2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章導數(shù)及其應用6.1.4求導法則及其應用學案含解析新人教B版選擇性必修第三冊1

PAGE6.1.4求導法則及其應用新版課程標準學業(yè)水平要求1.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則,求簡潔函數(shù)的導數(shù)2.能求簡潔的復合函數(shù)(限于形如f(ax+b))的導數(shù)★水平一1.借助教材實例了解利用定義求函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)2.駕馭基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,并會利用公式求簡潔函數(shù)的導數(shù).(數(shù)學運算)★水平二能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)、解決與曲線的切線有關(guān)的問題.(數(shù)學運算)必備學問·素養(yǎng)奠基1.導數(shù)的四則運算法則和、差的導數(shù)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)積的導數(shù)[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)商的導數(shù)QUOTE′=QUOTE(g(x)≠0)特殊地,(1)[cf(x)]′=cf′(x);(2)QUOTE′=-QUOTE.2.復合函數(shù)及其導數(shù)(1)定義:一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的隨意一個值,就能確定u的值.假如此時還能確定y的值,則y可以看成x的函數(shù),此時稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)f(u)與g(x)的復合函數(shù),其中u稱為中間變量;(2)求導法則:h′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x),這一結(jié)論也可以表示為y′x=y′uu′x.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若y=x+QUOTE,則y′=1+QUOTE. ()(2)若y=x2cosx,則y′=-2xsinx. ()(3)若y=QUOTE,則y′=-cosx. ()(4)若y=3x2-e2x,則y′=6x-2ex. ()提示:(1)×.由y=x+QUOTE,得y′=1-QUOTE.(2)×.由y=x2cosx,得y′=2xcosx-x2sinx.(3)×.由y=QUOTE,得y′=QUOTE.(4)×.依據(jù)導數(shù)四則運算法則,y′=(3x2)′-(e2x)′=6x-2e2x.2.已知函數(shù)f(x)=QUOTE,f′(m)=-QUOTE,則m= ()A.-4 B.4 C.±2 D.-2【解析】選C.f′(x)=-QUOTE,所以f′(m)=-QUOTE=-QUOTE,解得m=±2.3.函數(shù)y=x2sinx的導數(shù)為 ()A.y′=2xsinx+x2cosx B.y′=2xsinx-x2cosxC.y′=x2sinx+2xcosx D.y′=x2sinx-2xcosx【解析】選A.因為y=x2sinx,所以y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一利用運算法則求函數(shù)的導數(shù)【典例】1.(2024·永州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=ax2+2020,且f′(1)=4,則a的值為 ()A.2020 B.2015 C.2 D.QUOTE2.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=QUOTE-lnx. (2)y=(x2+1)(x-1).(3)y=QUOTE. (4)y=QUOTE.【思維·引】1.先求f′(x),再解方程f′(1)=4,求a的值.2.運用導數(shù)的四則運算法則求導.【解析】1.選C.依據(jù)題意,函數(shù)f(x)=ax2+2020,則f′(x)=2ax,若f′(1)=4,即2a=4,解得a=2.2.(1)y′=(QUOTE-lnx)′=(QUOTE)′-(lnx)′=QUOTE-QUOTE.(2)y′=[(x2+1)(x-1)]′=(x3-x2+x-1)′=(x3)′-(x2)′+x′-1′=3x2-2x+1.(3)y′=QUOTE=QUOTE.(4)y′=QUOTE=QUOTE.【內(nèi)化·悟】運用導數(shù)四則運算法則求導須要留意哪些問題?提示:(1)分清所求導函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)組成,是函數(shù)的和、差還是積、商.(2)精確運用法則求導.【類題·通】利用導數(shù)運算法則的策略(1)分析待求導式子符合哪種求導法則,每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的,確定求導法則,基本公式.(2)假如待求導式子比較困難,則須要對式子先變形再求導,常用的變形有乘積式綻開變?yōu)楹褪角髮?商式變乘積式求導,三角函數(shù)恒等變換后求導等.(3)利用導數(shù)運算法則求導的原則是盡可能化為和、差,能利用和差的求導法則求導的,盡量少用積、商的求導法則求導.【習練·破】1.若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿意f′(1)=2,則f′(-1)等于 ()A.-1 B.-2 C.2 D.0【解析】選B.因為f′(x)=4ax3+2bx,所以f′(1)=4a+2b=2,所以f′(-1)=-4a-2b=-(4a+2b)=-2.2.(2024·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)=QUOTE.若f′(1)=QUOTE,則a=________.

【解析】由函數(shù)的解析式可得:f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,則f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a2-2a+1=0,解得:a=1.答案:1【加練·固】1.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿意f(x)=2xf′(1)+lnx,則f′(1)等于 ()A.-eB.-1C.1D.e【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿意f(x)=2xf′(1)+lnx(x>0),所以f′(x)=2f′(1)+QUOTE,把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1,解得f′(1)=-1.2.若函數(shù)f(x)=QUOTE在x=x0處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù),則x0的值等于 ()A.0 B.1 C.QUOTE D.不存在【解析】選C.由于f(x)=QUOTE,得f(x0)=QUOTE,f′(x)=QUOTE=QUOTE,所以f′(x0)=QUOTE.依題意知f(x0)+f′(x0)=0,得QUOTE+QUOTE=0,即QUOTE=0,所以2x0-1=0,得x0=QUOTE.類型二復合函數(shù)的導數(shù)【典例】求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=ln(6x+4).(2)y=sinQUOTE.(3)y=5log2(2x-1).【思維·引】先把復合函數(shù)拆分成基本初等函數(shù),再運用復合函數(shù)求導法則進行求導.【解析】(1)設(shè)y=lnu,u=6x+4,則y′x=y′u·u′x=QUOTE·6=QUOTE=QUOTE.(2)設(shè)y=sinu,u=3x-QUOTE,則y′x=y′u·u′x=cosu·3=3cosQUOTE.(3)設(shè)y=5log2u,u=2x-1,則y′=5(log2u)′·(2x-1)′=QUOTE=QUOTE.【類題·通】求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟提示:(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).(2)求每層函數(shù)的導數(shù)時留意分清是對哪個變量求導,這是求復合函數(shù)導數(shù)時的易錯點.(3)逐層求導結(jié)束后對結(jié)果進行化簡整理,使導數(shù)式盡量簡潔.【習練·破】1.(2024·大慶高二檢測)已知f(x)=sin2x+e2x,則f′(x)= ()A.2cos2x+2e2x B.cos2x+e2xC.2sin2x+2e2x D.sin2x+e2x【解析】選A.依據(jù)題意,f(x)=sin2x+e2x,則f′(x)=2cos2x+2e2x.2.(2024·泉州高二檢測)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f′(2)=-1,則a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.f′(x)=QUOTE-a,所以f′(2)=QUOTE-a=-1,解得a=QUOTE.類型三導數(shù)運算法則的綜合應用【典例】1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù),曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線與直線2ex-y-1=0平行,則實數(shù)a= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.已知拋物線y=f(x)=ax2+bx+c過點(1,1),且在點(2,-1)處與直線y=x-3相切,求a,b,c的值.【思維·引】利用切點處的導數(shù)等于切線的斜率,切點坐標既滿意曲線方程,也滿意切線方程.【解析】1.選B.函數(shù)y=aex+x的導數(shù)為y′=aex+1,可得曲線y=aex+x在點(1,ae+1)處的切線的斜率為y′=ae+1,所以ae+1=2e,解得a=QUOTE.2.因為f(1)=1,所以a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,f′(2)=1,所以4a+b=1.②又切點(2,-1)在拋物線上,所以4a+2b+c=-1.③把①②③聯(lián)立得方程組QUOTE解得QUOTE即a=3,b=-11,c=9.【內(nèi)化·悟】運用導數(shù)解有關(guān)切線問題應特殊留意什么?提示:(1)導數(shù)的雙重性;(2)切點坐標的雙重性.【類題·通】關(guān)于求導法則的綜合應用(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素.其他的條件可以進行轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系.(2)精確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務必做到精確.易錯警示:分清已知點是否在曲線上,若不在曲線上則要設(shè)出切點.【習練·破】1.若函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,則實數(shù)a的取值范圍是________.

【解析】由f(x)=ex+2ax得f′(x)=ex+2a,又函數(shù)f(x)=ex+2ax存在與直線y=5x+6平行的切線,即ex+2a=5有解,所以ex=5-2a,所以5-2a>0,所以a<QUOTE.答案:a<QUOTE2.設(shè)曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,令an=lgxn,則a1+a2+…+a99的值為________.

【解析】因為當x=1時,y′=n+1,所以y=xn+1在點(1,1)處的切線方程為y=(n+1)(x-1)+1.令y=0,得x=xn=QUOTE,所以an=lgn-lg(n+1),所以a1+a2+…+a99=lg1-lg100=-2.答案:-2【加練·固】若曲線y=x2+alnx(a>0)上隨意一點處的切線斜率為k,若k的最小值為4,則此時該切點的坐標為 ()A.(1,1)B.(2,3)C.(3,1)D.(1,4)【解析】選A.y=x2+alnx的定義域為(0,+∞),由導數(shù)的幾何意義知y′=2x+QUOTE≥2QUOTE=4,得a=2,當且僅當x=1時等號成立,代入曲線方程得y=1,故所求的切點坐標是(1,1).課堂檢測·素養(yǎng)達標1.已知函數(shù)f(x)=sin2x+lnx,則f′(1)的值為 ()A.1-2sin2 B.1+2cos2C.1+2sin2 D.1-2cos2【解析】選B.因為f′(x)=2cos2x+QUOTE,所以f′(1)=2cos2+1.2.函數(shù)f(x)=ex+xsinx-7x在x=0處的導數(shù)等于 ()A.-6 B.6 C.-4 D.-5【解析】選A.f′(x)=(ex)′+(xsinx)′-(7x)′=ex+sinx+xcosx-7,所以f′(0)=e0-7=-6.3.在平面直角坐標系xOy中,點P在曲線C:y=x3-10x+3上,且在其次象限內(nèi).已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標為________.

【解析】設(shè)P(x0,y0)(x0<0),由題意知y′QUOTE=3QUOTE-10=2,即QUOTE=4,得x0=-2,所以y0=15,故點P的坐標為(-2,15).答案:(-2,15)4.(2024·廣州高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)的導數(shù)為f′(x),且滿意f(x)=f′(1)x3-2x,則f(1)=________.

【解析】依據(jù)題意,f(x)=f′(1)x3-2x,則f′(x)=3f′(1)x2-2xln2,當x=1時,有f′(1)=3f′(1)-2ln2,解得f′(1)=ln2,則f(x)=ln2×x3-2x,故f(1)=ln2-2.答案:ln2-2【新情境·新思維】(2024·廣州高二檢測)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),記f1(x)=f′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x)(n∈N+).若f(x)=xsinx,則f5(x)+f7(x)= ()A.-2cosx B.-2sinx C.2cosx D.2sinx【解析】選B.f(x)=xsinx,則f1(x)=f′(x)=sinx+xcosx,f2(x)=f1′(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f