大學物理(1質(zhì)點力學)

大學物理（一）力學

主講:劉維一

參考書：

《大學物理》（新版）上冊，吳百詩主編科學出版社

《大學物理（新版）學習指導》，張孝林主編，科學出版社

基礎知識：

矢量：有大小，有方向，加法符合平行四邊形法則

微積分：導數(shù)：求變化率的數(shù)學運算

積分：求和的數(shù)學運算

第一章質(zhì)點運動學

第一節(jié)質(zhì)點的概念

有質(zhì)量，沒有體積

質(zhì)點是理想模型。

忽略了物體的形狀、大小所產(chǎn)生的效果,突出了質(zhì)量、位置和

力三者之間的主要矛盾

質(zhì)點f質(zhì)點組f剛體f彈性f振動f波

第二節(jié)位移矢量與運動學方程

質(zhì)點位置的確定方法：

1、選定參照點

2、從參照點到質(zhì)點作一矢量干

用矢量不即可確定質(zhì)點的位置

質(zhì)點的運動學方程

當質(zhì)點在空間移動時，質(zhì)點的位置矢量隨時間發(fā)生變化:

r=r(f)

這就是質(zhì)點的運動學方程

直角坐標系下的運動學方程

選擇直角坐標系oxyz

r=尸。)=xQ)：+y(t)j+z(t)k

分量形式：x=x(f)

z=z(。

i,j,k分別表示x,y,z三個方向，其大小為1o

直角坐標系的特點：三個基矢量的方向不變。

由質(zhì)點的運動學方程可以得到質(zhì)點的全部運動信息：軌跡、速度、

加速度

例：質(zhì)點的運動學方程為:

x=Rcos(t)

y=Rsin(t)

消去時間t即得到軌跡方程：

X2+y2=R2

第三節(jié)由位移求速度和加速度(重點)

位置矢量與位移矢量的方向

Ar=r(z+A/)-r(^)

速度是位移隨時間的變化率

一1.Ardr

v=hm77=7

△—o出

速度就是運動學方程對時間求導數(shù)運算

在直角坐標系下:

_沂dx；dy；dz丁；r1

v=——二—iH------1H-------k=vi+vi+v.k

dtdtdtdt

分量形式為:dx(t)

v.二-----

Adt

V=--------

dt

dz(t)

匕dt

匕匕

速度的大小:J2+—+2

例題1、質(zhì)點的運動學方程為:

7=10：+15^+5衣

求：t=o,1秒時的速度。

解:

d一_l

v=—(10/+15tj+5t2k)

dt

=—10l+—15tj+—5t2k

dtdtdt

=15；+10^

加速度是速度隨時間的變化率

加速度就是速度對時間求導數(shù)運算

也是運動學方程對時間求二階導數(shù)

_dEd.dr.d2f

a=———(—)——Y

dtdtdtdt

在直角坐標系下速度表示為：

_dv-dv_dv

a=-x-iH----jH----7kr

dtdt'dt

d2x-d2y-d2zr

=—丁iH-----J-----rk

dtdtdt

寫成分量形式為:

2

dvdx

a=——r=-----

2

Xdtdt

dvd2y

a=——=——

2

ydtdt

dv.d2z

d=----=-----

zdtdr

加速度的大小：a=1a；+Q：+42

書中的例題1.1,1.4(P.6；P.15)

一質(zhì)點作勻速圓周運動，半徑為r,角

速度為3，

求：直角坐標系中的運動學方程。

運動學方程：x=Rcos(31)

y=Rsin(31)

消去時間3得到軌跡方程:

為圓周運動

運動學方程對時間求導得速度:

Vx=-R3sin(3t)~Vsin(31)

Vy=Racos(3t)=Vcos(31)

V=Ra

222

速度的大?。篤=vx+vy

速度對時間求導得加速度:

ax=-Racos(31)

2

ay=-R3sin(?t)

Rw2=(R232)/R=V2/R向心加速度

a=ax+ay'

書中例題：（）（重點）

L2,L6p.7;p.l7y

B

直桿AB兩端可以分別在兩固定且相

互垂直的直導線槽上滑動，已知桿的_/_______

傾角（P=3t隨時間變化，其中3為...

常量。

求：桿中M點的運動學方程。

解：運動學方程為：x=acos（3t）

y=bsin（?t）

消去時間t得到軌跡方程：

x2/a2+y2/b2=1橢圓

運動學方程對時間t求導數(shù)得速度：

Vx=dx/dt=-aasin(?t)

Vy=dy/dt=bacos(?t)

速度對時間t求導數(shù)得加速度:

a*=dvx/dt=-aa2cos(31)

ay=dVy/dt=-b32sin(31)

222

加速度的大小：a=ax+ay

書中例題1.3,1.5,1.7(p.7;p.l6;p.l8)

已知：運動學方程：x=-0.31t2+7.2t+28

y=0.22t2-9.1t+30

求：t=15s時的位置矢量和方向。

解：t=15s時，

x=-0.31X152+7.2X15+28=66

y=0.22X152-9.1X15+30=57

r=66i—57j

運動學方程對時間t求導數(shù)得速度：

vx=dx/dt=d/dt(-0.31t2+7.2t+28)=-0.62t+7.2

vy=dy/dt=d/dt(0.22t2—9.11+30)=0.44t-9.1

v=(-0.62t+7.2)i+(0.44t-9.1)j

t=15s時，

v=(-0.62X15+7.2)i+(0.44X15-9.1)j=-2.1i-2.5j

IvI=3.3(m/s)

速度對時間t求導數(shù)得加速度：

ax=dVx/dt=d/dt(-0.62t+7.2)=—0.62(m/s2)

ay—dvy/dt—d/dt(0.44t—9.1)=0.44(m/s2)

a=-0.62i+0.44j

Ia|=0.76(m/s2)

第四節(jié)由加速度求速度、位移

問：如果知道質(zhì)點的加速度，能否確定質(zhì)點的速度？

實例：自由落體實驗：

（1）自由下落；（2）上拋；（3）下拋

已知質(zhì)點的加速度和質(zhì)點的初始速度，則可運用導數(shù)的逆運算

——不定積分+初條件，確定出質(zhì)點的速度。

已知質(zhì)點的速度和質(zhì)點的初始位置，則可運用導數(shù)的逆運算

--------不定積分+初條件，確定出質(zhì)點的運動學方程。

如已知：ax=ax（t）,且1=力|］寸，v=v（）,x=x（）

加速度求積分得速度：

Vx=fax（t）dt—vx（t）+C

其中C為常數(shù)，由初條件確定。

驗證：d［vx（t）+C）］/dt—dvx（t）/dt=ax

由初條件確定C：

當t=t（）時，V=Vo，帶入Vx表達式：

Vo=Vx(t0)+C

得：C=v0—vx(t0)

Vx=Vx(t)+Vo—Vx(t0)

速度求積分得運動學方程：

X=f[vx(t)+Vo—Vx(to)]dt

=x(t)+[v0—vx(t0)]t+C'

其中C為常數(shù)，由初條件確定。

當1=%時，X=Xo，帶入X表達式：

5

Xo=X(t0)+[v0—vx(t0)]to+C

得：C'=X0—x(t0)—[v0—vx(to)]to

—

X=X(t)+x()—X(to)+[v0vx(t0)](t—to)

例題：

已知：a=100—4t2,且t=0時;v=0,x=0

求：速度v和運動學方程

v=fadt=f(100—4t2)dt=100t—4/3t3+C

t=00寸，v=0,得：C=0

v=100t-4/3t3

x=/vdt=f(100t-4/3t3)dt=50t2-l/3t4+C,

t=0時，x=0,得：C'=0

x=50t2-l/3t4

第五節(jié)幾個簡單實例

勻速直線運動

a=0,t=tO時，vx=vxO,x=xO

vx—f0dt=C

t=tO時，vx=vxO得C=vxO

vx=vxO

x=fvxOdt=vxOt+C'

t=tO時，x=xO得C=xO—vxOtO

.,.x=xO+vxO(t—tO)

勻變速直線運動

ax=常數(shù)=a,t=t()時，vx=vx(),x=xO

vx=jadt=at+C

t=tO時、vx=vxO得C=vxO—atO

vx—vxO+a(t—tO)

x=f(vxO—atO+at)dt

=vxOt-at0t+l/2at2+C,

t=tO時，x=xO得C=xO—vxOtO+1/2at02

/.x=xO+vxO(t—tO)+1/2at02—atOt+1/2at2

=xO+vxO(t—tO)+1/2a(t—tO)2

拋物體運動

取平面直角坐標系，

ax=O;ay=-g

t=0時，vOx=vOcosa；v0y=v0sina

x=0;y=0

vx=fOdt=Cx；vy=f—gdt=—gt+Cy

t=0時，v0x=v0cosa；v0y=v0sina

vx=vOcosa；vy=v0sina—gt

x=fvOcosadt；y=f(vOsina-gt)dt

=v0cosat+Cx)；=v0sinat—l/2gt2+Cy'

t=0時，x=0;y=0

得：Cx'=0;Cy,=0

x=v0cosat；y=v0sinat—l/2gt2

消去時間t得到軌跡方程:

y=xtga—(g/2v02cos2a)x2

為拋物線

第六節(jié)典型習題

習題指導P9.1.4（重點）

在湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過一高處的滑輪拉船靠岸,

當繩子以v通過滑輪時，

求：船速比v大還是比v??？

若v不變，船是否作勻速運動？

如果不是勻速運動，其加速度是多少？

解：

1=(h2+x2)1/2

dl12xdx

v=---=------------------------

dt2(/?2+X2)1/2dt

dx(A2+x2)'2

—二----------v

dtx

當x?h時，dx/dt=v,船速=繩速

當x-*0時,dx/dtf8

加速度：

d-x_d\(/r+馬12

dtdt|_%

——d—1?(n2+,%2x)1/2v

dt\_x

222

d1、,,2xi/2dx1d(h+x)'dx

?(A2+x)v—+——------------v——

dxyxdtxdxdt

1“22xil//22dx112xdx

=---2?(//+r)v——十---------——丁7v——

xdtX2(興+%2嚴dt

dx(A2+x2)'2

——--------------V

將出X代入得:

?（力"嚴產(chǎn)112x(h2+x2)l/2

VH---------------------------------V-----------------------V

X2Xx2(h2+x2)'12x

22222

dx(h+x)2v2hv

---------------------------------------V-|----------------------------

23

dtx3xx

分析：

2

當x-8,±d4x=o

dt

作業(yè):

P.49：1.6;1.7;1.8;1.24

第一章補充內(nèi)容(擴展內(nèi)容)

平面極坐標系中的速度和加速度

平面極坐標：

質(zhì)點P的位置用(r,0)表示。

平面極坐標中基矢量：

,)：大小：1,方向：不方向

e：大?。?,方向：與〃垂直方向

平面極坐標的特點：基矢量的方向是隨著不方向的變化而變化。

平面極坐標中p點的位置矢量不表示為:

r-rr(1)

其中r表示尸的大小，尸)表示尸的方向。

A(1)式就是質(zhì)點P的運動學方程。

P點的速度:

一drd（萬°）dj療°

v=—=--------=——r+r-----

dtdtdtdt

基矢量的導數(shù)：

—的大?。簉d3一。

dtr

------rdO

其中r=l...大小:dO

dOF0

方向：目。

Q

...-d--r-=—dO6-o

…dtdt

同理，rd6

Q的大?。篗B

dt

其中r=l

，大小:dO

-*0

方向：一「

d鏟d3_o

=r

???dt-----dt

由此得到：

一

drdr_0dr^

u=——=——r+r------

dtdtdt

dr_,dO30

=—r0+r—e

dtdt

寫成分量形式:

dr

v=——

rdt

dO

dt

P點的加速度:

一dvd(dr_od?刀0)

a=——=—r+r---0

dtdtvdtdt)

d(dr一、-d(d3oA

-.ro-+r

dtydtdtdt)

d2r一°drdr°drd3-ad23-d0d6Q

r+---------+---------0+r--00+r

~~d?dtdtdtdtdrdtdt

d2r_odrd3-drdO-(ie(ie~o

r+--------00+---------00+r火3。r---------r

dt2dtdtdtdt由2dtdt

2(d20、

((10drd3\-0

-T-rr+r+2--------6

drdtdt2dtdt)

寫成分量形式:

(dO^\

Cl..-9

2

「dtdt)

d23^drdO

+2--------

dtdt

例題

一質(zhì)點沿半徑為R的圓周運動。

1,

s=%，一己力廠

求：t時刻質(zhì)點的速度和加速度。

解：選極坐標

運動學方程：

F(r)=R7°

療⑺護d0^

----二A----------二IX---V

dtdtdt

d2r(t)=R^-0°+R——(-70)

dt2dtdtdt

S=R9,0=S/R

de1dS1d17、1/7、

------=------(zv?—bt)=—(v—bt)

dtRdtRdt02R00

2

d31Jz,、b

__=__(Vo_ht)=--

代入得:

v=(vo-bt)00

2

a=-^v0-bt)r0-b00

法向加速度切向加速度

第二章牛頓運動定律

第一節(jié).牛頓的三個定律

牛頓第一定律和第三定律作為自學內(nèi)容。

牛頓第二定律：EFi=ma

寫成導數(shù)形式:

在直角坐標系下的分量形式:

dvdx2

F.=m----=m—

‘Xdtdt2

2

口dvydy

乙〉dtdt-

?dvdz^

乙，zdtdt2

這種寫法的好處是數(shù)學關(guān)系明顯，對解決問題非常方便。

第二節(jié).變力問題的處理方法(重點)

力隨時間變化：F=f(t)

在直角坐標系下，以x方向為例，由牛頓第二定律：

dt

且：t=to時，Vx=Vo;X=Xo

dv,⑴dt

則：m

直接積分得:

匕="匕=力

=v(t)+c

其中C由初條件確定。

由速度求積分可得到運動學方程：

X=卜0/=x(f)+c2

其中c2由初條件確定。

例題：

飛機著陸時受到的阻力為F=—ct,(c為常數(shù))

且t=0時，v=v()o

求：飛機著陸時的速度。

解：根據(jù)牛頓第二定律：一ct=mdv/dt

v=\dv=f-■—tdt

JJm

當t=OEI寸，v=v(),代入得：Vo=Ci

c

V=v----12

02m

力隨速度變化：F=f(v)

直角坐標系中，x方向f(v)=mdv/dt

經(jīng)過移項可得：/\3）

等式兩邊同時積分得:

t-tn-\dt-f-----dv-m

」J/(v)

具體給出f（v）的函數(shù)試就可進行積分運算。

例題：（重點）

質(zhì)量為m的物體以速度Vo投入粘性流體中，受到阻力f=—cv（c

為常數(shù)）而減速，若物體不受其它力，求：物體的運動速度。

解：根據(jù)牛頓第二定律:-cv-m—

dt

移項變換:-c/mdt=dv/v

積分得:

由初條件定cl：當t=0時，v=v（）.*.O=lnvo+ci

cl=-InVo

m

力隨位移變化：F=f(x)

直角坐標系中，x方向：

,/、dvdxdvdv

/(x)=m——=tn-------=mv——

dtdtdxdx

經(jīng)過移項可得：f(x)dx=mvdv

等式兩邊同時積分得:

22

dx=^mvdv=X?t(v-v0)

例題：(重點)

光滑的桌面上一質(zhì)量為M,長為L的勻質(zhì)鏈條，有極小一段被

推出桌子邊緣。

求：鏈條剛剛離開桌面時的速度。1n

解：鏈條所受的力F是個變力：F=m(x)g[]

根據(jù)牛頓第二定律：

Mdv一dxdv一dv

——xg=M——=M=Mv——

Ldtdtdxdx

[-j-gxdx='Mvdv

2L2

v=

第三節(jié).幾種常見的力

萬有引力與重力

MM

萬有引力的大小:F=G}2

R?

其中M與M為兩質(zhì)點的質(zhì)量，R為兩質(zhì)

點間的距離，G為比例常數(shù)，稱為引力常數(shù)。

萬有引力是所有物體之間都存在的引力。對于日常物品，萬有引

力的作用非常小，以至于感受不到。天體之間萬有引力的作用就

非常明顯了。

海潮的漲落就是月亮和太陽的萬有引力作用形成的。

在地球表面物體所受到的重力mg就是萬有引力。g=G號

其中M是地球的質(zhì)量，R是地球的半徑。

彈性力

物體受到外力作用會發(fā)生了形變，物體要恢復原來的形狀，便產(chǎn)

生了彈性力。彈性力的方向一般是恢復形變的方向。

物體相互接觸時所產(chǎn)生的相互作用力，實質(zhì)就是彈性力。只是大

多數(shù)物體的形變非常小，不被人們察覺。最典型的彈性作用力是

彈簧的彈性力。

f——kx

其中x表示彈簧離開原長的距離，k為彈性系數(shù)，負號表示力的

方向與X的方向相反。

在以后的課程中，專門有一章詳細講解這個力的特征。

摩擦力

靜摩擦力：其大小和方向取決于其它力一一被動力

大?。?f最大靜摩擦fmax=P（）N,其中即為靜摩擦系數(shù)，（無

量綱），N為物體接觸面間的正壓力。

方向：與運動趨勢相反。

如果靜摩擦力的方向分析錯了也沒關(guān)系，只是在最后的結(jié)果中有

一個負號，表明與分析的方向相反。

滑動摩擦力

大?。篺=（iN

其中H為滑動摩擦系數(shù)，（無量綱）

N為物體接觸面間的正壓力。

方向：與相對運動方向相反。

非慣性參照系與慣性力

慣性參照系：參照系本身沒有加速度。

牛頓第二定律只適于慣性參照系。很多情況參照系具有加速度。

實驗：汽車上一光滑的桌面上放著一個小球。

車靜止時：車上的人、桌、球相對靜止。

車以加速度a運動時：車上的人、桌依然相對靜止，小球以一a

加速度運動。

在車上的人看來，球在沒受力的情況下做加速。

在地面上的人看來，球在原地沒動，只是車開走了。

車上的人盡管相對車沒有動，但他能夠感覺到車加速。

因為車作為參照系時，自身具有加速度，所以慣性定律不適用，

故稱之為非慣性參照系。

在非慣性系中，牛頓第二定律不適用了，要想繼續(xù)用牛頓第二定

律，就必須在質(zhì)點上加一個慣性力。

F慣=-ma

慣性力沒有施力者，故找不出其反作用力。

人能夠感受到加速度。感受加速度的器官在內(nèi)耳。

例：有一個小球通過一根細線掛在車頂，當車靜止時小球鉛直向

下，當車以加速度a開動時與鉛垂線夾角9o

求：加速度與e之間的關(guān)系。

解：在車上觀察，小車靜止。

由于車有加速度a,

則小球受慣性力「慣=一ma°

取直角坐標系0—xy

x：ma-TsinO=O

y：Tcos0—mg=O

a=-gtgO

愛因斯坦：當光線通過大質(zhì)量物體附近時將彎曲。

太空靜止實驗室太空以g加速度地球上的實驗室

運動的實驗室與太空中以g加

速度運動的實驗

光線平直穿過光線彎曲室相同

以g加速度運動的實驗室光線彎曲的大?。?/p>

距離：300公里，光速：300000公里/秒

t=x/v=300/300000=10-3

y=l/2gt2=l/2x9.8x10-6=5x10九米）=5（微米）

如何驗證愛因斯坦的結(jié)論？

地球上質(zhì)量最大的物體就上地球本身，但也無法測出彎曲的距

離。只有在天體中測量。

牛頓力學的適用范圍

〃一八

之E=了（而）

m-0（微觀粒子）時，牛頓力學不適用，匚＞量子力學。

V-c（速度接近光速）時:牛頓力學不適用，口相對論

nf8（大量粒子）時，牛頓力學不適用，口統(tǒng)計力學

典型例題

書中例題2.9（p76）（非質(zhì)點問題的處理方法）

試證明在圓柱形容器內(nèi)，以勻角速度0）繞中心軸作勻速旋轉(zhuǎn)的流

體表面為旋轉(zhuǎn)拋物面。

證明：這是一個典型的非質(zhì)點問題。

處理非質(zhì)點問題的方法:

在流體表面取一小的體元△m,

這一微小的體元可以看成質(zhì)點。

分析小體元受力:

重力mg：垂直向下;

支持力N：液體的其它部分對小體元作用力的合力。

選坐標系：以容器中心與液面的焦點為原點，

選直角坐標系Oxy,如圖

x方向：Nsin0=Amxco2（向心加速度an=xs2）

y方向：Ncos0=Amg

兩式相除得：tan0=xo）2/g,運用導數(shù)的基本性質(zhì)：tan9=dy/dx,

可得：xa>2

ay=-----ax

g

等式兩邊同時積分，y：0-*y；x：0-*x

得:典型的拋物線方程。

書中例題P82,例2.14(變質(zhì)量，變力問題)

長為L質(zhì)量為M的均勻柔繩，盤繞在光滑的水平面上，從靜止

開始，以恒定加速度a豎直向上提繩，當提起的高度為1時，作

用在繩端力的大小是多少？當以恒定速度v豎直向上提繩，當提

起的高度為1時，作用在繩端力的大小又是多少？

解：隨著繩子不斷提升，被提起繩段的質(zhì)量不斷增大，是典型的

變質(zhì)量問題。這時牛頓第二定律應寫成：

_d(mv)

JL-

dt

這是牛頓第二定律最正根的寫法。m和v都是變量，根據(jù)導數(shù)的

運算法則：

d(mv)dmdv

--------=-----v+m——

dtdtdt

被提起繩段的質(zhì)量為：m=(M/L)y

被提起繩段受力為：F(提繩的力)；mg(重力)

根據(jù)牛頓第二定律：

尸dmdv

F-ms=----v+m——

dtdt

將m的表示式代入得:

d

『M(工丫)Mdv

Fyg=,v+y

LTdtLdt

整理：dy/dt=v;dv/dt=a

MMM

Fyg=v2^—ya

JL/JL>

lM/2、

F=-(yg+v+ya)

移項：L

上式中，v是未知量，由于加速度是常量:

dvdvdydv

——二------------=v——=a

dtdydtdy

vdv=ady

12

—v=ay+c

當y=0R寸，v=0,得到c=0,v2=2ay

LM,c、M/C、

F=—(y§+2ay+ya)=-y(g+3a)

LLJ

若以恒定速度v向上提，a=0,v為常量，則:

F=jyg-2)

作業(yè)：P.90：2.12,2.13,2.15,2.21

第三章功和能

第一節(jié).功和功率

功的定義：R

力F與位移的標積：A=F?Ar=FArcos0/Q

變力作功(重點)

質(zhì)點在移動過程中，力在變，力與位移的夾角在變。

解決變力作功問題的方法：

取一無窮小的位移dr,在dr移動過程中，F(xiàn)可看成是不變的，

由此得到元功：dA=F(r)?dr

經(jīng)過積分即可得到由rO到rl所作的功：

A=「F(r)-dr

在直角坐標系中：

F(r)—Fxi+Fyj+Fzk；dr=dxi+dyj+dzk

dA=Fxdx+Fydy+Fzdz

A=[(F\dx+Fydy+F:dz)

書中例題3.1(P.95)

已知:F=6x；cos0=O.7O—0.02x

求：質(zhì)點從xl=10m到x2=20m過程中F所作的功。

解:dA=Fcos。dx=6x(0.70—0.02)dx積分得:

A=426x(0.70-0.02%)dx

A

r20020

=4.2xdx-0.12x-dx

J10J10

=350(7)

合力作功

質(zhì)點受幾個力的作用F=F1+F2+......+Fn所作的功為:

A=,(E+￡+……+￡)?"

=「￡?"+......+pFn?dr

=A+42+……+4注意：F是矢

量，F(xiàn)1+F2+...+Fn是矢量和；

A是標量，A1+A2++An是標量和。

矢量求和要用平行四邊形法則，標量求和就是代數(shù)和。

功率：單位時間內(nèi)所作的功

dA_F?dr

=F?-=F9v=Fvcos0

dtdtdt

第二節(jié).幾種常見力的功

重力的功

重力是恒定力，在直角坐標系下:

Fx=0；Fy=0；Fz=-mg

區(qū)2

人打￡dz=]-mgdz=mg(z]-

書中例題3.2(p.98)

一條長L,質(zhì)量M的均勻柔繩，A端掛在天花板上，自然下垂,

將B端沿鉛直方向提高到與A端同高處?！敢?/p>

求：該過程中重力所作的功。i

解：提升高度y時，提的鏈長y/2AA

"2

提起部分受的重力筌,

dy上的元功為：dA=---■sydy

2L

A=gydy=^-MgL

4

彈性力

彈性力表示為：Fx=-kx(胡克定律)

元功為：dA=Fxdx=—kxdx

從xl到x2做的功為:

A—kxdx=—kx2—kx：kx：

12

%2西22

這里要特別注意的是：x必須取彈簧的原長為0點。

書中例題3.3(p.99)

非胡克定律的彈簧：F=—kx—ax3,其中k、a均為常數(shù)。

求：從xl到原長過程中，彈性力做的功。

rO3

A=(-kx-ax)dx

為

=-k2-a4

2X1i+4X1i

補充例題:

例1

準靜態(tài)地提起一條長L,質(zhì)量M的均勻柔繩，需要作多少功?

解：單位長度繩的質(zhì)量：M/L,

x長度的繩子質(zhì)量白

F=mg=--xg

IJ

AA=]f'Fcaix=jF—Mgxdx=—1—M

例2習題3.5(P135),3.5)

蓄水池面積S,水深h,水面距地面Ho

求：抽出水需要作多少功？

解：離地面x處，深dx的一層水的

質(zhì)量dm=pSdx,將dm水提到路面所需作的功:

dA=dmgx—pSgxdx

2H+h

A=pSgxdx=|pSgx\H

例3

風力F作用于向北運動的船，風力方向變化的規(guī)律是：9=BS,

其中S為位移，B為常數(shù)，。為F與S間的夾角。如果運動中,

風的方向自南變到東，

求：風力作的功。

解：元功：dA=Fdscos0；其中0=BS

積分限：風向由南變到東，則。由0變到兀/2；S由0變到R2B

■九

4=儼FdScos0

乃1

=F尸cos(3S)d(BS)后

=%n(BS)}

F.n

=一sin—

B2

_F_

小結(jié)：

A=FScos0

例1：F變；例2：S變；例3：。變

書中例題312

水平面內(nèi)有一半徑為R的圓，在圓內(nèi)離圓心O距離為S處有一

質(zhì)量M很大，了視為固定的力心0二力心對單位質(zhì)量的有心引

力為pr,r為力心至質(zhì)量為m的質(zhì)點Q位矢的大小，質(zhì)點Q被

限制在圓周上運動。

求：(1)質(zhì)點Q從B點由靜止出發(fā)到r點有心力所做的功

(2)質(zhì)點通過第二象限所經(jīng)歷的時間

解:

dA=Fdrcos。二FRd(psina

由正弦定理:包”=sinS-°)=包經(jīng)

Srr

.S.

/.sin(7=—sinQ

r

S

dA=mjLirRd(p—s\n(p=mjnRSsin(pd(p

r

A=/mjuRSsin(pd(p

(p

=-mjuRScos夕o

=mjLiRS(l-cos(p)

如果采用極坐標，有心力只有r分量，沒有e分量,

F=-m|ir

A=jF?=-J$

=1771M(R+S)2-r2]

如果將余弦定理帶入，兩個結(jié)果一樣。

,2S2+R2+2RScos。

cos夕=—(r2-S~-R1)

2RS

(2)由動能定理

1(2

m/z/?5(l-cos(p)~—mR7

d(p

cos。)=2

dt

d(p_1R

dt=—

2

兩邊同時積分，通過第二象限是0由T變到萬

7T

Intan—；=0.88

4fA

第三節(jié).動能定理

質(zhì)點的動能定理

-dv

由牛頓第二定律：F=m-^

等式兩邊同時標乘dr,則：

—_dv_dr___

F?dr=m——?dr=m——?dv=mvdv

dtdt

等式兩邊同時積分得：

A=[F?dr=f-mv?Jv=-mv\--mv^

J“2~2

力對質(zhì)點作的功=質(zhì)點動能的增量——動能定理

注意：

1.動能是標量，是能力的一種表現(xiàn)形式。

2.動能定理說明了作功與動能的關(guān)系。

即：合力作正功時（A>0）,質(zhì)點動能增加；【加速】

合力作負功時（A<0）,質(zhì)點動能減少。【減速】

3.方程左邊的結(jié)果取決于F的具體函數(shù)形式，與力對質(zhì)點的作

用過程相關(guān)。，功是過程量；

方程右邊與過程無關(guān)，只由始末運動狀態(tài)確定。，動能是狀態(tài)量。

書中例題3.11（pill）（重點）

長為L的勻質(zhì)鏈條，一部分在水平桌面上，另一部分自然下垂。

鏈條與水平面間靜摩擦因數(shù)為Ro,滑動摩擦因數(shù)為

求：1）滿足什么條件時，鏈條開始滑動？匚

2）若下垂部分長度為b時，鏈條開始滑動，

當鏈條末端剛剛離開桌面時的速度是多少？

解：1）最大拉力：pbog,摩擦力：|ioP（L-bo）g

pbog=|iOp（L-bo）g

2）重力和摩擦力做的功分別為：

4=[pgydy=|-b2）

A/=_R〃Pg（L_y）dyb）2

根據(jù)動能定理：

；Pg（C一匕一匕）2一0

乙乙乙

v=^（L2-b2）-^-（L-b）2

質(zhì)點組的動能定理

由n個質(zhì)點組成的系統(tǒng)中，第i個質(zhì)點所受的力：E=巴內(nèi)+E外

R內(nèi)：內(nèi)力，質(zhì)點組內(nèi)質(zhì)點與質(zhì)點之間的相互作用力。

E外：外力，質(zhì)點組外的力對質(zhì)點組內(nèi)的質(zhì)點的作用力。

對第i個質(zhì)點應用動能定理：

a=j（耳內(nèi)+耳內(nèi)）?公=；叫*-1機而

對n個質(zhì)點求和得：

A=￡A=ZJF內(nèi)?赤+ZJK外?#=Z42-Z&i

質(zhì)點組的動能定理：

ZA吶+Z”沙卜=ZEKi2+ZEKii

注意：

內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，按照牛頓第三定律，這一對力的矢量和為

0,但這一對力所作的功的和不一定為0。

?.?功是標量，其和為代數(shù)和。

第四節(jié).勢能

保守力與非保守力

力所作的功僅由質(zhì)點的始末位置決定,

與路徑無關(guān)，這種力稱為保守力。

例：重力作的功：

Fx=0;Fy=-mg

質(zhì)點由a移到b,重力作的功：

A=[-mgdy=-mg(h-h)

Jhaba

從上式看到，從a點到b點無論走哪條路徑，重力作的功都式一

樣的。因為在水平移動時，重力不作功，只有垂直運動時，重力

才作功。，重力時保守力。

彈簧的彈性力，萬有引力，庫倫力等都是保守力。

在一定空間內(nèi)每一處的保守力的大小和方向都確定，這個空間就

稱為保守力場。

摩擦力是非保守力。

拉著箱子走不同路徑時，摩擦力作功不相同。

勢能

在保守力場中，質(zhì)點的始末位置一定，力作的功便確定。

根據(jù)動能定理，作功的結(jié)果是使質(zhì)點的動能發(fā)生變化。這說明在

保守場中，兩點之間的能量不同，而且這一能量只與位置有關(guān)。

當質(zhì)點的位置改變時一，這一能量便釋放出來，轉(zhuǎn)變成質(zhì)點的動能。

——這就是保守場的勢能。

勢能大小的確定：

選空間上的一點M0為勢能0點；由空間上M點到勢能0點M0

過程中，保守力所作功的大小為該點的勢能。

注意：勢能的大小由相對位置決定，沒有絕對大?。粍菽?點的

選取是任意的。

對于彈簧的彈性勢能，勢能。點通常選彈簧的原長。

i.重力勢能：

選地面為勢能0點，距地面高h處的勢能為:

Ep

其中負號表示重力mg的方向與z軸的方向相反。

ii.彈簧的彈性勢能：

選彈簧的原長位置為坐標原點，原長位置為勢能0點，彈簧由原

點拉至x處的勢能：

注意:

因為彈性勢能與x2成正比，(x+^x)2與x2+4x2不同，彈簧

的勢能0點要選原長位置時，才有這么簡捷的表達式。而重力勢

能與x成正比，重力勢能0點的選擇可以是任意的。

當保守力作正功時，質(zhì)點動能增加，勢能減少；【勢能一動能】

當保守力作負功時，質(zhì)點動能減少，勢能增加；【動能一勢能】

書中例題3.5(pl03)

物體質(zhì)量m,彈簧的勁度系數(shù)為k,自彈簧原長，無初速度加上

物體。fN

求：彈簧的最大壓縮量ymax。

解：重力和彈簧的彈性力都是保守力。*mg

初：動能=0;重力勢能=1^丫|住，彈性勢能=0

末：動能=0;重力勢能=0,彈性勢能=1/2kymax?

重力勢能轉(zhuǎn)換成彈性勢能

mgymax-1/2kymax

ymax=2mg/k

在整個運動過程中，重力勢能減小，動能增加，彈性勢能增加；

當N=mg時、物體受力為0,但這時物體具有動能，所以要繼

續(xù)壓縮彈簧，直到動能為0,這時N>mg,物體在N的作用下往

回運動，直到所有的彈性勢能轉(zhuǎn)換成重力勢能才停下來（動能為

0）o物體在力的平衡點處（N=mg）上下振動。

勢能曲線與平衡穩(wěn)定性

由保守力可以求出勢能函數(shù)；同樣如果知道勢能函數(shù)也可以求出

保守力：（以一維情況為例）

保守力作的元功：dA保=Fxdx

保守力作正功，勢能減少；保守力作負功，勢能增加。

dE=-dA保=—Fxdx

F:dEp（x）

由此可得：'孤

質(zhì)點在平衡位置處：Fx=0,則dE/dx=0

EpEpEpA

（）（）x

XXXo

穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡

dE/dx=0dE/dx=0dE/dx=0

222

dEdEdEn

^>0—^0<0—^=0

dx~dx~dx~

第五節(jié).機械能守恒定律

在保守力場中，質(zhì)點由Mi點運動到M2點保守力所作的功就是

這兩點之間的勢能差:

A=Epi—Ep2

根據(jù)動能定理，保守力作功的結(jié)果是使質(zhì)點的動能發(fā)生變化:

由此得到:

121

+EP\=2mV2+E1,2

此式說明，在只有保守力作用時，質(zhì)點的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)

換，但動能和勢能之和保守不變。

動能與勢能的總和稱為機械能。上式即為機械能守恒定律。

在有非保守力存在時，機械能就不守恒了。末狀態(tài)與初狀態(tài)機械

能之差，就是非保守力作的功。

(Ek2+Ep2)—(Eki+Epi)=A^

以上結(jié)論對質(zhì)點組也依然適用。

書中例題3.15(pl26)

物體M懸于彈簧上，彈簧的彈性系數(shù)

為k,彈簧的原長與圓環(huán)的半徑相等。

不計摩擦力

求：物體自彈簧的原長無初速度的沿圓

環(huán)滑至最低點B時所獲得的動能。

解：不計摩擦力，所以圓環(huán)只起到約束的作用。

重力和彈性力都是保守力。

初：重力勢能=1118(R+Rcos60°),彈性勢能=0,動能=0

末：重力勢能=0,彈性勢能=1/2kR2,動能=Ek

機械能末=機械能初

Ek+l/2kR2=mg(R+Rcos60°)

Ek=3/2mgR-l/2kR2

第六節(jié).能量守恒定律

能量除了機械能以外還有很多種形式，如熱能，化學能，電能,

核能等等。能量不能消失，也不能創(chuàng)造，只能從一種形式轉(zhuǎn)換成

另一種形式。

質(zhì)量可以轉(zhuǎn)換成能量一一質(zhì)能關(guān)系式：E=mc2

在核裂變時，裂變前后的質(zhì)量不相等，有一部分質(zhì)量轉(zhuǎn)換成能量。

作業(yè)：p.1363.63.113.173.19

第四章動量和沖量

第一節(jié)質(zhì)點動量定理

動量

-dv

牛頓第二定律：F=m-1：(1)

at

-d(mv)dP

牛頓原來的寫法：7—=(2)

(2)式的寫法比⑴式的寫法更具有普遍性。

當m為常數(shù)時，(2)式由導數(shù)運算可得(1)式；

當m為變量時，(1)式解決不了問題，但(2)式能解決。

P=mv就是大家非常熟悉的物理量——動量

(2)式可解釋成：力的效果是使質(zhì)點的動量發(fā)生變化。

力=質(zhì)點動量的變化率

沖量

由⑵式兩邊同乘dt可得：Fdt=dP

等式兩邊同時積分得：

P

f'Fdt=f'dP=Pl-P0=AP

J。M⑶

沖量的定義：『二fF出

注意：

(1)沖量是矢量。沖量的方向：與力F的方向沒有必然聯(lián)系，它由

F對時間的積分決定。

元沖量dI=Fdt的方向與F的方向相同。

(2)沖量與力的作用過程有關(guān)，是過程量。

沖量的大小：即與F(t)函數(shù)形式有關(guān)，還與時間間隔(積分限)

有關(guān)。

在許多實際問題中，往往不知道F(t)的函數(shù)形式，或者F(t)

根本不能用解析式表達出來，這時常用力對時間的平均值(平均

(3)式即為動量定理的數(shù)學表達式。

T=］戶⑴出=R—(4)

在積分式中，F(xiàn)(t)的函數(shù)形式往往不知道，或者很復雜，甚至

積分限tO與tl也很難確定，但其積分的結(jié)果卻是已知的。

(4)式左邊與力的作用過程有關(guān)，即與F(t)和tO、tl有關(guān)；

(4)式右邊與作用過程毫不相關(guān)——狀態(tài)量

動量只與質(zhì)點的運動狀態(tài)有關(guān)，與力的作用過程無關(guān)，故稱

其為狀態(tài)量。

用語言表達(4)式：

力對質(zhì)點的作用過程的結(jié)果=質(zhì)點運動狀態(tài)的變化。

反過來看，要使質(zhì)點由一種運動狀態(tài)變到另一種運動狀態(tài)，可以

有無窮多種過程來實現(xiàn)。

使質(zhì)點由P變到一P,F大，則小;F小，則大;

乒乓球(m小)；籃球(m中)；鉛球(m大)

用拍打小先接后傳At大落地

書中例題4.1(143)

已知：m=10kg,