平面及其基本性質(zhì)學(xué)案高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

授課主題平面及其基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1、掌握平面的性質(zhì)以及表示2、掌握三個(gè)公理及其對(duì)應(yīng)的推論合理演繹推理證明相關(guān)命題教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)、平面的確定難點(diǎn)：公理的應(yīng)用以及相關(guān)證明教學(xué)內(nèi)容平面及其基本性質(zhì)平面及其基本性質(zhì)【知識(shí)梳理】一、平面的基本概念1.平面的概念：“平面”是一個(gè)只描述而不定義的原始概念，常見(jiàn)的桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們以平面的形象.幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來(lái)的，但是，幾何里的平面是無(wú)限延展的．【注意】（1）“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)）；（2）“平面”無(wú)厚薄之分；（3）“平面”無(wú)邊界，它可以向四周無(wú)限延展，這是區(qū)別“平面”與“平面圖形”的依據(jù)．2.平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．【注意】（1）表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成，橫邊長(zhǎng)是其鄰邊的兩倍；（2）兩個(gè)相交平面的畫法：當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，把被遮住的部分的線段畫為虛線或者不畫；3.平面的表示法：（1）用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面、平面等；（2）用表示平面的平行四邊形的四個(gè)字母表示，如平面；（3）用表示平面的平行四邊形的相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)的兩個(gè)字母表示，如平面或者平面；4.點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：表一：點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面位置關(guān)系符號(hào)表示圖形表示點(diǎn)與直線點(diǎn)A在直線l上（直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A）點(diǎn)B不在直線l上（直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B）點(diǎn)與平面點(diǎn)A在平面上（平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A）點(diǎn)B不在平面上（平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)B）表二：直線與平面直線l與平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)位置關(guān)系符號(hào)表示圖形表示0直線l與平面平行（）1直線l與平面相交于點(diǎn)A2直線l在平面上（平面經(jīng)過(guò)直線l）表三：平面與平面空間兩個(gè)不同平面的位置關(guān)系符號(hào)表示圖形表示相交平行二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個(gè)公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ).①公理1：（1）文字語(yǔ)言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：，，，；（3）圖形語(yǔ)言表述：②公理2：（1）文字語(yǔ)言表述：不在一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：、、三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使得，，；（3）圖形語(yǔ)言表述：【注意】公理2的作用是確定平面，是把空間問(wèn)題化歸成平面問(wèn)題的重要依據(jù)．它還可用來(lái)證明“兩個(gè)平面重合”．特別要注意公理2中“不在一條直線上的三點(diǎn)”這一條件．“有且只有一個(gè)”的含義可以分開(kāi)來(lái)理解．“有”是說(shuō)明“存在”，“只有一個(gè)”說(shuō)明“唯一”，所以“有且只有一個(gè)”也可以說(shuō)成“存在”并且“唯一”，與確定同義．（4）公理2的推論：①一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面；②兩條相交直線確定一個(gè)平面；③兩條平行直線確定一個(gè)平面.公理3：（1）文字語(yǔ)言表述：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線；（2）符號(hào)語(yǔ)言表述：且；（3）圖形語(yǔ)言表述：【典型例題】【例1】下面的說(shuō)法中正確的是（）．A．平行四邊形是一個(gè)平面B．任何一個(gè)平面圖形都是一個(gè)平面C．平靜的太平洋面就是一個(gè)平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面【變式訓(xùn)練】1、下列命題：（1）書桌面是平面；（2）8個(gè)平面重疊起來(lái)要比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；（3）有一個(gè)平面的長(zhǎng)是50m，寬是20m；（4）平面是絕對(duì)的平、無(wú)厚度、可以無(wú)限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）．A．1B．2C．3D．42、如果空間四點(diǎn)A，B，C，D不共面，那么下列判斷中正確的是（）A．A，B，C，D四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線 B．直線與相交C．A，B，C，D四點(diǎn)中不存在三點(diǎn)共線 D．直線與平行3、判斷下列命題的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）可畫一個(gè)平面，使它的長(zhǎng)為，寬為． （ ）（2）一個(gè)平面的面積為． （ ）（3）光滑的桌面就是一個(gè)平面． （ ）（4）一條直線把它所在的平面分成兩部分，一個(gè)平面把空間分成兩部分． （ ）（5）若一條直線和一個(gè)平面僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱該平面經(jīng)過(guò)這條直線． （ ）（6）若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則稱該平面經(jīng)過(guò)這條直線． （ ）（7）經(jīng)過(guò)面內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線，若直線上各點(diǎn)都在這個(gè)面內(nèi)，那么這個(gè)面是平面． （ ）（8）空間兩個(gè)平面可將空間分成四部分． （ ）【例2】平面內(nèi)的直線a、b相交于點(diǎn)P，用符號(hào)語(yǔ)言概述為“，且P∈”，是否正確？【變式訓(xùn)練】指出圖中的圖形畫法是否正確，如不正確，請(qǐng)改正．（1）如圖1，直線a在平面α內(nèi)．（2）如圖2，直線a和平面α相交．（3）如圖3，直線a和平面α平行．【例3】判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由：（1）一點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面；（2）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的兩條直線確定一個(gè)平面：（3）兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；（4）首尾依次相接的4條線段在同一平面內(nèi)．【變式訓(xùn)練】1、空間不共線的四點(diǎn)，可確定的平面?zhèn)€數(shù)是（）A． B． C．或 D．或2、正方體的八個(gè)頂點(diǎn)一共可以確定個(gè)平面．3、（1）兩條直線可以確定一個(gè)平面；（2）一個(gè)點(diǎn)，一條直線可以確定一個(gè)平面；（3）一組對(duì)邊平行的四邊形是平面圖形；（4）三角形是平面圖形；（5）四邊形是平面圖形；（6）六邊形是平面圖形；（7）兩兩平行的三條直線共面；（8）空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；（9）兩兩相交的三條直線必定共面；（10）四條邊都相等的四邊形一定是菱形；（11）一條直線和兩條平行直線都相交，則這三條直線共面．以上命題正確的有．【例4】三個(gè)互不重合的平面，能把空間分成n部分，則n的所有可能值為_(kāi)_____________．建議做出圖像：【例5】如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由．（1）直線AC1在平面CC1B1B內(nèi)；（2）設(shè)正方形ABCD與正方形A1B1C1D1的中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D的交線為OO1；（3）由點(diǎn)A、D、C可以確定一個(gè)平面；（4）由點(diǎn)A、C1、B1確定的平面為ADC1B1；（5）由點(diǎn)A、C1、B1確定的平面與由點(diǎn)A、C1、D確定的平面是同一個(gè)平面．【例6】已知直線a∥b，直線與a，b都相交，求證：過(guò)a，b，有且只有一個(gè)平面．【變式訓(xùn)練】證明題（1）空間兩兩相交的四條直線能確定幾個(gè)平面？（2）證明空間不共點(diǎn)且兩兩相交的四條直線在同一平面內(nèi)．【例7】如下圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面內(nèi)，它的三邊AB、BC、AC延長(zhǎng)后分別交平面于點(diǎn)P、Q、R．求證：P、Q、R在同一條直線上．【變式訓(xùn)練】已知E,F,G,H分別是空間四邊形各邊AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)，且直線EF與GH交于點(diǎn)P．求證：B，D，P在同一直線上．【例8】如下圖，已知空間四邊形ABCD（即四個(gè)點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形）中，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且．求證：直線EF、GH、AC相交于一點(diǎn)．一、單選題1．空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（）個(gè)區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．162．下列命題正確的是（）A．經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面C．經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面D．四邊形確定一個(gè)平面3．已知為平面，A，B，M，N為點(diǎn)，a為直線，下列推理錯(cuò)誤的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β?C．A∈，A∈β?D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共線?，β重合4．在正方體中，，，，分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中，，，四點(diǎn)共面的是（）A． B．C． D．二、填空題5．已知空間四點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是_______.6．給出下列說(shuō)法：①和直線都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線一定在同一個(gè)平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的四條直線共面．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是______．7．設(shè)平面與平面相交于直線，直線，直線，，則_____（用符號(hào)表示）.8．下列說(shuō)法中正確的有______個(gè).①空間中三條直線交于一點(diǎn)，則這三條直線共面；②一個(gè)平行四邊形確定一個(gè)平面；③若一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，則這兩個(gè)角相等；④已知兩個(gè)不同的平面和，若，，且，則點(diǎn)在直線上.9．下列四個(gè)命題：①兩個(gè)相交平面有不在同一直線上的三個(gè)公交點(diǎn)②經(jīng)過(guò)空間任意三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面③過(guò)兩平行直線有且只有一個(gè)平面④在空間兩兩相交的三條直線必共面其中正確命題的序號(hào)是______.10.空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒(méi)有任何3點(diǎn)共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定___個(gè)平面.11.用符號(hào)語(yǔ)言改寫下列語(yǔ)句.（1）點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)不在直線上；（2）直線在平面內(nèi)，直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）直線和相交于一點(diǎn)；（4）平面與平面相交于過(guò)點(diǎn)A的直線.1、平面在高中數(shù)學(xué)的定義2、點(diǎn)線面的關(guān)系有哪些，數(shù)學(xué)符號(hào)表示是什么3、公理1、2、3的內(nèi)容以及公理2的三個(gè)推論【補(bǔ)充】一、證明點(diǎn)線共面所謂點(diǎn)線共面問(wèn)題就是指證明一些點(diǎn)或直線在同一個(gè)平面內(nèi)的問(wèn)題．1．證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：（1）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（公理1）；②經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（公理2及其推論）．2．證明點(diǎn)線共面的常用方法：（1）納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；（2）輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面a、β重合；（3）反證法．3．具體操作方法：（1）證明幾點(diǎn)共面的問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其余各點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)；（2）證明空間幾條直線共面問(wèn)題可先取兩條（相交或平行）直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線均在這個(gè)平面內(nèi)．二、證明三點(diǎn)共線問(wèn)題所謂點(diǎn)共線問(wèn)題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同—條直線上．1．證明三點(diǎn)共線的依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他的公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．也就說(shuō)一個(gè)點(diǎn)若是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．對(duì)于這個(gè)公理應(yīng)進(jìn)一步理解下面三點(diǎn)：①如果兩個(gè)相交平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么過(guò)這兩點(diǎn)的直線就是它們的交線；②如果兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這三點(diǎn)共線；③如果兩個(gè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另