隨機(jī)變量的數(shù)字特征教案

PAGEPAGE2EQEQEQ第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征教學(xué)目標(biāo)及基本要求（1）理解數(shù)學(xué)期望和方差的定義并且掌握它們的計(jì)算公式；（2）掌握數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，特別是利用期望或方差的性質(zhì)計(jì)算某些隨機(jī)變量函數(shù)的期望和方差。（3）熟記0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差；（4）了解矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，并會(huì)計(jì)算。教學(xué)內(nèi)容數(shù)學(xué)期望離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差方差的概念及計(jì)算、方差的性質(zhì)、常見分布的數(shù)學(xué)期望及方差簡(jiǎn)單歸納協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)矩和協(xié)方差矩陣本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)數(shù)學(xué)期望、方差的具體含義；數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)，使用性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧；特別是級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算。期望、方差的應(yīng)用；本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬將數(shù)學(xué)期望拓展到數(shù)學(xué)期望向量和數(shù)學(xué)期望矩陣；協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)概念和公式拓寬到n維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣和相關(guān)系數(shù)矩陣。教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題一個(gè)隨機(jī)變量并不一定存在數(shù)學(xué)期望和方差，也有可能數(shù)學(xué)期望存在，而方差不存在，如柯西分布是最著名的例子；數(shù)學(xué)期望的一個(gè)具體的數(shù)字，不是函數(shù)；由方差的定義知，方差是非負(fù)的；獨(dú)立性和不相關(guān)性之間的關(guān)系，一般地，X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，反之則不然，但對(duì)于正態(tài)分布，兩者卻是等價(jià)的；思考題和習(xí)題思考題：1.假定一個(gè)系統(tǒng)由5個(gè)電子元件組裝而成，假定它們獨(dú)立同服從于指數(shù)分布，將它們串接起來，求系統(tǒng)的平均壽命，若將它們并行連接，其系統(tǒng)的平均壽命是多少？并比較其優(yōu)劣。2.方差的定義為什么不是？3.工程上經(jīng)常遇到計(jì)算誤差，它是否與方差是同一個(gè)概念？4．協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)有什么本質(zhì)上的區(qū)別？5．隨機(jī)變量與獨(dú)立可以推導(dǎo)，反之呢？對(duì)正態(tài)分布又如何呢？§4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望又稱均值，是反映隨機(jī)變量平均狀況的數(shù)字特征。平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特征，它對(duì)評(píng)判事物、做出決策等具有重要的作用。例4-1甲乙兩人進(jìn)行打靶射擊，各打100發(fā)子彈，他們打中的環(huán)數(shù)及次數(shù)如下：試問哪個(gè)技術(shù)好一點(diǎn)？解甲的平均環(huán)數(shù)為：乙的平均環(huán)數(shù)為：所以乙的射擊技術(shù)好一點(diǎn)。從上面可以看到，這里采用了以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，將這種方法應(yīng)用到概率問題上就得到了離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念。定義4-1若離散型隨機(jī)變量X的分布律為，當(dāng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂時(shí)，則稱X存在數(shù)學(xué)期望，且其數(shù)學(xué)期望為，記作EX，即EX=，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為期望，又稱均值。例4-2有一種博彩游戲，博彩者將本金1元押注在1到6的某個(gè)數(shù)字上，然后擲三枚骰子，若所壓的數(shù)字出現(xiàn)i次（i=1,2,3），則下注者贏i元，否則沒收1元本金。試問這樣的游戲規(guī)則對(duì)下注者是否公平？解設(shè)X為一次下注的贏利，則其概率分布為：從上面可以看出：每平均玩216次，下注者必將輸17元。故這一游戲規(guī)則對(duì)下注者來說是不公平的。由于連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一個(gè)區(qū)間，所以對(duì)連續(xù)的函數(shù)，需要用到和的極限即定積分來進(jìn)行計(jì)算。這樣我們就得到了連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。定義4-2設(shè)X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為f(x)，當(dāng)絕對(duì)收斂時(shí)，稱X的數(shù)學(xué)期望存在，且數(shù)學(xué)期望為，記作EX，即EX=例4-3設(shè)是一隨機(jī)變量，其概率密度為求.解根據(jù)定義4.2得二、常用離散型分布的數(shù)學(xué)期望退化分布離散型隨機(jī)變量只取常數(shù)，即，因此，0-1分布離散型隨機(jī)變量的概率分布為則3.個(gè)點(diǎn)上的均勻分布離散型隨機(jī)變量的概率分布為，則4.二項(xiàng)分布，即離散型隨機(jī)變量的概率分布為則5．幾何分布離散型隨機(jī)變量的概率分布為。利用冪級(jí)數(shù)求和公式，當(dāng)時(shí)于是6．超幾何分布離散型隨機(jī)變量服從超幾何分布，其概率分布為，可得7．泊松分布離散型隨機(jī)變量的概率分布為則。三、常用連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望1．均勻分布連續(xù)型隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，其密度函數(shù)為則2．指數(shù)分布連續(xù)型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，密度函數(shù)為則正態(tài)分布隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為則其期望為，（令）四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望我們已經(jīng)熟悉了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，由定義，在求數(shù)學(xué)期望時(shí)應(yīng)該先求出該隨機(jī)變量的概率分布或密度函數(shù)。但在求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望時(shí)，可以不必求的概率分布或密度函數(shù)，而只要直接利用原隨機(jī)變量的概率分布或密度函數(shù)就可以了，這對(duì)簡(jiǎn)化計(jì)算是有利的，為此需要下面的定理。定理4-1設(shè)為連續(xù)函數(shù)，（1）若離散型隨機(jī)變量的分布律為，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為（2）若連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為求隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g（X）的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)然可以先求出Y的概率分布，再根據(jù)定義求出Y的數(shù)學(xué)期望，可當(dāng)函數(shù)關(guān)系g(x)復(fù)雜時(shí)，計(jì)算很麻煩。利用上述給出的公式直接由X的分布求Y=g（X）的期望可以簡(jiǎn)化計(jì)算。例4-4設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為求。解例4-5設(shè)服從參數(shù)的指數(shù)分布，求.解由題設(shè)知，的密度函數(shù)為且，又因?yàn)閺亩?、二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若二維隨機(jī)變量（X,Y）的兩個(gè)分量X，Y都具有數(shù)學(xué)期望E(X)，E(Y)，則稱(E(X),E(Y))，為二維隨機(jī)變量（X，Y）的數(shù)學(xué)期望。從定義可以看出，二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一維情形的推廣，所以我們研究更重要的Z=g（X,Y）的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算定理4-2已知二維隨機(jī)變量（X,Y）的數(shù)學(xué)期望，而Z=g（X，Y），其中為連續(xù)函數(shù)。（1）設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為P{X=,Y=}=,i,j=1,2…若絕對(duì)收斂則E(Z)=E[g(X,Y)]=（2）設(shè)（X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為f(x,y)若絕對(duì)收斂則E(Z)=E[g(X,Y)]=例4-6假定在國(guó)際市場(chǎng)上每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X（單位噸），它服從[2000，4000]均勻分布，設(shè)每售出這種商品一噸可為國(guó)家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而積于倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元，問題是要確定應(yīng)組織多少貨源，才能使國(guó)家的收益最大。解以y記預(yù)備某年出口的此種商品量（顯然可以考慮20004000的情況），則收益（單位：萬元）而===+=[]對(duì)上式求導(dǎo)，并令=0，可得當(dāng)y=3500時(shí)達(dá)到最大值，因此組織3500噸此種商品是最好的決策。六、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的最重要和最基本的數(shù)字特征，本章所介紹的其他隨機(jī)變量的數(shù)字特征，均使用了對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)求數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算，下面介紹數(shù)學(xué)期望的一些運(yùn)算性質(zhì)。（1）設(shè)c為常數(shù)，則Ec=c（2）設(shè)c為常數(shù)，則E（cE）=cEX（3）設(shè)X、Y是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則E（X±Y）=EX±EY（4）設(shè)X與Y相互獨(dú)立，則E（XY）=EX·EY例4-7求超幾何分布m=0，1，…，n的數(shù)學(xué)期望。解此題當(dāng)然可以用定義直接求出，但也可以用下面方法計(jì)算設(shè)想一個(gè)相應(yīng)的不放回抽樣，令則因此，而表示幾次抽樣中抽出的廢品數(shù)，它服從超幾何分布，利用性質(zhì)(3)得到§4.2方差對(duì)隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望反應(yīng)了其取值集中的位置，但有的隨機(jī)變量取值相對(duì)集中，有的相對(duì)分散，因此需要引入另外一個(gè)反映這種集中或分散程度的數(shù)字特征，這就是方差。方差是表示隨機(jī)變量在其數(shù)學(xué)期望附近分散程度的一個(gè)指標(biāo)，一個(gè)隨機(jī)變量的取值愈集中于它的數(shù)學(xué)期望，則方差愈小。一、方差的概念什么量能夠度量隨機(jī)變量相對(duì)于的偏離程度，我們想到了，但這樣做常常造成正負(fù)抵消，即從而掩蓋了偏差的大小，為了排除這個(gè)缺陷，可用來代替，但絕對(duì)值不利于計(jì)算，故通常用作為隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望偏離程度的指標(biāo)。定義4-3設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則稱為隨機(jī)變量的方差，記為，或，并稱為的標(biāo)準(zhǔn)差?？紤]到方差實(shí)際上為隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：，因此若為離散型隨機(jī)變量，概率分布為，則若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則在很多場(chǎng)合，計(jì)算方差經(jīng)常用到如下公式：例4-8設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度，求解于是常用離散型分布的方差1．退化分布：離散型隨機(jī)變量只取常數(shù)，即，因此，2．0-1分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為則3．個(gè)點(diǎn)上的均勻分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為，則4．二項(xiàng)分布：，即離散型隨機(jī)變量的概率分布為則5．幾何分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為利用冪級(jí)數(shù)求和公式，當(dāng)時(shí)于是當(dāng)時(shí)于是6．超幾何分布：離散型隨機(jī)變量服從超幾何分布，其分布列為，可得7．泊松分布：離散型隨機(jī)變量的概率分布為則。常用連續(xù)型分布的方差1．均勻分布：連續(xù)型隨機(jī)變量服從區(qū)間上的均勻分布，其密度函數(shù)為則而從而2．指數(shù)分布：連續(xù)型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，密度函數(shù)為則而從而3．正態(tài)分布：隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為方差為（令）方差的性質(zhì)根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義，容易導(dǎo)出方差的一些基本性質(zhì)。設(shè)的方差存在，為任意常數(shù)，則（1）；（2）；（3）；（4）若與獨(dú)立，則；可推廣為：若相互獨(dú)立，則*五、切比雪夫不等式切比雪夫不等式是一個(gè)十分常用的不等式，它給出了隨機(jī)變量對(duì)其數(shù)學(xué)期望絕對(duì)偏差的概率估計(jì)。定理4-3對(duì)隨機(jī)變量，設(shè)均存在，則對(duì)任意，有或者不等式表明，越小，事件的概率越小，這表明方差用來刻畫隨機(jī)變量的取值相對(duì)于的偏離程度。例4-9設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.6，而假定各盞燈開、關(guān)彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚同時(shí)開著的燈數(shù)在5800至6200之間的概率。解表示同時(shí)開著的燈數(shù)，則，，于是，由切比雪夫不等式得例4-10在每次實(shí)驗(yàn)中，時(shí)間發(fā)生的概率為0.5，（1）利用切比雪夫不等式估計(jì)1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生的次數(shù)在400到500之間的概率；（2）要使出現(xiàn)的頻率在0.35到0.65之間的概率不小于0.95，至少需要多少次重復(fù)實(shí)驗(yàn)？解（1）設(shè)表示1000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則于是由切比雪夫不等式得（2）設(shè)需要做n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，則求n使得成立，由切比雪夫不等式得只要故至少需要做223次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)?！?.3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了討論與的數(shù)學(xué)期望、方差以外，還需討論兩個(gè)隨機(jī)變量與之間的關(guān)聯(lián)程度，即協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。協(xié)方差1.協(xié)方差的概念對(duì)二維隨機(jī)變量來說，數(shù)學(xué)期望，只反映了與各自的平均值，方差，只反映了各自的偏離程度，它們對(duì)與之間的相互聯(lián)系不提供任何信息。如同數(shù)學(xué)期望與方差一樣，當(dāng)然也希望有一個(gè)數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系。在本章第二節(jié)方差性質(zhì)中，我們已經(jīng)看到，如果兩個(gè)隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的，則這意味著當(dāng)時(shí)，和不相互獨(dú)立，而是存在一定的關(guān)系。定義4-4若存在，則稱它為隨機(jī)變量與的協(xié)方差（covariance）。記為，即.“協(xié)”即“協(xié)同”的意思。的方差是與的乘積的期望，如今把一個(gè)換成，其形式接近方差，又有與二者的參與，由此得出協(xié)方差的名稱。由定義易見與、的次序無關(guān)，即，.由上述定義及方差性質(zhì)可知，對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量與，下列等式成立：.將的定義式展開，易得.我們常常利用這一式子計(jì)算協(xié)方差。當(dāng)時(shí)，稱與正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱與負(fù)相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān)。由協(xié)方差的定義及方差的性質(zhì)可知，對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量與，下面事實(shí)是等價(jià)的：（1）（2）與不相關(guān)（3）（4）顯然，與相互獨(dú)立，必有與不相關(guān)。但與不相關(guān)，卻不能保證與相互獨(dú)立。進(jìn)一步，將會(huì)了解到與不相關(guān)，僅能說明與無線性意義上的關(guān)聯(lián)。例4-11設(shè)的分布律為XY14-201/41/4-1121/41/40001/41/41/41/41/21/21易知，，，于是，與不相關(guān)。這表示與不存在線性關(guān)系。但，知與不是相互獨(dú)立的。事實(shí)上，與具有關(guān)系：，的值完全可由的值所確定。2.協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差具有下述性質(zhì)：（1），是常數(shù)。（2）.（3）柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式.證明性質(zhì)（1）和（2）由計(jì)算公式容易證明。這里只證明性質(zhì)（3）?？紤]實(shí)變量的二次函數(shù).因?yàn)閷?duì)一切實(shí)變量，有，即，故二次方程不能有兩個(gè)不同的實(shí)根，由此得它的判別式非正，即，故.例4-12設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求。解先計(jì)算，，的值：，，，利用協(xié)方差的計(jì)算公式，有.例4-13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，求。解先計(jì)算，，的值：，，，利用協(xié)方差的計(jì)算公式，有.二、相關(guān)系數(shù)1.相關(guān)系數(shù)的概念協(xié)方差的數(shù)值雖然在一定程度上反映了與相互間的聯(lián)系，但它還受與本身的數(shù)值大小的影響。比如，與同時(shí)增大到原來的倍，即，。這時(shí)，盡管與間的相互聯(lián)系和與間的相互聯(lián)系從直觀上看并無差別，但由于與間的協(xié)方差是與協(xié)方差的倍，即.為了克服這一缺點(diǎn)及消除量綱的影響，自然的一種想法就是在計(jì)算隨機(jī)變量與的協(xié)方差之前，先對(duì)與進(jìn)行“標(biāo)準(zhǔn)化”，就得到了一個(gè)新的概念——相關(guān)系數(shù)。定義4-5設(shè)是二維隨機(jī)變量，且，則稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficent)。形式上可以把相關(guān)系數(shù)視為“標(biāo)準(zhǔn)尺度下的協(xié)方差”。協(xié)方差作為的均值，依賴于，的度量單位，選擇適當(dāng)單位使，的方差都為，則協(xié)方差就是相關(guān)系數(shù)。這樣就能更好地反映，之間的關(guān)系，不受所用單位的影響。例4-14設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求。解根據(jù)例2可知，，，.再計(jì)算，，得，，則.2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定理4-4設(shè)二維隨機(jī)變量的兩個(gè)分量與的相關(guān)系數(shù)為，則有的充要條件是存在常數(shù)與，使得.證明（1）由協(xié)方差的性質(zhì)柯西-施瓦茨不等式，得.（2）在柯西-施瓦茨不等式的證明過程中，注意到的充分必要條件是不等式的等號(hào)成立。又成立的充分必要條件是只有一個(gè)二重根（不妨用表示），即的充分必要條件是，亦即.關(guān)于定理有幾點(diǎn)需注意：當(dāng)，稱，“不相關(guān)”。若，獨(dú)立，則它們不相關(guān)，但反之不然，即由不一定有、獨(dú)立。（如例4-1）相關(guān)系數(shù)也常稱為“線性相關(guān)系數(shù)”。這是因?yàn)?，?shí)際上相關(guān)系數(shù)并不是刻畫了，之間“一般”相關(guān)關(guān)系的程度，而只是“線性”相關(guān)關(guān)系的程度。這種說法的根據(jù)之一就在于，當(dāng)且僅當(dāng)，有嚴(yán)格的線性關(guān)系時(shí)，才有達(dá)到最大值1。即使與有某種嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系但非線性關(guān)系，不僅不必為1，還可以為0。如果，則稱與有“一定程度”的線性相關(guān)關(guān)系而非嚴(yán)格的線性相關(guān)關(guān)系。越接近于1，則線性相關(guān)程度越高；越接近于0，則線性相關(guān)程度越低。而協(xié)方差則看不出這一點(diǎn)?？傊?，相關(guān)系數(shù)在某種意義上度量了兩個(gè)隨機(jī)變量與之間的線性關(guān)系的程度，隨著從0增加到1,這種線性關(guān)系的程度越來越高。例4-15設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立同服從參數(shù)為的泊松分布，令，。求和的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。解因?yàn)椋杂纱说?例4-16已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求和的協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)。解先計(jì)算兩個(gè)邊際密度函數(shù)，再分別計(jì)算、、、、、及。最后得協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)為=－=0.0471.§4.4隨機(jī)變量的矩和維隨機(jī)向量一、隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩和中心矩矩是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征之一，數(shù)學(xué)期望和方差都是矩的特例，即矩是數(shù)學(xué)期望和方差的自然補(bǔ)充。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，將會(huì)看到矩的重要應(yīng)用，下面給出矩的概念。定義4-6設(shè)為隨機(jī)變量，為常數(shù)，為正整數(shù)。則稱為關(guān)于點(diǎn)的階矩。比較重要的有兩種情況：當(dāng)時(shí)，稱為的階原點(diǎn)矩。當(dāng)時(shí)，稱為的階中心矩。顯然，一階原點(diǎn)矩就是數(shù)學(xué)期望。一階中心矩，二階中心矩就是的方差。*二、維隨機(jī)向量的概念定義4-7設(shè)為一維向量，其每個(gè)分量都是一維隨機(jī)變量，則稱是一個(gè)維隨機(jī)向量或維隨機(jī)變量。與一維隨機(jī)變量一樣，維隨機(jī)變量也分為離散型和連續(xù)型。如果每一個(gè)分量都是一維離散型隨機(jī)變量，則稱是離散的。如果的取值可以視為維歐式空間中的一個(gè)點(diǎn)，且的全部取值能充滿中的某一區(qū)域，則稱它是連續(xù)的。定義4-8設(shè)維隨機(jī)向量的聯(lián)合密度函數(shù)為，而的（邊緣）密度函數(shù)為，。如果就稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立。*三、維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣下面介紹維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣，先從二維隨機(jī)向量介紹。二維隨機(jī)向量有四個(gè)二階中心矩（設(shè)它們都存在），分別記為將它們排成矩陣的形式：稱該矩陣為隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。設(shè)維隨機(jī)向量的協(xié)方差都存在，則稱為維隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣。由于，故上述協(xié)方差矩陣為對(duì)稱矩陣。例4-17設(shè)二維隨機(jī)向量，求與協(xié)方差矩陣。解因?yàn)樗耘c協(xié)方差矩陣.習(xí)題四（A）1、r個(gè)人在樓的底層進(jìn)入電梯，樓上有n層，每個(gè)乘客在任一層下電梯的概率相同。如果某一層無乘客下電梯，電梯就不停車，求直到乘客都下完時(shí)電梯停車次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。2、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X1.601.651.701.751.771.80P求D(X)3、一卡車裝運(yùn)水泥，設(shè)每袋水泥的重量為Ｘ，且設(shè)Ｘ服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望為50kg，均方差為2.5kg，若一卡車裝水泥100袋，（１）求這車水泥的總重量Ｙ的方差。（２）求這車水泥的總重量Ｙ超過500kg的概率。4、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差。（1997）5、已知離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，即P{X=K}=k=0，1，2，…，求隨機(jī)變量Z=3X－2的數(shù)學(xué)期望E（Z）。（1999）6、設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。（1996）7、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D：0<x<1,|y|<x內(nèi)服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度及隨機(jī)變量Z=2X+