黑龍江省大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)二部2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)

大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)二部2022級(jí)高（二）下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．?dāng)?shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位數(shù)為A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.72．哈爾濱的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈爾濱市共接待總游客量達(dá)到1.35億人次，同比增長(zhǎng)145.78%，比2019年增長(zhǎng)41.4%.甲、乙、丙三人從冰雪大世界、太陽島和中央大街三個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過冰雪大世界，所以甲不選冰雪大世界，則不同的選法有A．12 B．16 C．18 D．243．已知二項(xiàng)式（其中且）的展開式中含與的項(xiàng)的系數(shù)相等，則的值為A．5 B．6 C．7 D．84．對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列正確的是

A． B．C． D．5．從1,2,?A． B． C． D．6．《RhindPapyrus》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一個(gè)類似這樣的問題，請(qǐng)給出答案：把600個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且使較多的三份之和的是較少的兩份之和，則最少的一份為A．5 B．10 C．11 D．557．某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有A．1張 B．2張 C．3張 D．4張8．我校舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為A．27 B．24 C．32 D．28二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．若，則下列正確的是A．B．C．D．10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則下列說法正確的是A． B．的最小值為10C．三點(diǎn)共線D．11．在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為．若輸入四個(gè)相同的信號(hào)的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則A．若輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為B．C．D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，．13．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.14．馬爾科夫鏈?zhǔn)菣C(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．著名的賭徒模型就應(yīng)用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率都為，每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸?shù)?金幣．賭徒自以為理智地決定，遇到如下兩種情況就會(huì)結(jié)束賭博游戲：一是輸光了手中金幣；二是手中金幣達(dá)到預(yù)期的1000金幣，出現(xiàn)這兩種情況賭徒都會(huì)停止賭博．記賭徒的本金為70金幣，求賭徒輸光所有金幣的概率_______.四、填空題（本題共5小題，共77分）15．（13分）工廠有甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由甲車間生產(chǎn)的概率是多少？16.（15分）（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，，求整數(shù)的最小值．17.（15分）一批產(chǎn)品共10件，其中件是不合格品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.若先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件，當(dāng)抽到不合格產(chǎn)品數(shù)時(shí)，概率為.（1）求的值；（2）若一次性隨機(jī)抽取2件，求抽到不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.18.（17分）懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù).類比三角函數(shù)的性質(zhì)：①平方關(guān)系：，②導(dǎo)數(shù)關(guān)系：．(1)直接寫出，具有的類似①、②的性質(zhì)（不需要證明）；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)求的最小值．19.（17分）已知橢圓：，A，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過做斜率不為0的直線交橢圓于點(diǎn)P,Q兩點(diǎn),且.當(dāng)直線軸時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為，，問是否為定值？并證明你的結(jié)論；(3)直線AP交y軸于點(diǎn)E．若過O點(diǎn)作直線AP的平行線OM交橢圓C于點(diǎn)M，求AP+AEOM一、單選題1．?dāng)?shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位數(shù)為（

）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用第50百分位數(shù)的定義計(jì)算即得.【詳解】依題意，一組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)即為該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以數(shù)據(jù)6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位數(shù)為.故選：B2．哈爾濱的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈爾濱市共接待總游客量達(dá)到1.35億人次，同比增長(zhǎng)145.78%，比2019年增長(zhǎng)41.4%.甲、乙、丙三人從冰雪大世界、太陽島和中央大街三個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲去過冰雪大世界，所以甲不選冰雪大世界，則不同的選法有（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】C【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，結(jié)合題意，直接計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，甲有種選擇，乙、丙都有種選擇，故所有的選法有：種.故選：C.3．已知二項(xiàng)式（其中且）的展開式中與的系數(shù)相等，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式建立等量關(guān)系可求答案.【詳解】因?yàn)榍?，由題意知，得，求得，故選：.4．對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其樣本相關(guān)系數(shù)的比較，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖分析出樣本的相關(guān)關(guān)系即可.【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，左側(cè)兩圖是正相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，則，，右側(cè)兩圖是負(fù)相關(guān)，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，則，，下方兩圖的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以接近于1，接近于－1，上方兩圖的點(diǎn)相對(duì)分散一些，所以相關(guān)性較弱，所以和比較接近0，由此可得．故選：B．5．從這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求所有組合個(gè)數(shù)，列舉和為質(zhì)數(shù)的情況，古典概型求概率.【詳解】這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，有種取法，和為質(zhì)數(shù)有，共14種情況，因此所求概率為.故選：C.6．《RhindPapyrus》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一個(gè)類似這樣的問題，請(qǐng)給出答案：把600個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（

）A．5 B．10 C．11 D．55【答案】B【分析】設(shè)每份面包從小到大為等差數(shù)列，公差為，解方程即可得解.【詳解】設(shè)每份面包從小到大為等差數(shù)列，公差為，可得a1所以a1解得a1故選：B.7．某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【分析】根據(jù)題意，計(jì)算盒子中獎(jiǎng)券數(shù)量對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.【詳解】設(shè)中獎(jiǎng)的概率為，30天中獎(jiǎng)的天數(shù)為，則若盒子中的有獎(jiǎng)券有1張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有3張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有4張，則中獎(jiǎng)的概率為，，根據(jù)題意盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，更有可能30天中獎(jiǎng)11天，故選：B.8．某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對(duì)抗訓(xùn)練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為這輪訓(xùn)練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．27 B．24 C．32 D．28【答案】A【分析】先求得每一輪訓(xùn)練過關(guān)的概率，利用二項(xiàng)分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)每一輪訓(xùn)練過關(guān)的概率為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以，依題意，，則，，所以至少需要輪.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)事件結(jié)合的問題，要注意區(qū)別兩者的不同，相互獨(dú)立事件的概率可以不相同，獨(dú)立重復(fù)事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”.二、多選題9．若，則下列正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】通過賦值法即可對(duì)A、B、C逐項(xiàng)求解判斷，通過對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)后再利用賦值法從而可對(duì)D求解判斷.【詳解】對(duì)于A：令，則，故A正確；對(duì)于B：令，則，故B正確；對(duì)于C：令，則，故C正確；對(duì)于D，由，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，令，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．的最小值為10C．三點(diǎn)共線 D．【答案】CD【分析】設(shè)直線聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理判斷A；由，結(jié)合拋物線定義及基本不等式求最小值判斷B；設(shè)，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理得，結(jié)合A分析求參數(shù)判斷C；應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求判斷D.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立方程組，可得，且，則，A不正確；由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9，不正確；設(shè)，，聯(lián)立，可得，且，則，結(jié)合A分析得，即直線過點(diǎn)，正確；由，，正確.故選：CD11．在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為．若輸入四個(gè)相同的信號(hào)的概率分別為，且．記事件分別表示“輸入”“輸入”“輸入”，事件表示“依次輸出”，則（

）A．若輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為B．C．D．【答案】BCD【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式可得A錯(cuò)誤；由條件概率公式可得BC正確；全概率的應(yīng)用，先求出，再根據(jù)和化簡(jiǎn)得到D正確.【詳解】A：因?yàn)榘l(fā)送某一信號(hào)時(shí)，收到的信號(hào)字母不變的概率為，收到其他兩個(gè)信號(hào)的概率均為，即收到的信號(hào)字母變的概率為，且信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，所以輸入信號(hào)，則輸出的信號(hào)只有兩個(gè)的概率為，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，故B正確；C：，故C正確；D：因?yàn)?，所以，故D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用獨(dú)立事件的條件概率公式和全概率公式.三、填空題12．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則．【答案】0.2【分析】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,得到對(duì)稱軸為，再由,可得,根據(jù)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得到對(duì)稱軸為，又由，則，所以.故答案為：13．已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】通過求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，在中，，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，單調(diào)遞增，∵，，當(dāng)，方程有三個(gè)不同的實(shí)根，∴即，故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)求導(dǎo)，兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，在研究函數(shù)的圖象時(shí)很容易忽略這個(gè)條件.14．馬爾科夫鏈?zhǔn)菣C(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．著名的賭徒模型就應(yīng)用了馬爾科夫鏈：假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率都為，每局賭贏可以贏得1金幣，賭輸就要輸?shù)?金幣．賭徒遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種賭徒輸光了手中金幣；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的1000金幣，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為100金幣，求賭徒輸光所有金幣的概率_______.【分析】當(dāng)時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當(dāng)時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場(chǎng)贏的事件,,即，所以，所以是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)，則，累加得，故，得，，由得,即,當(dāng)時(shí)，，因此可知久賭無贏家，即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會(huì)的概率輸光．四、解答題15．設(shè)某廠有甲，乙，丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的，，，并且各車間的次品率依次為，，.現(xiàn)從該廠這批產(chǎn)品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，則此次品由三個(gè)車間生產(chǎn)的概率分別是多少？【答案】(1)(2)甲車間生產(chǎn)的概率為：，由乙車間生產(chǎn)的概率為：，由丙車間生產(chǎn)的概率為：【分析】（1）根據(jù)全概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.（2）根據(jù)貝葉斯公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】（1）記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示車間生產(chǎn)的產(chǎn)品，記事件表示抽取到次品，則,，取到次品的概率為（2）若取到的是次品，此次品由甲車間生產(chǎn)的概率為：16.記，分別為數(shù)列，的前項(xiàng)和，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，，求整數(shù)的最小值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）由已知，可得的關(guān)系，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；由，將代入，可得為等差數(shù)列，再由可得的通項(xiàng)公式.（2）由（1），將的通項(xiàng)公式代入，從而得到，求出整數(shù)的最小值．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以?【小問2詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，其中，?dāng)時(shí)，，，無限接近，所以整數(shù)的最小值為3．17．一批產(chǎn)品共10件，其中件是不合格品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記抽取的不合格產(chǎn)品數(shù)為.若先隨機(jī)抽取1件，放回后再隨機(jī)抽取1件，當(dāng)抽到不合格產(chǎn)品數(shù)時(shí)，概率為.（1）求的值；（2）若一次性隨機(jī)抽取2件，求抽到不合格產(chǎn)品數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）詳見解析【詳解】解：（1）隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，則，所以，解得：或，因?yàn)?，所?（2）隨機(jī)變量可取的值為0，1，2，且服從超幾何分布，，于是，，.因此的分布列可表示為下表：012P所以.答：抽到不合格產(chǎn)品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.18．懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，類比三角函數(shù)的性質(zhì)：①平方關(guān)系：①，②導(dǎo)數(shù)關(guān)系：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②的性質(zhì)（不需要證明）；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)求的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)(3)0【分析】（1）類比，寫出平方關(guān)系和導(dǎo)數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行證明；（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合基本不等式，隱