2025屆河南洛陽名校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆河南洛陽名校數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線上任意一點(diǎn)P，且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．12．已知點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若，則的面積為（）A． B． C． D．3．已知集合,則（）A． B． C． D．4．若，則的值為（）A． B． C． D．5．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則內(nèi)角（）A． B． C． D．6．已知為等差數(shù)列，若，，則()A．1 B．2 C．3 D．67．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若是奇函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．8．拋物線方程為，一直線與拋物線交于兩點(diǎn)，其弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．9．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．10．已知銳角滿足則（）A． B． C． D．11．根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對(duì)稱軸二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對(duì)弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長(zhǎng)為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長(zhǎng)是__________，弧田的面積是__________．14．如圖，在菱形ABCD中，AB=3，，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點(diǎn)，，若線段EF上存在一點(diǎn)M，使得，則____________，____________．（本題第1空2分，第2空3分）15．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是上底面16．若，，則___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(2,1)，求|PA|?|PB|的值.18．（12分）改革開放年，我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí)，某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人，進(jìn)行問卷測(cè)評(píng)，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值，并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率；已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為，完成下列列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人，再?gòu)娜酥须S機(jī)選取人對(duì)未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查，求至少有人得分低于分的概率.附：其中19．（12分）已知是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的值域；（2）設(shè)為的三個(gè)內(nèi)角，若，求的值；21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.22．（10分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.2、D【解析】

設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，設(shè)，得，求出的值，即得解.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為，連接，由對(duì)稱性可知四邊形是平行四邊形，所以，.設(shè)，則，又.故，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.3、B【解析】

計(jì)算，再計(jì)算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】

根據(jù)，再根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力5、C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．6、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】∵{an}為等差數(shù)列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】

構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù)，求得的值，由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，所以在上遞增.由于是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8、A【解析】

設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，所以直線的斜率為2，又過點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得到直線的方程.【詳解】解：設(shè)，∴，又，兩式相減得：，∴，∴，∴直線的斜率為2，又∴過點(diǎn)，∴直線的方程為：，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交的中點(diǎn)弦問題，解題方法是“點(diǎn)差法”，即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程相減后可把弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)建立關(guān)系．9、C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.10、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因?yàn)殇J角，所以，，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.11、A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研，每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，可得，即，，，故，對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長(zhǎng).利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長(zhǎng)為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點(diǎn)睛】本小題主要考查弓形弦長(zhǎng)和弓形面積的計(jì)算，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)，則，所以，解得，所以，從而有.15、π.【解析】

設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'，分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點(diǎn)的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設(shè)三棱錐P-ABC的外接球?yàn)榍騉'分別取AC、A1C1的中點(diǎn)O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設(shè)球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點(diǎn)P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點(diǎn)P所構(gòu)成的圖形的面積為π×O【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球的相關(guān)問題，根據(jù)立體幾何中的線段關(guān)系求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，屬于中檔題.16、【解析】

因?yàn)椋?，又，所以，則，所以．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的普通方程，圓的直角坐標(biāo)方程：.（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.（2）將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3＝0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ＝3，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.18、，概率為；列聯(lián)表詳見解析，有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān)；.【解析】

根據(jù)頻率和為列方程求得的值，計(jì)算得分在分以上的頻率即可；根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算的值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；用分層抽樣法求得抽取各分?jǐn)?shù)段人數(shù)，用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.【詳解】解：解得.所以，該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率根據(jù)題意可知，安全意識(shí)強(qiáng)的人數(shù)有，其中男性為人，女性為人，填寫列聯(lián)表如下：安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)所以有的把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān).由題意可知分?jǐn)?shù)在，的分別為名和名，所以分層抽取的人數(shù)分別為名和名，設(shè)的為，，的為，，，，則基本事件空間為，，，，，，，，，，，，，，共種，設(shè)至少有人得分低于分的事件為，則事件包含的基本事件有，，，，，，，，共種所以.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)應(yīng)用問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于中檔題.19、（1）;（2）.【解析】

（1）方程的兩根為，由題意得，在利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求出．【詳解】方程x2－5x＋6＝0的兩根為2，3.由題意得a2＝2，a4＝3.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，故d＝，從而得a1＝.所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝n＋1.（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由（1）知＝，則Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，兩式相減得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列的求和．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、一元二次方程的解法等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，解答中方程的兩根為，由題意得，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．20、（1）（2）【解析】

（1）將，利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為：，，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，（2）根據(jù)，得，又為的內(nèi)角，得到，再根據(jù)，利用兩角和與差的余弦公式求解，【詳解】（1），，，，即的值域?yàn)椋唬?）由，得，又為的內(nèi)角，所以，又因?yàn)樵谥校?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的