得m=2(負值舍去),所以△ABC的周長為a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正確;由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE,因為A+B+C=π,所以A+B=QUOTE,即2C=A+B,所以三個內角A,C,B成等差數列,B正確;由正弦定理知外接圓直徑為2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正確;由中線定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D錯誤.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,A,B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地須經C地沿折線A-C-B行駛,現開通隧道后,汽車干脆沿直線AB行駛.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,則隧道開通后,汽車從A地到B地比原來少走.(結果精確到0.1km)(參考數據:QUOTE≈1.41,QUOTE≈1.73)

【解析】過點C作CD⊥AB,垂足為D.在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10km,CD=AC·sin30°=5(km),AD=AC·cos30°=5QUOTE(km).在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),BC=QUOTE=5QUOTE(km).AB=AD+BD=(5QUOTE+5)(km),AC+BC-AB=10+5QUOTE-(5QUOTE+5)=5+5QUOTE-5QUOTE≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).答案:3.4km8.地平面上一旗桿設為OP,為測得它的高度h,在地平面上取一基線AB,AB=200m,在A處測得P點的仰角∠OAP=30°,在B處測得P的仰角∠OBP=45°,又測得∠AOB=60°,則旗桿的高h為m.

【解析】如圖,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200m.在△AOP中,因為OP⊥OA,所以∠AOP=90°,則OA=QUOTE=QUOTEh,同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,所以OB=OP=h.在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即2002=3h2+h2-2QUOTEh2·cos60°,解得h=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·上海高一檢測)如圖,為測量山高MN,選擇水平地面上一點A和另一座山的山頂C為測量觀測點,從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高MN.【解析】在△ABC中,因為∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,所以AC=QUOTE=100QUOTE.在△AMC中∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AM=100QUOTE.在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=100QUOTE×sin60°=150,故山高MN是150m.10.(2024·濟南高一檢測)如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200m,斜邊AB=400m.現有甲、乙、丙三位小摯友分別在AB,BC,AC大道上游戲,(1)若甲、乙都以每分鐘100m的速度從點B動身在各自的大道上奔跑,乙比甲遲2分鐘動身,當乙動身1分鐘后到達E,甲到達D,求此時甲、乙兩人之間的距離;(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點D,E,F.設∠CEF=θ,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且∠DEF=QUOTE,請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數,并求甲、乙之間的最小距離.【解析】(1)依題意得BD=300,BE=100,在△ABC中cosB=QUOTE=QUOTE,所以B=QUOTE,在△BDE中由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcosB=3002+1002-2×300×100×QUOTE=70000,所以DE=100QUOTE.答:甲、乙兩人之間的距離為100QUOTE(2)由題意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在Rt△CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE所以y=QUOTE=QUOTE,0≤θ≤QUOTE,所以當θ=QUOTE時,y有最小值50QUOTE.答:甲、乙之間的最小距離為50QUOTE1.如圖,從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高度AD是60m,則河流的寬度BC是 ()A.240(QUOTE-1)m B.180(QUOTE-1)mC.120(QUOTE-1)m D.30(QUOTE+1)m【解析】選C