哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（北師版）

哈工大（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級期中考試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.如圖所示的物體，其主視圖是（）A. B. C. D.2.若是方程的一個根，則方程的另一個根是（）A.3 B.4 C.﹣3 D.－43.如圖，菱形ABCD中，∠D＝140°，則∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°4.下列命題是真命題的是（）A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形5.如圖，已知點(diǎn)D為ABC邊AB上一點(diǎn)，AD：AB＝2：3，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，若AE＝6，則EC的長度是（）A.1 B.2 C.3 D.46.在不透明袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個數(shù)約為（）A.20個 B.30個 C.40個 D.50個7.如圖，中，，與交于點(diǎn)O，與，交于點(diǎn)N、M，則下列式子中錯誤的是（）A. B. C. D.8.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C.且 D.且9.一件商品標(biāo)價100元，連續(xù)兩次降價后的價格為81元，則兩次平均降價的百分率是（）A.10% B.15% C.18% D.20%10.如圖1，分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC，EG剪開，拼成如圖2所示的?ALMN，若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且?ALMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為（）A.24 B.25 C.26 D.27二．填空題（每題3分，共15分）11.已知，則的值是___．12.若菱形的兩條對角線長分別是6cm，8cm，則該菱形的面積是____cm2．13.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，則BC的長為_____cm．14.某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為____．15.如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時，則四邊形面積為______．三．解答題（共55分）16.解方程：（1）；（2）（用配方法解）；（3）．17.已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．18.某中學(xué)為了解學(xué)生對新聞、體育、娛樂、動畫四類電視節(jié)目的喜愛情況，進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查隨機(jī)調(diào)查了某班所有同學(xué)最喜歡的節(jié)目每名學(xué)生必選且只能選擇四類節(jié)目中的一類并將調(diào)查結(jié)果繪成如下不完整的統(tǒng)計圖根據(jù)兩圖提供的信息，回答下列問題：最喜歡娛樂類節(jié)目的有______人，圖中______；請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，若該校有1800名學(xué)生，請你估計該校有多少名學(xué)生最喜歡娛樂類節(jié)目；在全班同學(xué)中，有甲、乙、丙、丁等同學(xué)最喜歡體育類節(jié)目，班主任打算從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選取2人參加學(xué)校組織體育知識競賽，請用列表法或樹狀圖求同時選中甲、乙兩同學(xué)的概率．19.如圖，在ΔABC中，∠ABC=90o，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF（1）猜想四邊形BDFG的形狀，并說明理由（2）若AF=8，CF=6，求四邊形BDFG的周長20.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤．通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤．為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售．銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊向終點(diǎn)A以1cm/s的速度移動；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿邊向終點(diǎn)O以1cm/s的速度移動．有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，若P、Q同時出發(fā)，運(yùn)動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示的長；（2）當(dāng)t何值時，與相似？22.（1）問題如圖1，在四邊形中，點(diǎn)P上一點(diǎn)，當(dāng)時，求證：．（2）探究若將角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰．點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)F在上，且，若，求的長．

哈工大（深圳）實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級期中考試數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1.如圖所示的物體，其主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把從正面看到的平面圖形畫出來即可.【詳解】解：從正面可以看到的平面圖形是故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是三視圖，掌握三視圖中的主視圖是解本題的關(guān)鍵.2.若是方程的一個根，則方程的另一個根是（）A.3 B.4 C.﹣3 D.－4【答案】A【解析】【分析】設(shè)另一根為結(jié)合是方程的一個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：從而可得答案．【詳解】解：是方程的一個根，設(shè)另一根為即方程的另一個根是故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3.如圖，菱形ABCD中，∠D＝140°，則∠1的大小是（）A.10° B.20° C.30° D.40°【答案】B【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得到DA＝DC，∠DAC＝∠1，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA＝∠1，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DAC，即可得到∠1．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∠DAC＝∠1，∴∠DAC＝∠DCA＝∠1，在△ABD中，∵∠D＝140°，∠D+∠DAC+∠DCA＝180°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝×（180°﹣140°）＝20°，∴∠1＝20°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC是解決問題的關(guān)鍵．4.下列命題是真命題的是（）A.對角線相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相平分且相等的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的四邊形是菱形D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形【答案】B【解析】【分析】A、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；B、根據(jù)矩形的判定定理作出判斷；C、根據(jù)菱形的判定定理作出判斷；D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項錯誤，不符合題意；B、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；故本選項正確，符合題意；C、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤，不符合題意；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關(guān)系．5.如圖，已知點(diǎn)D為ABC邊AB上一點(diǎn)，AD：AB＝2：3，過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，若AE＝6，則EC的長度是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由在△ABC中，DE∥BC，即可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AC的長，然后AC-AE即可求得答案．【詳解】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴，∵AD：AB=2：3，AE=6，∴AC=AE=9,∴EC=AC-AE=9-6=3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行截三角形相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6.在不透明的袋子中裝有黑、白兩種球共50個，這些球除顏色外都相同，隨機(jī)從袋中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，再從中摸出一個球，經(jīng)過如此大量重復(fù)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸出的黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，則袋子中黑球的個數(shù)約為（）A.20個 B.30個 C.40個 D.50個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，黑，白兩種球共50個，即可確定出黑球個數(shù)．【詳解】解：∵黑球的頻率穩(wěn)定在0.4附近，黑，白兩種球共50個，∴黑球的個數(shù)約為：故選：A．【點(diǎn)睛】根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)，②符合條件的情況數(shù)目，二者的比值就是其發(fā)生的概率．7.如圖，中，，與交于點(diǎn)O，與，交于點(diǎn)N、M，則下列式子中錯誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)可得，，，，，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例逐項判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，，所以A、B、C正確；∵，∴，∴，∴，所以D錯誤．故選：D．8.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程定義得出二次項系數(shù)k≠0；由方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得出“△>0”，解這兩個不等式即可得到k的取值范圍．【詳解】解：由題可得：,解得：且；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，涉及到了解不等式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意并牢記一元二次方程的概念和根的判別式的內(nèi)容，能正確求出不等式（組）的解集等，本題對學(xué)生的計算能力有一定的要求．9.一件商品標(biāo)價100元，連續(xù)兩次降價后的價格為81元，則兩次平均降價的百分率是（）A.10% B.15% C.18% D.20%【答案】A【解析】【分析】設(shè)平均每次降價的百分率為x，那么第一次降價后的單價是原來的（1-x），那么第二次降價后的單價是原來的（1-x）2，根據(jù)題意列方程解答即可．【詳解】解：設(shè)平均每次降價的百分率為x，根據(jù)題意列方程得：100×（1﹣x）2＝81，解得x1＝01＝10%，x2＝1.9（不符合題意，舍去），故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于分析降價后的價格，要注意降價的基礎(chǔ)，另外還要注意解的取舍，難度一般．10.如圖1，分別沿長方形紙片ABCD和正方形紙片EFGH的對角線AC，EG剪開，拼成如圖2所示的?ALMN，若中間空白部分四邊形OPQR恰好是正方形，且?ALMN的面積為50，則正方形EFGH的面積為（）A.24 B.25 C.26 D.27【答案】B【解析】【分析】此題涉及的知識點(diǎn)是正方形、長方形的性質(zhì)，先根據(jù)正方形和長方形的性質(zhì)求出各邊長的關(guān)系，再根據(jù)?ALMN的面積，求出各邊長的關(guān)系，最后得出面積.【詳解】解：設(shè)EF=a，BC=b，AB=c，則PQ=a-c，RQ=b-a，PQ=RQ∴a=，∵?ALMN的面積為50，∴bc+a2+(a-c)2=50,把a(bǔ)=代入化簡求值得b+c=10,∴a=5,∴正方形EFGH的邊長為5，∴正方形EFGH的面積為25，故選：B.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對于正方形和長方形的性質(zhì)的理解，熟練掌握這兩個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二．填空題（每題3分，共15分）11.已知，則的值是___．【答案】##【解析】【分析】直接根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，，；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.若菱形的兩條對角線長分別是6cm，8cm，則該菱形的面積是____cm2．【答案】24【解析】【分析】已知對角線的長度，根據(jù)菱形的面積計算公式即可計算菱形的面積．【詳解】解：該菱形的面積是S=ab=×6×8=24cm2，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積計算公式，解題的關(guān)鍵是牢記公式．13.如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC＝4cm，∠AOD＝120°，則BC的長為_____cm．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分可得OA=OB，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOB=60°，然后判斷出△AOB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=OA，然后利用勾股定理列式計算即可得解．【詳解】在矩形ABCD中，OA＝OB＝AC＝×4＝2cm，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2cm，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，BC＝＝＝2cm．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的對角線相等且互相平分．14.某十字路口的交通信號燈每分鐘紅燈亮30秒，綠燈亮25秒，黃燈亮5秒，當(dāng)你抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為____．【答案】【解析】【分析】隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，據(jù)此用綠燈亮的時間除以三種燈亮的總時間，求出抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為多少即可．【詳解】抬頭看信號燈時，是綠燈的概率為．故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）隨機(jī)事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．15.如圖，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一個動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，連接，當(dāng)取最小值時，則四邊形的面積為______．【答案】【解析】【分析】首先連接OP，易得四邊形ONPM是矩形，即可得在中，當(dāng)OP⊥AB時OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理與三角形的面積的求解，則四邊形的面積可求．【詳解】解：如圖，連接OP．

由已知可得：．

∴四邊形ONPM矩形．

∴，

在中，當(dāng)時OP最短，即MN最?。?/p>

∵即

根據(jù)勾股定理可得：．∵∴∴即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使OP⊥AB于點(diǎn)P時，MN最小，最小值為在中，根據(jù)勾股定理可得：∴∵∴∴在中∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理與三角形面積問題．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．三．解答題（共55分）16.解方程：（1）；（2）（用配方法解）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，（1）根據(jù)直接開平方法解一元二次方程即可求解；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解；（3）根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】解：，，解得：；【小問2詳解】解：，化系數(shù)為1，得，移項，得，配方，得，開方，得，解得，；【小問3詳解】解：，移項，得，分解因式，得，或，解得，．17.已知：如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(diǎn)，連接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求證：AE＝CF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，再利用角的等量代換得出，接著由角邊角判定，最后由全等的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是菱形，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點(diǎn)，∴，．∵，∴，即．在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練地掌握這些性質(zhì)和判定定理，并能從題中找到合適的條件進(jìn)行證明．18.某中學(xué)為了解學(xué)生對新聞、體育、娛樂、動畫四類電視節(jié)目的喜愛情況，進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查隨機(jī)調(diào)查了某班所有同學(xué)最喜歡的節(jié)目每名學(xué)生必選且只能選擇四類節(jié)目中的一類并將調(diào)查結(jié)果繪成如下不完整的統(tǒng)計圖根據(jù)兩圖提供的信息，回答下列問題：最喜歡娛樂類節(jié)目的有______人，圖中______；請補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，若該校有1800名學(xué)生，請你估計該校有多少名學(xué)生最喜歡娛樂類節(jié)目；在全班同學(xué)中，有甲、乙、丙、丁等同學(xué)最喜歡體育類節(jié)目，班主任打算從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中選取2人參加學(xué)校組織的體育知識競賽，請用列表法或樹狀圖求同時選中甲、乙兩同學(xué)的概率．【答案】（1）20、18；（2）詳見解析；（3）720；（4）．【解析】【分析】(1)先根據(jù)“新聞”類人數(shù)及其所占百分比求得總?cè)藬?shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其他三個類型人數(shù)即可求得“娛樂”類人數(shù)，用“動畫”類人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得x的值；(2)根據(jù)(1)中所求結(jié)果即可補(bǔ)全條形圖；(3)用總?cè)藬?shù)乘以樣本中“娛樂”類節(jié)目人數(shù)所占比例即可得；(4)根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與恰好同時選中甲、乙兩位同學(xué)的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，最喜歡娛樂類節(jié)目的有，，即，故答案為20、18；補(bǔ)全條形圖如下：估計該校最喜歡娛樂類節(jié)目的學(xué)生有人；畫樹狀圖得：共有12種等可能的結(jié)果，恰好同時選中甲、乙兩位同學(xué)的有2種情況，恰好同時選中甲、乙兩位同學(xué)的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用列表法或畫樹狀圖法求概率，讀懂統(tǒng)計圖，能從不同的統(tǒng)計圖中發(fā)現(xiàn)必要的信息是解題的關(guān)鍵.本題還用到的知識點(diǎn)是：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19.如圖，在ΔABC中，∠ABC=90o，D為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作BD的平行線，交CE的延長線于點(diǎn)F，在AF的延長線上截取FG=BD，連接BG、DF（1）猜想四邊形BDFG的形狀，并說明理由（2）若AF=8，CF=6，求四邊形BDFG的周長【答案】（1）四邊形BDFG是菱形（2）周長為20【解析】【詳解】解：（1）四邊形BDFG是菱形．

理由：∵AG∥BD，BD=FG，∴四邊形BGFD是平行四邊形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵D為AC的中點(diǎn)，∴BD=DF=AC，∴四邊形BDFG是菱形，（2）∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，∴AC==10，∴DF=AC=5，∵四邊形BDFG是菱形，∴BD=GF=DF=5，∴C菱形BDFG=4?BD=20．20.水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤，然后以每斤4元的價格出售，每天可售出100斤．通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每斤的售價每降低0.1元，每天可多售出20斤．為保證每天至少售出260斤，張阿姨決定降價銷售．銷售這種水果要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低多少元？【答案】要想每天盈利300元，張阿姨需將每斤的售價降低1元；【解析】【分析】本題為一元二次方程的典型應(yīng)用，設(shè)每斤水果降價x元，則每天多售出200x斤，根據(jù)每日利潤=每斤利潤×銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)每天至少售出260斤，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可確定x的值，此題得解．【詳解】設(shè)這種水果每斤的售價降價x元，則(4－2－x)(100＋200x)＝300.解得x1＝1，x2＝.當(dāng)x＝1時，每天的銷量為300斤；當(dāng)x＝時，每天的銷量為200斤．因?yàn)闉楸ＷC每天至少售出260斤，所以x2＝不合題意，應(yīng)舍去．此時每斤的售價為4－1＝3(元)．答：銷售這種水果要想每天盈利30