2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講解弧長(zhǎng)和扇形面積含解析新版新人教版

弧長(zhǎng)和扇形面積學(xué)問(wèn)點(diǎn)1.正多邊形與圓2.弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算扇形的弧長(zhǎng)l＝；扇形的面積S＝＝3.圓錐與側(cè)面綻開(kāi)圖（1）圓錐側(cè)面綻開(kāi)圖是一個(gè)扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng).（2）計(jì)算公式：圓錐S側(cè)==πrl，S=πr（l+r）注：易與勾股定理聯(lián)系，先求母線長(zhǎng)，再求面積二、標(biāo)準(zhǔn)例題：例1：如圖，在矩形ABCD中有對(duì)角線AC與BD相等，已知AB=4,BC=3,則有AB2+BC2=AC2,矩形在直線MN上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)接著向右旋轉(zhuǎn)至圖②位置……依次類推，則:(1)AC=__________.(2)這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，頂點(diǎn)B在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是________.【答案】53028π【解析】（1）∵AB2+BC2=AC2,AB=4,BC=3,∴AC2=42+32=25,∴AC=5；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)一次B的路途長(zhǎng)是：0，轉(zhuǎn)動(dòng)其次次的路途長(zhǎng)是：π，轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路途長(zhǎng)是：π，轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路途長(zhǎng)是：=2π，以此類推，每四次循環(huán)，2024÷4=504余3，頂點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路途長(zhǎng)為：0+++2π=6π,連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次經(jīng)過(guò)的路途長(zhǎng)為：6π×504+0++=3028π．故答案為：（1）5；（2）3028π．總結(jié)：本題考查弧長(zhǎng)的計(jì)算、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是理解題意，敏捷運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．例2：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC，垂足為H，則有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故選A.總結(jié)：本題考查了垂徑定理，圓周角定理，扇形面積，解直角三角形等學(xué)問(wèn)，正確添加協(xié)助線，嫻熟駕馭和敏捷運(yùn)用相關(guān)學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵.例3：如圖，點(diǎn)為扇形的半徑上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，且（表示的長(zhǎng)），若將此扇形圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：連接交AC于．由折疊的學(xué)問(wèn)可得：，，，，且，設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，，．故選：．總結(jié)：本題考查的是扇形，嫻熟駕馭圓錐的弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵.三、練習(xí)1．1．如圖，已知在⊙O中，AB=4，AF=6，AC是直徑，AC⊥BD于F，圖中陰影部分的面積是（）A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】解：∵AC是直徑，AC⊥BD于F，

∴BF=DF，，

∴∠BAC=∠DAC，

在RT△ABF中，

∴BD=2BF=4，

連接OB、OD、BC，

∵AC是直徑，

∴∠ABC=90°，

∴BF2=AF?FC，即（2）2=6FC，

∴FC=2，

∴直徑AC=AF+FC=6+2=8，

∴⊙O的半徑為4，

∵AB=4，AF=6，

∴，

∴∠BAF=30°，

∴∠BAD=60°，

∴∠BOD=120°，

∵OC=4，F(xiàn)C=2，

∴OF=2，∴故選擇：D.2．圓錐的底面半徑是5cm，側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角是180°，圓錐的高是（）A．5cm B．10cm C．6cm D．5cm【答案】A【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R，依據(jù)題意得2π?5，解得R＝10．即圓錐的母線長(zhǎng)為10cm，∴圓錐的高為：5cm．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑作半圓，記三個(gè)半圓的弧長(zhǎng)分別為m，n，l，則下列各式成立的是（）A．m+n＜l B．m+n＝l C．m2+n2＞l2 D．m2+n2＝l2【答案】D【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，m＝×π×AC，n＝×π×BC，1＝×π×AB，∴m2＝×π2×AC2，n2＝×π2×BC2，12＝×π2×AB2，∴m2+n2＝×π2×（AC2+BC2）＝×π2×AB2＝12，故選：D．4．一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是()A．2π B．4π C．12π D．24π【答案】C【解析】S=，故選C．5．如圖，在△ABC中，AB＝6，將△ABC繞點(diǎn)A通時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE，點(diǎn)B經(jīng)過(guò)的路徑為，則圖中陰影部分的面積是（）A． B．C．4π D．條件不足，無(wú)法計(jì)算【答案】C【解析】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，S△ADE＝S△ABC，則陰影部分的面積＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC＝S扇形DAB＝＝4π，故選：C．6．如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)AB=1，將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°至正方形AB1C1D1，則線段CD掃過(guò)的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°至正方形AB1C1D1，

∴CC1=2AC=2×AB=2，

∴線段CD掃過(guò)的面積=×（）2?π-×π=π，

故選：B．7．已知的扇形的圓心角為，半徑長(zhǎng)為，則該扇形的弧長(zhǎng)為A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)弧長(zhǎng)公式：l==3π，故選B．8．一個(gè)圓錐形的圣誕帽高為10cm，母線長(zhǎng)為15cm，則圣誕帽的表面積為（）A．75cm2 B．150cm2 C．150cm2 D．75cm2【答案】A【解析】解：高為10cm，母線長(zhǎng)為15cm，由勾股定理得，底面半徑==5cm，底面周長(zhǎng)=10πcm，

側(cè)面面積=×10π×15=75πcm2．

故選：A．9．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，分別以O(shè)A，OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示兩個(gè)陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．無(wú)法確定【答案】C【解析】設(shè)OA＝a，扇形OAB的面積＝，以O(shè)A，OB為直徑在扇形內(nèi)作的半圓的面積＝P＝扇形OAB的面積﹣（以O(shè)A為直徑的半圓的面積+以O(shè)B為直徑的半圓的面積）+Q＝×2+Q＝Q故選C．10．如圖，圓錐的底面半徑r＝6，高h(yuǎn)＝8，則圓錐的側(cè)面積是（）A．15π B．30π C．45π D．60π【答案】D【解析】解：圓錐的母線，∴圓錐的側(cè)面積，故選：D．11．如圖，四邊形ABCD為矩形，以A為圓心，AD為半徑的弧交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，若AD=2AB=4，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．【答案】π+2-4【解析】解：BC交弧DE于F，連接AF，如圖，AF=AD=4，∵AD=2AB=4∴AB=2，在Rt△ABF中，∵sin∠AFB==，∴∠AFB=30°，∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，BF=AB=2，∴圖中陰影部分的面積=S扇形ADF+S△ABF-S△ABD=+×2×2-×2×4=π+2-4．12．如圖，C為半圓內(nèi)一點(diǎn)，O為圓心，直徑AB長(zhǎng)為2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，將△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△B′OC′，點(diǎn)C′在OA上，則邊BC掃過(guò)區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為_(kāi)____cm2．（結(jié)果保留π）【答案】【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC繞圓心O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO?△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝，∴S扇形B′OB＝＝π，S扇形C′OC＝＝，∵陰影部分面積＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC∴陰影部分面積＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；故答案為：π．13．如圖，在扇形中，半徑與的夾角為，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，若扇形恰好是一個(gè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖，則該圓錐的底面半徑為_(kāi)_____.【答案】【解析】解：連接，過(guò)作于，∵，，∴，，∴，∵，∴故答案是：14．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑，扇形的圓心角，則該圓錐的母線長(zhǎng)為_(kāi)__．【答案】6.【解析】圓錐的底面周長(zhǎng)cm，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則：，解得，故答案為：．15．已知圓錐的底面半徑是1，高是，則該圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角是_____度．【答案】90【解析】解：設(shè)圓錐的母線為a，依據(jù)勾股定理得，，設(shè)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為，依據(jù)題意得，解得，即圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為．故答案為：90．16．如圖，中，，平分交于點(diǎn)，是上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)的分別交、于點(diǎn)、，，，則劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)______________【答案】【解析】連接DF，OD，∵CF是⊙O的直徑，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，∴∠DCF=30°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt△CAD中，CD=2AD=2，在Rt△FCD中，CF===4，∴⊙O的半徑=2，∴劣弧的長(zhǎng)==π，故答案為：π．17．將圓心角為，半徑為的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，那么圍成的這個(gè)圓錐的高為_(kāi)______．【答案】4【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，依據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高．故答案為4．18．如圖所示，當(dāng)半徑為30cm的轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)過(guò)120°角時(shí)，傳送帶上的物體A平移的距離為多少厘米？(保留)【答案】20πcm【解析】=20πcm．故答案為：20πcm．19．如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）．（1）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1；（2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；（3）求（2）中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；（3）如圖所示：OC=,點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為:.20．如圖，陰影部分表示以直角三角形各邊為直徑的三個(gè)半圓所組成的兩個(gè)新月形，已知S1+S2＝5，且AC+BC＝6，求AB的長(zhǎng)．【答案】.【解析】，∵，∴，即：，依據(jù)等式性質(zhì),兩邊都減去兩個(gè)弓形面積,則，∵，∴，∴.∵，∴，即，∴.21．如圖，AB為的直徑，且，點(diǎn)C是上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，過(guò)點(diǎn)B作的切線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接EC．(1)求證：EC是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求陰影部分面積．【答案】(1)證明見(jiàn)