信號(hào)與系統(tǒng)（MATLAB版 微課視頻版 第2版） 課件 3.7 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析

3.7連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析法是一種變換域分析法，它把時(shí)域中求解響應(yīng)的問(wèn)題通過(guò)傅里葉變換轉(zhuǎn)換成頻域中的問(wèn)題。整個(gè)分析過(guò)程在頻域內(nèi)進(jìn)行，因此它主要是研究信號(hào)頻譜通過(guò)系統(tǒng)后產(chǎn)生的變化，利用頻域分析法可分析系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、波形失真、物理可實(shí)現(xiàn)等實(shí)際問(wèn)題。3.7.1頻域系統(tǒng)函數(shù)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為，當(dāng)激勵(lì)是角頻率為的虛指數(shù)函數(shù)時(shí)，其零狀態(tài)響應(yīng)為卷積的定義令則表明：當(dāng)激勵(lì)是幅度為1的復(fù)指數(shù)函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)是系數(shù)為的同頻率的復(fù)指數(shù)函數(shù)，反映了響應(yīng)的幅度和相位。當(dāng)激勵(lì)為任意信號(hào)時(shí)，可將該信號(hào)認(rèn)為若干不同頻率的虛指數(shù)分量的線性組合，即線性系統(tǒng)滿足疊加性與齊次性，因此將所有這些響應(yīng)分量求和（積分），即可得到系統(tǒng)的響應(yīng)。即令響應(yīng)的頻譜函數(shù)為，激勵(lì)的頻譜函數(shù)為則沖激響應(yīng)反映了系統(tǒng)的時(shí)域特性。頻率響應(yīng)反映了系統(tǒng)的頻域特性。

為系統(tǒng)沖激響應(yīng)的傅里葉變換。系統(tǒng)函數(shù)（即頻率響應(yīng)函數(shù)）定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)的傅里葉變換與激勵(lì)的傅里葉變換之比，即其中可見(jiàn)是角頻率的輸出與輸入信號(hào)幅度之比稱為幅頻。3.7.2系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)非周期信號(hào)只是在一定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)存在。假設(shè)所有起始狀態(tài)為零。在圖示的RC低通網(wǎng)絡(luò)的輸入端輸入一矩形脈沖信號(hào)，其波形如圖所示。RC網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)（電壓傳輸比）令則的傅里葉變換為輸入信號(hào)=的傅里葉變換輸出信號(hào)的波形與輸入信號(hào)相比，已產(chǎn)生了失真。3.7.3系統(tǒng)對(duì)周期信號(hào)的響應(yīng)周期信號(hào)都是滿足狄里赫利條件的，可把它們分解成傅氏級(jí)數(shù)。這樣，周期性激勵(lì)信號(hào)即可看作由一系列諧波分量所組成。根據(jù)疊加原理，周期性激勵(lì)在系統(tǒng)中產(chǎn)生的響應(yīng)等于各諧波分量單獨(dú)作用時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。先求出系統(tǒng)函數(shù)；再求得各諧波作用時(shí)所產(chǎn)生的響應(yīng)；最后把各個(gè)響應(yīng)疊加起來(lái)，就得到系統(tǒng)對(duì)周期性激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。周期信號(hào)是在

內(nèi)定義的，因此，當(dāng)周期信號(hào)作用于系統(tǒng)時(shí)，可以認(rèn)為信號(hào)是在時(shí)刻接入系統(tǒng)的，因而在考察系統(tǒng)時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)只存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。設(shè)激勵(lì)信號(hào)為則若系統(tǒng)函數(shù)則在點(diǎn)有系統(tǒng)響應(yīng)的頻譜說(shuō)明：響應(yīng)為激勵(lì)的同頻率正弦波，其幅度和相移均由系統(tǒng)函數(shù)在點(diǎn)的值決定。設(shè)輸入信號(hào)為周期正弦信號(hào)則其頻譜將輸入信號(hào)加至RC網(wǎng)絡(luò)RC低通網(wǎng)絡(luò)的頻率響應(yīng)且在處于是，輸出以上分析可見(jiàn)，傅里葉分析方法從頻譜改變的角度解釋輸入與輸出波形的變化，物理概念清楚，但求解過(guò)程相對(duì)比較麻煩，特別是求反變換時(shí)會(huì)有一定的困難。得到可知，在正弦信號(hào)激勵(lì)下，RC網(wǎng)絡(luò)的輸出仍為同頻正弦波，其幅度乘以振幅響應(yīng)，且相移為。及均由處的頻率響應(yīng)決定。3.7.4MATLAB實(shí)現(xiàn)1．系統(tǒng)頻率特性分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的頻率特性描述了系統(tǒng)的性能特征。頻率特性由幅頻特性和相頻特性組成，即一般情況下，為的有理多項(xiàng)式，即可用MATLAB信號(hào)處理工具箱提供的freqs函數(shù)來(lái)計(jì)算,其調(diào)用格式為H=freqs(a,b,w)式中，a和b分別是的分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量；w為計(jì)算的抽樣點(diǎn)（至少包含2個(gè)抽樣點(diǎn)）。例

設(shè)某低通濾波器的頻率響應(yīng)為

，試畫出該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。解：計(jì)算該低通濾波器頻率特性的MATLAB程序如書(shū)P168。運(yùn)行該程序結(jié)果如圖所示：系統(tǒng)在某一信號(hào)作用下的響應(yīng)可以在時(shí)域中求取，也可以在頻域中求取，還可以在復(fù)頻域中求取。但對(duì)于濾波器系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，則只能在頻域中進(jìn)行輸出響應(yīng)的求解，再通過(guò)傅里葉逆變換求出相應(yīng)的時(shí)域解。2．系統(tǒng)頻域響應(yīng)的MATLAB實(shí)現(xiàn)例

已知某理想高通濾波器的頻率特性為若濾波器的輸入為，求其輸出響應(yīng)。解：可求得其MATLAB計(jì)算程序如下。t=-8:0.001:8;y=sinc