《利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問(wèn)題探究情境與問(wèn)題如圖所示,海中有一座油井,其離岸的距離,岸是筆直的,岸上有一座煉油廠,且.現(xiàn)要用輸油管將油井與煉油廠連接起來(lái),且輸油管既可以鋪設(shè)在水下,也可以鋪設(shè)在陸地上,還可以一部分鋪設(shè)在水下另一部分鋪設(shè)在陸地上.已知水下的鋪設(shè)成本為每千米50萬(wàn)元,陸地的鋪設(shè)成本為每千米30萬(wàn)元.那么,鋪設(shè)輸油管的最少花費(fèi)是多少?嘗試與發(fā)現(xiàn)分別計(jì)算下列兩種鋪法的鋪設(shè)成本,然后嘗試給出最優(yōu)的鋪設(shè)方案.（1）先沿鋪設(shè)再沿鋪設(shè);（2）直接沿著線段鋪設(shè).答案如果先沿鋪設(shè),再沿鋪設(shè),則成本為(萬(wàn)元).又因?yàn)?，所以直接沿線段鋪設(shè),成本為(萬(wàn)元).如上圖所示,在岸上取一點(diǎn),設(shè)其離的距離為,則.設(shè)先沿鋪設(shè)再沿鋪設(shè)輸油管時(shí)成本為萬(wàn)元,則.因此,當(dāng)時(shí),.令,可解得.可知在上遞減,在上遞增.從而在時(shí)取得最小值,而且最小值為50.從而可知最少花費(fèi)是96萬(wàn)元.學(xué)生先自主思考，然后分組討論.讓學(xué)生計(jì)算兩種方案所需的費(fèi)用，進(jìn)步總結(jié)解決最優(yōu)化問(wèn)題的方法和途徑.培養(yǎng)學(xué)生審題的能力及建立函數(shù)模型的能力.概念形成解決最優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：閱讀理解題目中文字表達(dá)的含義，分清條件和結(jié)論，找出問(wèn)題的主要關(guān)系；（2）建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）作答：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案注意：實(shí)際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)的定義域是關(guān)鍵.教師講解解決最優(yōu)化問(wèn)題的基本思路和解題的一般步驟.通過(guò)師生互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.應(yīng)用舉例例1如圖,某海島碼頭離岸邊最近點(diǎn)的距離是,岸邊的醫(yī)藥公司與點(diǎn)的距離為,現(xiàn)有一批藥品要盡快送達(dá)海島碼頭.已知與之間有一條公路,現(xiàn)要用海陸聯(lián)運(yùn)的方式運(yùn)送這批藥品,若汽車(chē)的時(shí)速為,快艇時(shí)速為.試在岸邊選一點(diǎn),先將藥品用汽車(chē)從送到,再用快艇從運(yùn)到海島碼頭,則點(diǎn)選在何處可使運(yùn)輸時(shí)間最短?解設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)的距離為,運(yùn)輸時(shí)間為,則.因?yàn)?，?可解得.因此可知在上遞知,在上遞增,從而在時(shí)取得最小值.這就是說(shuō),點(diǎn)選在離點(diǎn)為時(shí)可使運(yùn)輸時(shí)間最短.練習(xí):位于兩點(diǎn)處的甲、乙兩村合用一個(gè)變壓器,如圖所示,若兩村用同型號(hào)線架設(shè)輸電線路,問(wèn)變壓器設(shè)在輸電干線何處時(shí),所需電線總長(zhǎng)最短?解設(shè),則.則所需電線總長(zhǎng),從而.令,即,解得或(舍去).因?yàn)樵谏鲜沟狞c(diǎn)只有,所以根據(jù)實(shí)際意義,知就是我們所求的最小值點(diǎn).即變壓器設(shè)在之間離點(diǎn)的距離為處時(shí),所輸電線總長(zhǎng)最短.例2如圖所示,現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為的正方形鐵板,如果從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)相等的小正方形,然后做成一個(gè)長(zhǎng)方體形的無(wú)蓋容器,則容器的容積匙截下的小正方形邊長(zhǎng)的函數(shù).（1）寫(xiě)的函數(shù)的解析數(shù);（2）為了使容器的容積最大，截去的小正方形邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？解（1）根據(jù)題意可知,容器底面的邊?為,高為,于是,又因?yàn)?然的長(zhǎng)度必須小于原有正方形邊長(zhǎng)的一半,因此,所以.（2）由題意有.令,可解得.因此可知在上遞增,在上遞減.故在時(shí)取得極大值，而且在此時(shí)取得?大值.即截去的正方形邊長(zhǎng)為時(shí),容器的容積最大.練習(xí)：如下圖所示,用鐵絲彎成一個(gè)上面是半圓、下面是矩形的圖形,其面積為100,為使所用材料最省,半圓的直長(zhǎng)應(yīng)為多少?解設(shè)半圓的半徑為,鐵絲化為,則矩形的一邊長(zhǎng)為,設(shè)與其相鄰的另一邊長(zhǎng)為,則,所以,所以,所以.令,得,所以,解得(負(fù)值舍去),故半圓的直徑為時(shí)用料最省.例3已知某型號(hào)手機(jī)總成本元是月產(chǎn)量萬(wàn)件的函數(shù),且.將看成能取區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)值,求月產(chǎn)量為多少時(shí),才能使每件產(chǎn)品的平均成本最低?最低平均成本為多少?解記平均成本為元,則.因?yàn)闀r(shí),有,令,可解得.因此可知在上遞減,在上遞增,從而在時(shí)取得極小值,而且在此時(shí)取得最小值.即當(dāng)月產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí),每件產(chǎn)品的平均成本最低,最低為400元.練習(xí):甲、乙兩地相距400千米,汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過(guò)100千米/時(shí),已知該汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本(元)關(guān)于速度(千米/時(shí))的函數(shù)關(guān)系是.（1）求全程運(yùn)輸成本(元)關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系式;（2）為使全程運(yùn)輸成本最少,汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛?并求此時(shí)運(yùn)輸成本的最小值.解.（2）由(1)可得,令,則(舍去)或.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以千米/時(shí)時(shí),全程運(yùn)輸成本取得極小值,而且在此時(shí)取得最小值，且（元）.教師操作課件，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問(wèn)題，讓學(xué)生板演.學(xué)生自學(xué)例1，教師引導(dǎo)歸納.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時(shí)評(píng)價(jià).學(xué)生自己尋找?guī)缀误w與幾何體的展開(kāi)圖中對(duì)應(yīng)量的關(guān)系，然后表示出體積公式，教師指出學(xué)生易忽視的自變量應(yīng)滿足的條件.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時(shí)評(píng)價(jià).讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出平均成本的表示方法，列出函數(shù)解析式.教師問(wèn)：求函數(shù)的最值除了導(dǎo)數(shù)法還有哪些方法？生：基本不等式法、配方法、換元法、數(shù)形結(jié)合等.師：本例中構(gòu)建的函數(shù)還適合用哪種方法求最值？生：基本不等式法.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時(shí)評(píng)價(jià).此練習(xí)完成后教師出示教材第100頁(yè)例3，讓學(xué)生自主練習(xí).學(xué)生完成后，集體核對(duì)答案.通過(guò)運(yùn)輸時(shí)間最短問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟.借助于學(xué)生熟知的立體幾何的體積問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.以生活中的經(jīng)濟(jì)成本為背景，提升學(xué)生將問(wèn)題情境翻譯為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的意識(shí).課堂小結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容：解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟.學(xué)生歸納小結(jié)，教師補(bǔ)充完善.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，從整體上把握本節(jié)內(nèi)容.布置作業(yè)教材第102頁(yè)習(xí)題6-3A第1，2，5題.學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)重點(diǎn)知識(shí).板書(shū)設(shè)計(jì)6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1.解決最優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟：（1）審題：閱讀理解題目中文字表達(dá)的含義，分清條件和結(jié)論，找出問(wèn)題的主要關(guān)系；（2）建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：把數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）作答：對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評(píng)估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案注意：實(shí)際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)的定義域是關(guān)鍵2.應(yīng)用舉例例1例2例33.小結(jié)解決最