北京通州區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

北京通州區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去找老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有位優(yōu)秀，位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息，則（）A.乙、丁可以知道自己的成績 B.乙、丁可以知道對方的成績C.乙可以知道四人的成績 D.丁可以知道四人的成績3．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線斜率為（）A. B.C. D.5．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.46．函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.18．已知雙曲線的焦點(diǎn)為，，其漸近線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)滿足，則（）A. B.C.2 D.49．已知直線與圓相切，則的值是（）A. B.C. D.10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，則下列命題一定為真命題的是()A.?x∈R，f(－x)≠f(x)B.?x∈R，f(－x)≠－f(x)C?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D.?x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)11．已知為等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，以為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體，是底面圓上的弦，為等邊三角形，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線方程是______14．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為_____15．在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為____.16．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，證明：18．（12分）已知，以點(diǎn)為圓心圓被軸截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.19．（12分）已知；對任意的恒成立.（1）若是真命題，求m的取值范圍；（2）若是假命題，是真命題，求m的取值范圍.20．（12分）如圖，一個湖的邊界是圓心為的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路，湖上有橋（是圓的直徑）.規(guī)劃在公路上選兩個點(diǎn)、，并修建兩段直線型道路、.規(guī)劃要求，線段、上的所有點(diǎn)到點(diǎn)的距離均不小于圓的半徑.已知點(diǎn)到直線的距離分別為和（為垂足），測得，，（單位：百米）.（1）若道路與橋垂直，求道路的長；（2）在規(guī)劃要求下，點(diǎn)能否選在處？并說明理由.21．（12分）已知的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，（1）求邊AC上的中線所在直線方程；（2）求的面積22．（10分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D2、A【解析】分析可知乙、丙的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，結(jié)合題意進(jìn)行推導(dǎo)，可得出結(jié)論.【詳解】由于個人中的成績中有位優(yōu)秀，位良好，甲知道乙、丙的成績，還是不知道自己的成績，則乙、丙的成績必有位優(yōu)秀、位良好，甲、丁的成績中必有位優(yōu)秀、位良好，因?yàn)榻o乙看丙的成績，則乙必然知道自己的成績，丁知道甲的成績后，必然知道自己的成績.故選：A.3、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C4、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線的斜率為，故選:A5、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B6、A【解析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)CD錯誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)7、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B8、B【解析】由題意可設(shè)，則，再由，可得，從而可求出的值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，故設(shè)，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故選：B9、D【解析】直線與圓相切，直接通過求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，所以，.故選：D10、C【解析】利用偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定分析判斷解答.【詳解】∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，∴?x∈R，f(－x)＝f(x)為假命題，∴?x0∈R，f(－x0)≠f(x0)為真命題.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查偶函數(shù)的定義和全稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，找出異面直線與所成角，然后通過解三角形可得出所求角的余弦值.【詳解】設(shè)，過點(diǎn)作的平行線，與平行的半徑交于點(diǎn)，則，，所以為異面直線與所成的角，在三角形中，，，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角余弦值的計(jì)算，一般通過平移直線的方法找到異面直線所成的角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長最小，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，弦長最長為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線有共同的漸近線的雙曲線的方程為，該雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所求的雙曲線方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程與簡單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題．與共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.15、【解析】由已知找到異面直線所成角的平面角，再運(yùn)用余弦定理可得答案.【詳解】解：設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接EO，F(xiàn)O，所以，則∠EOF（或其補(bǔ)角）就是異面直線AD，BC所成的角的平面角，又因?yàn)镋O=AD=1，F(xiàn)O=BC=，EF=.根據(jù)余弦定理得=-，所以∠EOF=150°，異面直線AD與BC所成角的大小為30°.故答案為：30°.16、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）將方程的實(shí)數(shù)根代入方程，再變形得到，利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明，通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明，恒成立.【小問1詳解】，，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即，即在，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以；【小問2詳解】若是方程兩個不相等的實(shí)數(shù)根，即又2個不同實(shí)數(shù)根，且，，得，即，所以，不妨設(shè)，則，要證明，只需證明，即證明，即證明，令，，令函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，即得【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.18、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)垂徑定理，可直接計(jì)算出圓的半徑；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在分類討論，斜率不存在時(shí)，可得到直線方程為的直線滿足題意，斜率存在時(shí)，利用直線與圓相切，即到直線的距離等于半徑，然后解出關(guān)于斜率的方程即可.【小問1詳解】不妨設(shè)圓的半徑為，根據(jù)垂徑定理，可得：解得：則圓的方程為：【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則有：故此時(shí)直線與圓相切，滿足題意當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的斜率為，點(diǎn)的直線的距離為直線的方程為：則有：解得：，此時(shí)直線的方程為：綜上可得，直線的方程為：或19、（1）（2）【解析】（1）為真命題，則都為真命題，求出為真命題時(shí)的m的取值范圍，并求交集，即為結(jié)果；（2）若是假命題，是真命題，則一真一假，分兩種情況進(jìn)行求解，最后求并集即為結(jié)果.【小問1詳解】由題意得：為真命題，則要滿足，解得：，對任意的恒成立，結(jié)合開口向上，所以要滿足：，解得：，要保證是真命題，則與取交集，結(jié)果為【小問2詳解】是假命題，是真命題，則一真一假，結(jié)合（1）中所求，當(dāng)真假時(shí)，與取交集，結(jié)果為；當(dāng)假真時(shí)，與取交集，結(jié)果為，綜上：m的取值范圍是.20、（1）15（百米）（2）點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求，理由見解析【解析】（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，得圓及直線的方程，進(jìn)而得解.（2）不妨點(diǎn)選在處，求方程并求其與圓的交點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)不符合條件，得結(jié)論.【小問1詳解】如圖，過作，垂足為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉閳A的直徑，，所以圓的方程為.因?yàn)?，，所以，故直線的方程為，則點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為3，從而，，直線的斜率為.因?yàn)?，所以直線的斜率為，直線的方程為.令，得，，所以.因此道路的長為15（百米）.【小問2詳解】若點(diǎn)選在處，連結(jié)，可求出點(diǎn)，又，所以線段.由解得或，故不妨取，得到在線段上的點(diǎn)，因?yàn)?，所以線段上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于圓的半徑5.因此點(diǎn)選在處不滿足規(guī)劃要求.21、（1）（2）【解析】（1）先求得的中點(diǎn)，由此求得邊AC上的中線所在直線方程.（2）結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得的面積.【小問1詳解】的中點(diǎn)為，所以邊AC上的中線所在直線方程為.【小問2詳解】直線的方程為，到直線的距離為，，所以.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即