2025屆云南省昆明市官渡區(qū)藝卓中學高二數學第一學期期末經典試題含解析

2025屆云南省昆明市官渡區(qū)藝卓中學高二數學第一學期期末經典試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.132．已知雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，則雙曲線的標準方程為（）A.＝1 B.＝1C.＝1 D.＝13．已知a，b為正實數，且，則的最小值為（）A.1 B.2C.4 D.64．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知等邊三角形的一個頂點在橢圓E上，另兩個頂點位于E的兩個焦點處，則E的離心率為（）A. B.C. D.6．已知，是空間中的任意兩個非零向量，則下列各式中一定成立的是（）A. B.C. D.7．已知拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，且該拋物線的準線與雙曲線(，)的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.4C.6 D.98．函數的最小值為（）A. B.1C.2 D.e9．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD，，，點E為PA的中點，，，，則點B到平面PCD的距離為（）A. B.C. D.10．已知半徑為2的圓經過點（5，12），則其圓心到原點的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1311．概率論起源于賭博問題．法國著名數學家布萊爾帕斯卡遇到兩個賭徒向他提出的賭金分配問題：甲、乙兩賭徒約定先贏滿局者，可獲得全部賭金法郎，當甲贏了局，乙贏了局，不再賭下去時，賭金如何分配？假設每局兩人輸贏的概率各占一半，每局輸贏相互獨立，那么賭金分配比較合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎12．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若面積，則______14．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標為______15．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，若，則______16．如圖所示，二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面內，且，，，，，則的長______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設，已知函數（1）若，求函數在處切線的方程；（2）求函數在上的最大值18．（12分）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和（Ⅰ）求k的值及f(x)的表達式（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值19．（12分）在①直線l：是拋物線C的準線；②F是橢圓的一個焦點；③，對于C上的點A，的最小值為；在以上三個條件中任選一個，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點為F，滿足_____（1）求拋物線C的標準方程；（2）是拋物線C上在第一象限內的一點，直線：與C交于M，N兩點，若的面積為，求m的值20．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長為2的正三角形，平面，，且，是的中點（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值21．（12分）已知數列中，，___________，其中.（1）求數列的通項公式；（2）設，求證：數列是等比數列；（3）求數列的前n項和.從①前n項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.22．（10分）如圖1所示，在四邊形ABCD中，，，，將△沿BD折起，使得直線AB與平面BCD所成的角為45°，連接AC，得到如圖2所示的三棱錐（1）證明：平面ABD平面BCD；（2）若三棱錐中，二面角的大小為60°，求三棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯立方程組解得：.于是，.故選：B.2、D【解析】根據雙曲線的性質求解即可.【詳解】雙曲線的焦點在y軸上，且實半軸長為4，虛半軸長為5，可得a＝4，b＝5，所以雙曲線方程為：＝1.故選：D.3、D【解析】利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】因為a，b為正實數，且，所以.當且僅當，即時取等號.故選：D4、B【解析】根據傾斜角和斜率的關系，確定正確選項.【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數.由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關系，屬于基礎題.5、B【解析】根據已知條件求得的關系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B6、C【解析】利用向量數量積的定義及運算性質逐一分析各選項即可得答案.【詳解】解：對A：因為，所以，故選項A錯誤；對B：因為，故選項B錯誤；對C：因為，故選項C正確；對D：因為，故選項D錯誤故選：C.7、A【解析】由題意求得拋物線的準線方程為，進而得到準線與雙曲線C的漸近線圍成的三角形面積，求得，再結合和離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，拋物線上一橫坐標為5的點到焦點的距離為6，根據拋物線定義，可得，即，所以拋物線的準線方程為，又由雙曲線C的兩條漸近線方程為，則拋物線的準線與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積為，解得，又由，可得，所以雙曲線C的離心率.故選：A.8、B【解析】先化簡為，然后通過換元，再研究外層函數單調性，進而求得的最小值【詳解】化簡可得：令，故的最小值即為的最小值，是關于的單調遞增函數，易知對求導可得：當時，單調遞減；當時，單調遞增則有：故選：B9、D【解析】為中點，連接，易得為平行四邊形，進而可知B到平面PCD的距離即為到平面PCD的距離，再由線面垂直的性質確定線線垂直，在直角三角形中應用勾股定理求相關線段長，即可得△為直角三角形，最后應用等體積法求點面距即可.【詳解】若為中點，連接，又E為PA的中點，所以，，又，，則且，所以為平行四邊形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距離，即為到平面PCD的距離，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，則面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；綜上，，故，又，則.所以B到平面PCD的距離為.故選：D10、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因為半徑為2的圓經過點（5，12），所以圓心的軌跡是以點為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點的距離的最小值為，故選：B11、A【解析】利用獨立事件計算出甲、乙各自贏得賭金的概率，由此可求得兩人各分配的金額.【詳解】甲贏得法郎的概率為，乙贏得法郎的概率為，因此，這法郎中分配給甲法郎，分配給乙法郎.故選：A.12、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】結合三角形面積公式與余弦定理得，進而得答案.【詳解】解：由三角形的面積公式得，所以，因為，所以，即，因為，所以故答案為：14、【解析】設，由，可得，求解即可【詳解】設，由故解得：則點P的坐標為故答案為：15、##25【解析】根據正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得結果.【詳解】，，又，，.故答案為：.16、【解析】推導出，從而，結合，，，能求出的長【詳解】二面角為，是棱上的兩點，分別在半平面、內，且所以,所以，，，的長故答案為【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則以及數量積的運算法則，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）當0≤a<2時，f（x）max=8-5a；當a≥2時，f（x）max=-a【解析】（1）根據導數的幾何意義即可求解；（2）先求函數的導數，令導數等于零，求得兩極值點，然后討論極值點是否在所給區(qū)間內，再結合比較區(qū)間端點處的函數值的大小，可得答案.【小問1詳解】因為，所以，即a=0,所以，f（1）=1,所以切線方程：y-1=3（x-1），即.【小問2詳解】,令得,①當a=0時，f（x）=x3在[0，2]上為單調遞增函數，所以f（x）max=f（2）=8；②當時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上為單調遞減函數，所以;③當時，即0<a<3時，f（x）在上單調遞減，在單調遞增，所以f（x）=max{f（0），f（2）}，（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max=f（0）=-a，（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）=8-5a；綜上，當0≤a<2時，f（x）max=f（2）=8-5a；當a≥2時，f（x）max=f（0）=-a18、，因此.,當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值70萬元【解析】解：（Ⅰ）設隔熱層厚度為，由題設，每年能源消耗費用為.再由，得，因此.而建造費用為最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）當時，，當時，，故是的最小值點，對應的最小值為當隔熱層修建厚時，總費用達到最小值為70萬元19、（1）（2）或.【解析】（1）選條件①，由準線方程得參數，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點坐標與拋物線焦點坐標相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點共線時，，再由兩點間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點坐標，由點到直線距離公式求得到直線的距離，設，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達定理得，由弦長公式得弦長，再計算出三角形的面積后可解得【小問1詳解】選條件①：由準線方程為知，所以拋物線C的方程為選條件②：因為拋物線的焦點坐標為所以由已知得橢圓的一個焦點為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為選條件③：由題意可知得，當F，A，B三點共線時，，由兩點間距離公式，解得，所以拋物線C的方程為.【小問2詳解】把代入方程，可得，設，，聯立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線的距離為，所以，即，解得或經檢驗均滿足，所以m的值為或.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設為中點，連接，，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）確定異面直線與所成的角為，計算三角形各邊長，根據余弦定理計算得到答案.【小問1詳解】設為中點，連接，，∵為中點，是的中點，，，故，且，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，平面，平面，故平面.【小問2詳解】∵，故異面直線與所成的角為，在中：，，.根據余弦定理：，所以異面直線與所成的角的余弦值為.21、（1）（2）見解析（3）【解析】（1）選①，根據與的關系即可得出答案；選②，根據與的關系結合等差數列的定義即可得出答案；選③，利用等差中項法可得數列是等差數列，再求出公差，即可得解；（2）求出數列的通項公式，再根據等比數列的定義即可得證；（3）求出數列的通項公式，再利用錯位相減法即可得出答案.【小問1詳解】解：選①，當時，，當時，也成立，所以；選②，因為，所以，所以數列是以為公差的等差數列，所以；選③且，因為，所以數列是等差數列，公差，所以；【小問2詳解】解：由（1）得，則，所以數列是以為首項，為公比的等比數列；【小問3詳解】解：，，①，②由①②得，所以.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過作面，連接，結合題設易知，根據過面外一點在該面上垂線性質知重合，再應用面面垂直的判定證明結論.（2）面中過作，結合題設構建空間直角坐標系，設并確定相關點