第一講《-不等式和絕對值不等式》課件(新人教選修4-5)1

第一講不等式和絕對值不等式1、不等式1、不等式的基本性質：①、對稱性：

傳遞性：_________

②、

，a+c＞b+c③、a＞b，

，那么ac＞bc；

a＞b，

，那么ac＜bc④、a＞b＞0，

那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（條件）⑥、a＞b＞0那么（條件

）練習：1、判斷下列各命題的真假，并說明理由：（1）如果a>b，那么ac>bc；（2）如果a>b，那么ac2>bc2；（3）如果a>b，那么an>bn(n∈N+)；（4）如果a>b,c<d，那么a-c>b-d。

2、比較(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命題）（假命題）（真命題）（假命題）解：因為(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)=x2+3x+2-(x2+3x-18)=20>0，所以(x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)例2、已知a>b>0，c>d>0，求證：例1、求證：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd。證明：因為a>b>0,c>d>0，由不等式的基本性質（3）可得ac>bc,bc>bd，再由不等式的傳遞性可得ac>bc>bd。

練習：如果a>b,c>d，是否一定能得出ac>bd？并說明理由。例3、若a、b、x、y∈R，則是成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件C例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍。例4、對于實數a、b、c，判斷下列命題的真假：（1）若c>a>b>0，則（2）若a>b,，則a>0，b<0。

（真命題）（真命題）f(3)的取值范圍是[-1,20]例6、已知a>0，a2-2ab+c2=0，bc>a2，試比較a、b、c的大小。解：因為bc>a2>0，所以b、c同號；又a2+c2=2ab>0，且

a>0，所以b=且c>0。因為(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c)≥0，所以b-c≥0.當b-c>0，即b>c時，b=得所以a2c+c3>2a3即a3-c3+a3-a2c<0，(a-c)(2a2+ac+c2)<0因為a>0,b>0,c>0，所以2a2+ac+c2>0，故a-c<0,即a<c.從而a<c<b。當b-c=0，即b=c時，因為bc>a2，所以b2>a2，即b≠a。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，與前面矛盾，故b≠c.所以a<c<b.小結：理解并掌握不等式的六個基本性質作業(yè)：課本P10第3題。求證：（1）如果a>b,ab>0，那么（2）如果a>b>0，c<d<0，那么ac<bd。選做題：設a≥b,c≥d，求證：ac+bd≥(a+b)(c+d)第一講不等式和絕對值不等式2、基本不等式應城一中二（15）班復習1.判斷兩個實數大小的充要條件：a>b

a

b>0；a=b

a

b=0；a<b

a

b<0；2、不等式的基本性質：①、對稱性：

傳遞性：_________

②、

，a+c＞b+c③、a＞b，

，那么ac＞bc；

a＞b，

，那么ac＜bc④、a＞b＞0，

那么，ac＞bd⑤、a>b>0，那么an>bn.（條件）⑥、a＞b＞0那么（條件

）2、基本不等式定理1如果a,b∈R,那么

a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時等號成立。探究：

你能從幾何的角度解釋定理1嗎？

分析：a2與b2的幾何意義是正方形面積，ab的幾何意義是矩形面積，可考慮從圖形的面積角度解釋定理。aabbbAHIDKGBJCFE如圖把實數a，b作為線段長度，以a≥b為例，在正方形ABCD中，AB=a；在正方形CEFG中，EF=b.則S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2.

S矩形BCGH+S矩形JCDI=2ab，其值等于圖中有陰影部分的面積，它不大于正方形ABCD與正方形CEFG的面積和。即a2+b2≥2ab.當且僅當a=b時，兩個矩形成為正方形，此時有a2+b2=2ab。定理2（基本不等式）如果a，b>0，那么當且僅當a=b時，等號成立。證明：因為

=a+b-2≥0，所以a+b≥，上式當且僅當，即a=b時，等號成立。稱為a,b的算術平均稱為a，b的幾何平均兩個正數的算術平均不小于它們的幾何平均。如圖在直角三角形中，CO、CD分別是斜邊上的中線和高，設AD=a，DB=b，則由圖形可得到基本不等式的幾何解釋。CABDO例3求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。結論：已知x,y都是正數。（1）如果積xy是定值p，那么當x=y時，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y是定值s，那么當x=y時，積xy有最大值ABENMFDCQPHG例4某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖（右圖）是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200平方米的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價為每平方米4200元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為每平方米210元，再在四個空角（圖中四個直角三角形）上鋪上草坪，造價為每平方米80元。（1）設總造價為S元，AD長為x米，試建立S關于x的函數關系式。（2）當x為何值時S最小，并求出這個最小值。課堂練習：課本P10第5題、第6題、第9題5、設a,b∈R+,且a≠b，求證：

(1)(2)6、設a,b,c是不全相等的正數，求證：（1）(a+b)(b+c)(c+a)>8abc；（2）a+b+c>9、已知x、y∈R,求證：小結：理解并熟練掌握基本不等式及其應用，特別要注意利用基本不等式求最值時，一定要滿足“一正二定三相等”的條件。作業(yè)：課本P10第7、8、10題，第11題為選做題。3、三個正數的算術-幾何平均不等式練習：θ是銳角，求y=sinθcos2θ的最大值。1、比較大?。ㄗ鞑睢纸庖蚴健袛喾枺┳ⅲ悍纸庖蚴降讲荒芊纸鉃橹?；判斷符號的時候注意有時候要討論不等式課堂小結：注意：條件與結論間的對應關系，如是“”符號還是“”符號；知識結構圖：

4、☆☆☆均值不等式☆☆☆注意：一看開始條件二看取“等”再見

13、在對角線有相同長度的所有矩形中，怎樣的矩形周長最長，怎樣的矩形面積最大？14、已知球的半徑為R，球內球圓柱的底面半徑為r，高為h，則r與h為何值時，內接圓柱的體積最大？第一講不等式和絕對值不等式應城一中二（15）班二、絕對值不等式（一）絕對值的定義：

對任意實數a，

復習問題我們已學過積商絕對值的性質，哪位同學能回答？或.當時，有：（二）絕對值的幾何意義：

實數a的絕對值

|a|，表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離（圖1）。

如：|-3|或|3|在數軸上分別等于點A或點B到坐標原點的距離。|a|OAx

由絕對值的幾何意義可知，A、B之間的點與坐標原點的距離小于3，可表示為：

即實數x對應的點到坐標原點的距離小于3

同理，與原點距離大于3的點對應的實數可表示為：

如圖

設a,b是任意兩個實數，那么|a-b|

的幾何意義是什么？x|a-b|abAB二、絕對值不等式1、絕對值三角不等式

實數a的絕對值|a|的幾何意義是表示數軸上坐標為a的點A到原點的距離：OaAx|a|xABab|a-b|任意兩個實數a,b在數軸上的對應點分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點間的距離。聯系絕對值的幾何意義，從“運算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關系：分ab>0和ab<0兩種情形討論：（1）當ab>0時，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b（2）當ab<0時，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，則a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|定理1如果a,b是實數，則

|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab≥0時，等號成立。探究如果把定理1中的實數a,b分別換成向量a,b,能得出什么結果？你能解釋它的幾何意義嗎？Oxy探究當向量a,b共線時，有怎樣的結論？這個不等式稱為絕對值三角不等式。定理1的代數證明：探究你能根據定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關系嗎？例如：|a|-|b|與|a+b|，|a|+|b|與|a-b|，|a|-|b|與|a-b|等之間的關系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是實數，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|將定理中的實數a、b換成向量(或復數)仍成立注意：1

左邊可以“加強”同樣成立，即

3

這個不等式俗稱“三角形不等式”——三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊推論1：

推論2：2

例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.定理2如果a,b,c是實數，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。證明：根據絕對值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。B例2兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路碑的第10km和第20km處?，F要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次。要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應該建于何處？

分析：假設生活區(qū)建在公路路碑的第xkm處，兩個施工隊每天往返的路程之和為S(x)km，則有

S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求問題化歸為求該函數的最小值，可用絕對值三角不等式求解。所以原不等式成立證明1：證明2：（構造法）OABab1如圖由三角形兩邊之差小于第三邊得：

在△OAB中，練習：課本P20第1、2題.求證：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a|(2)|a+b|-|a-b|≤2|b|2.用幾種方法證明DDC小結定理2

如果a、b、c是實數,--------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|-------當且僅當(a-b)(b-c)≥0時,等號成立.定理3

如果a、b是實數,--------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab

≤0時,等號成立.當且僅當ab

≥0時,等號成立.將定理中的實數a、b換成向量(或復數)仍成立小結：理解和掌握絕對值不等式的兩個定理：

|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0時等號成立）

|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0時等號成立）能應用定理解決一些證明和求最值問題。作業(yè)：課本P20第3、4、5題2、絕對值不等式的解法復習：如果a>0，則

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①換元法：令t=ax+b,轉化為|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。②分段討論法：例3

解不等式|3x-1|≤2例4解不等式|2-3x|≥7補充例題：解不等式|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比較：類型化去絕對值后集合上解的意義區(qū)別|ax+b|<c-c<ax+b<c{x|ax+b>-c}∩{x|ax+b<c},交|ax+b|>cax+b<-c或ax+b>c{x|ax+b<-c}∪{x|ax+b>c},并

課堂練習：P20第6題例1

解不等式：1≤|x|<5.法1：利用絕對值的幾何意義法2：原不等式等價于不等式組∴原不等式的解集為{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.由題意得,-5<x≤-1，或1≤x<5解：

-5<x≤-1，或1≤x<5∴原不等式的解集為{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.拓展提高法3：例1

解不等式：1≤|x|<5.去絕對值.解:原不等式等價于∴原不等式的解集為{x|-5<x≤-1，或1≤x<5}.①或②解①得：1≤x<5;解②得：-5<x≤-1.拓展提高

法三:是去絕對值法，通過分兩種情況去掉絕對值.一般化：

a≤|x|≤ba≤x≤b或

-b≤x≤-a(b>a>0)指點迷津：例1

解不等式：1≤|x|<5.法一:幾何法，-5<x≤-1，或1≤x<5

法二:轉化法，把連不等式轉化為不等式組求解,①或②拓展提高變題：解不等式

1≤|2x-1|<5.

變題：解不等式

1≤|2x-1|<5.

法1：由原不等式得

1≤2x-1<5或–5<2x-1≤-1

即2≤2x<6或–4<2x≤0.

解得1x<3或–2<x≤0.∴原不等式的解集為{x|-2<x≤0或1≤x<3}解:法2：原不等式等價于變題：解不等式

1≤|2x-1|<5.

∴原不等式的解集為{x|-2<x≤0或1≤x<3}變題：解不等式

1≤|2x-1|<5.

原不等式等價于解①得：1≤x<3;

解②得：-2<x≤0.∴原不等式的解集為{x|-2<x≤0或1≤x<3}法3：去絕對值

①或②例2

解不等式：|4x-3|>2x+1.知識遷移：型不等式的解集為；型不等式的解集為.一般化:（2）小結：1.本節(jié)重要結論：（1）（

）型不等式的解集為；型不等式的解集為.（3）2.

對含有絕對值的不等式的解法,通過上面的例子我們可以看到,其關鍵就在于去掉絕對值,而去掉絕對值方法常用有：公式法，零點分段法.

3.本節(jié)例題解法回顧.

（1）形如1≤|2x-1|<5不等式的解法：有三種.

方法1：幾何法，也可看作公式法.

由原不等式得

1≤2x-1<5或

–5<2x-1≤-1

方法2：轉化法.

原不等式等價于

方法3：零點分段法（去絕對值）.原不等式等價于①或②

由原不等式得4x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1)

（2）對于例2不等式：|4x-3|>2x+1的解法：有兩種.

方法1：零點分段法（去絕對值）.

方法2：整體代換法，公式法.

原不等式等價于x12-2-3ABA1B1yxO-32-2例3

解不等式：|x-3|-|x+1|<1.

方法2：數形結合法.

（3）對于例3不等式：|x-3|-|x+1|<1的解法：有兩種.

方法1：零點分段法.

原不等式等價于①

或②或③

解不等式：|x+2|+|x|>4.知識鞏固：不等式|x+2|+|x|>a恒成立，求a的取值范圍.思考題

數形結合法，整體代換法，轉化法.

（4）形如問題：不等式|x+2|+|x|>a恒成立，求a的取值范圍.

有兩種方法：數形結合法，零點分段法.用數形結合法最簡單.

4.本節(jié)用到的數學思想和方法：①利用絕對值不等式的幾何意義②零點分區(qū)間法③構造函數法作業(yè)：P20第7題、第8題(1)(3)練習：P20第8題(2)補充練習：解不等式：（1）1<|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|<2.（3）|3x-1|>x+3.答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1}

（2）{x|-5<x<-1或3<x<7}

（3）作業(yè)8.解不等式:補充練習：解不等式：（1）1<|2x+1|≤3.（2）||x-1|-4|<2.（3）|3x-1|>x+3.答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1}

（2）{x|-5<x<-1或3<x<7}

（3）[沖關錦囊]1．形如|x＋a|±|x－b|≥c不等式的解法常用零點分段討論法，其步驟為：(1)求零點；(2)劃分區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結果的并集，特別注意在分段時不要漏掉區(qū)間的端點值．2．上述不等式也可用|x－a1|±|x－a2|的幾何意義去求解集.[精析考題][例1]

(2011·陜西高考改編)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a對任意x∈R恒成立，求a的取值范圍．[自主解答]

由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本題條件變?yōu)椤?x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立為假命題”，求a的范圍．解：由條件知其等價命題為對?x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min