高考數(shù)學選填壓軸題型第20講導數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)專題練習(原卷版+解析)

第20講導數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)近幾年高考數(shù)學壓軸題，多以導數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的范圍，這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構(gòu)造函數(shù)是解導數(shù)問題的最基本方法，一下問題為例，對在處理導數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù)的方法進行歸類和總結(jié)．【方法綜述】以抽象函數(shù)為背景、題設條件或所求結(jié)論中具有“、、”等特征式、解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導數(shù)運算法則結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關的可導函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題．方法總結(jié)：和與積聯(lián)系：，構(gòu)造；，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造；，構(gòu)造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造．，構(gòu)造，，構(gòu)造，………………，構(gòu)造，奇偶性結(jié)論：奇乘除奇為偶；奇乘偶為奇。（可通過定義得到）構(gòu)造函數(shù)有時候不唯一，合理構(gòu)造函數(shù)是關鍵。給出導函數(shù)，構(gòu)造原函數(shù)，本質(zhì)上離不開積分知識?！窘獯鸩呗浴款愋鸵?、巧設“”型可導函數(shù)【例1】已知不相等的兩個正實數(shù)x，y滿足，則下列不等式中不可能成立的是（）A． B． C． D．【來源】廣東省佛山市2021屆高三下學期二模數(shù)學試題【舉一反三】1．若實數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．【來源】浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2021屆高三下學期5月模擬數(shù)學試題2．（2020·河北高考模擬（理））設奇函數(shù)在上存在導函數(shù)，且在上，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（2020·山西高考模擬（理））定義在上的函數(shù)滿足，則關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．4．（2020·河北衡水中學高考模擬（理））定義在上的可導函數(shù)滿足，且，當時，不等式的解集為()A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集是__________．類型二巧設“”型可導函數(shù)【例】已知定義在上的圖象連續(xù)的函數(shù)的導數(shù)是，，當時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省高考最后一卷數(shù)學（第七模擬）【舉一反三】1．（2020錦州模擬）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，若，則不等式的解集為（）A．或 B．或C．或 D．或2．（2020·陜西高考模擬）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．3．（2020·海南高考模擬）已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．4．（2020·青海高考模擬（理））已知定義在上的函數(shù)滿足函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當成立（是函數(shù)的導數(shù)），若，則的大小關系是（）A．B．C．D．5.（2020南充質(zhì)檢）是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．6．（2020荊州模擬）設函數(shù)是奇函數(shù)()的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．7．（2020·河北高考模擬）已知是定義在上的可導函數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．為減函數(shù) D．為增函數(shù)8．已知為上的連續(xù)可導函數(shù)，且，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為__________．類型三巧設“”型可導函數(shù)【例3】已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【來源】廣東省汕頭市2021屆高三三模數(shù)學試題【舉一反三】1．定義在上的連續(xù)函數(shù)的導函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【來源】湘豫聯(lián)考2021屆高三5月聯(lián)考文數(shù)試題2．（2020·江西高考模擬（理））已知定義在上的函數(shù)，恒為正數(shù)的符合，則的取值范圍為（）A． B． C．() D．3．（2020·遼寧高考模擬）已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．3．（2020·四川高考模擬）下列四個命題：①；②；③；④，其中真命題的個數(shù)是（）（為自然對數(shù)的底數(shù)）A．1 B．2 C．3 D．44.（2020遵義模擬）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，且當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（2020咸陽一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A． B．C． D．6．（2020正定一中模擬）設是函數(shù)，的導數(shù)，且滿足，若是銳角三角形，則（）A． B．C． D．7．（2020衡水金卷）設偶函數(shù)定義在上，其導函數(shù)為，當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．8.（2020綿陽一診）奇函數(shù)定義域為，其導函數(shù)是．當時，有，則關于的不等式的解集為__________．類型四綜合運用求導法則及復合函數(shù)的求導法則，構(gòu)造函數(shù)【例4】已知函數(shù)及其導數(shù)滿足，，對滿足的任意正數(shù)，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】浙江省紹興市上虞區(qū)2021屆高三下學期第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題【舉一反三】1．（2020·石嘴山市第三中學高考模擬）已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．2．在關于的不等式(其中為自然對數(shù)的底數(shù))的解集中，有且僅有一個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】四川省攀枝花市2021屆高三一?？荚嚁?shù)學（理）試題3．（2020·江西高考模擬（理））已知函數(shù)滿足，若對任意正數(shù)都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2020?九江一模）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且對?x∈（0，+∞）都有f′（x）lnx＞f（x），則（）A．12f（2）＞3f（4）＞f（8） B．3f（4）＞12f（2）＞f（8） C．f（8）＞3f（4）＞12f（2） D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4）5．（2020石家莊模擬）定義在上的函數(shù)使不等式恒成立，其中是的導數(shù)，則（）A．， B．C．， D．6．（2020·黑龍江高考模擬）設是函數(shù)的導函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．（2020浙江模擬）設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，且，則的解集為（） A． B． C． D．8.（2020大連一模）設函數(shù)滿足，，則時，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．即有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【強化訓練】一、選擇題1．【2020銀川模擬】已知函數(shù)的導函數(shù)滿足，則對都有（）A． B．C． D．2.【2020屆高三第二次全國大聯(lián)考】設是定義在上的可導偶函數(shù)，若當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1C．2 D．0或23.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質(zhì)量檢測】的定義域是，其導函數(shù)為，若，且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則A． B．C．當時，取得極大值 D．當時，3.【2020湖南省長郡中學高三】已知是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4.已知且滿足，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．不存在滿足【來源】山東省泰安市2021屆高三四模數(shù)學試題5.，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．6.【2020福建省適應性練習】已知函數(shù)，，若關于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7.【2020云南省玉溪市第一中學調(diào)研】設為函數(shù)的導函數(shù)，且滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8.【2020河北省唐山市一模】設函數(shù)，有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．9．已知定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【來源】四川省廣元市2021屆高三三模數(shù)學（理）試題10．【2020遼寧省撫順市一?！咳艉瘮?shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．11．【2020遼寧省師范大學附屬中學】已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．12．【2020安徽省毛坦廠中學聯(lián)考】已知，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．13．已知函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷一定正確的是（）A． B． C． D．14．【2020四川省教考聯(lián)盟一診】已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．15．【2020屆高三全國大聯(lián)考】已知定義在上的可導函數(shù)的導函數(shù)為，若當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．0或216．已知實數(shù)，且，，，則（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省高考最后一卷數(shù)學（第一模擬）17．已知展開式的常數(shù)項的取值范圍為，且恒成立.則的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】陜西省西安地區(qū)八校聯(lián)考2021屆高三下學期高考押題理科數(shù)學試題18．已知定義域為的函數(shù)滿足（為函數(shù)的導函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．【來源】2021屆吉林省長春市高三四模數(shù)學理科試題19．已知，，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．20．已知是定義在上的可導函數(shù)，是的導函數(shù)，若，，則在上（）A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有極大值 D．有極小值【來源】江西省九江市2021屆高三三模數(shù)學（理）試題21．已知兩個不等的正實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．【來源】寧夏銀川市2021屆高三二模數(shù)學（理）試題二、填空題22．【2020·貴州高考模擬】已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導函數(shù)，當時，，若，則實數(shù)的取值范圍是__________.23．【2020濟南市山東師范大學附屬中學高三】定義在R上的奇函數(shù)的導函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為______．第20講導數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)第20講導數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)近幾年高考數(shù)學壓軸題，多以導數(shù)為工具來證明不等式或求參數(shù)的范圍，這類試題具有結(jié)構(gòu)獨特、技巧性高、綜合性強等特點，而構(gòu)造函數(shù)是解導數(shù)問題的最基本方法，一下問題為例，對在處理導數(shù)問題時構(gòu)造函數(shù)的方法進行歸類和總結(jié)．【方法綜述】以抽象函數(shù)為背景、題設條件或所求結(jié)論中具有“、、”等特征式、解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導數(shù)運算法則結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關的可導函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決問題．方法總結(jié)：和與積聯(lián)系：，構(gòu)造；，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造；，構(gòu)造．等等．減法與商聯(lián)系：如，構(gòu)造；，構(gòu)造；…，構(gòu)造．，構(gòu)造，，構(gòu)造，………………，構(gòu)造，奇偶性結(jié)論：奇乘除奇為偶；奇乘偶為奇。（可通過定義得到）構(gòu)造函數(shù)有時候不唯一，合理構(gòu)造函數(shù)是關鍵。給出導函數(shù)，構(gòu)造原函數(shù)，本質(zhì)上離不開積分知識?！窘獯鸩呗浴款愋鸵弧⑶稍O“”型可導函數(shù)【例1】已知不相等的兩個正實數(shù)x，y滿足，則下列不等式中不可能成立的是（）A． B． C． D．【來源】廣東省佛山市2021屆高三下學期二模數(shù)學試題【答案】B【解析】由已知，因為2log4x＝log2x，所以原式可變形令，，函數(shù)與均為上的增函數(shù)，且，且，當時，由，則，可得，當時，由，則，可得，要比較x與y的大小，只需比較與的大小，設，則，故在上單調(diào)遞減，又，，則存在使得，所以當時，，當時，，又因為，所以當時，，當時，正負不確定，故當時，，所以，故，當時，正負不定，所以與的正負不定，所以均有可能，即選項A，C，D均有可能，選項B不可能．故選：B．【點睛】本題考查了不等關系的判斷，主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的運用，解答本題的關鍵是要比較x與y的大小，只需比較與的大小，，設，求導得出其單調(diào)性，從而得出的大小可能性．【舉一反三】1．若實數(shù)，滿足，則（）A． B． C． D．【來源】浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2021屆高三下學期5月模擬數(shù)學試題【答案】C【解析】，，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，恒成立，時取等號，，，，，又（不等式取等條件），解得：，，故選：C.2．（2020·河北高考模擬（理））設奇函數(shù)在上存在導函數(shù)，且在上，若，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得：，構(gòu)造函數(shù)，故g（x）在單調(diào)遞減，由函數(shù)為奇函數(shù)可得g(x)為奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減，故選D點睛：本題解題關鍵為函數(shù)的構(gòu)造，由要想到此條件給我們的作用，通常情況下是提示我們需要構(gòu)造函數(shù)得到新函數(shù)的單調(diào)性，從而得不等式求解；3．（2020·山西高考模擬（理））定義在上的函數(shù)滿足，則關于的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件求得，即函數(shù)為增函數(shù)，而，由此求得，進而求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意可知，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.所求不等式可化為，而，所以，解得，故不等式的解集為.【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)解不等式，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查導數(shù)的運算以及指數(shù)不等式的解法，屬于中檔題.題目的關鍵突破口在于條件的應用.通過觀察分析所求不等式，轉(zhuǎn)化為，可發(fā)現(xiàn)對于，它的導數(shù)恰好可以應用上已知條件.從而可以得到解題的思路.4．（2020·河北衡水中學高考模擬（理））定義在上的可導函數(shù)滿足，且，當時，不等式的解集為()A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，在定義域上是增函數(shù)，且，，可轉(zhuǎn)化成，得到，又，可以得到，故選D5．定義在上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集是__________．【答案】【解析】，則，而，且，∴，即在上單調(diào)遞減，不等式可化為，即，故，解得：，故解集為：．類型二巧設“”型可導函數(shù)【例】已知定義在上的圖象連續(xù)的函數(shù)的導數(shù)是，，當時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省高考最后一卷數(shù)學（第七模擬）【答案】A【解析】當時，，即有．令，則當時，，故在上單調(diào)遞增．∵，∴關于直線對稱，故在上單調(diào)遞減，由等價于，則，得．∴的解集為．故選：A.【舉一反三】1．（2020錦州模擬）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，若，則不等式的解集為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D．【解析】令，則為奇函數(shù)，且當時，恒成立，即函數(shù)在，上單調(diào)遞減，又，則，則可化為或，則或．故選D．2．（2020·陜西高考模擬）已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對任意滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以即，選A.點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等3．（2020·海南高考模擬）已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列判斷一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．故選B．4．（2020·青海高考模擬（理））已知定義在上的函數(shù)滿足函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當成立（是函數(shù)的導數(shù)），若，則的大小關系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，則當，因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，即為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，因此當，即為上單調(diào)遞減函數(shù)，因為，而，所以，選A.5.（2020南充質(zhì)檢）是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】C．【解析】構(gòu)造函數(shù)，則．又是定義在上的奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且當時，，在上函數(shù)單減，．又，所以有的解集．故選C．點睛：本題主要考察抽象函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的求導法則及構(gòu)造函數(shù)解不等式，屬于難題．求解這類問題一定要耐心讀題、讀懂題，通過對問題的條件和結(jié)論進行類比、聯(lián)想、抽象、概括，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”以構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造合適的函數(shù)．6．（2020荊州模擬）設函數(shù)是奇函數(shù)()的導函數(shù)，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D.【解析】設，當時，，在上為減函數(shù)，且，當時，，，，；當時，，，，，∵為奇函數(shù)，∴當時，，；當時，，．綜上所述：使得成立的的取值范圍是【點睛】構(gòu)造函數(shù)，借助導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)圖像解不等式問題，是近年高考熱點，怎樣構(gòu)造函數(shù)，主要看題目所提供的導數(shù)關系，常見的有與的積或商，與的積或商，與的積或商，與的積或商等，主要看題目給的已知條件，借助導數(shù)關系說明導數(shù)的正負，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助函數(shù)的奇偶性和特殊點，模擬函數(shù)圖象，解不等式．7．（2020·河北高考模擬）已知是定義在上的可導函數(shù)，且滿足，則（）A． B． C．為減函數(shù) D．為增函數(shù)【答案】A【解析】令，則由題意，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為，所以當時，，則，當時，，則，而恒成立，則；所以；故選A.點睛：本題的難點在于如何利用構(gòu)造函數(shù)。8．已知為上的連續(xù)可導函數(shù)，且，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為__________．【答案】0．【解析】令函數(shù)，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上也單調(diào)遞增，且，故該函數(shù)在上無零點，應填答案．點評：解答本題的關鍵是構(gòu)造函數(shù)，然后借助導數(shù)的有關知識判定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)與軸沒有一個交點，即函數(shù)的零點的個數(shù)是0．類型三巧設“”型可導函數(shù)【例3】已知定義在R上的函數(shù)的導函數(shù)為，且滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【來源】廣東省汕頭市2021屆高三三模數(shù)學試題【答案】D【解析】令，則，所以不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式，即，構(gòu)造函數(shù)，則，由題意，，所以為R上的增函數(shù)，又，所以，所以，解得，即，所以，故選：D.【舉一反三】1．定義在上的連續(xù)函數(shù)的導函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【來源】湘豫聯(lián)考2021屆高三5月聯(lián)考文數(shù)試題【答案】C【解析】由題可得，所以，設則，所以在上單調(diào)遞減，且由可得，所以，，所以選項A?B錯誤，選項C正確.把代入，可得，所以選項D錯誤，故選：C.2．（2020·江西高考模擬（理））已知定義在上的函數(shù)，恒為正數(shù)的符合，則的取值范圍為（）A． B． C．() D．【答案】D【解析】令，則，所以，選D.點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等3．（2020·遼寧高考模擬）已知是定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導函數(shù)，且，，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，設，，可知是上的增函數(shù)，，當時，，又，所以，所以不等式的解集為，故選C.3．（2020·四川高考模擬）下列四個命題：①；②；③；④，其中真命題的個數(shù)是（）（為自然對數(shù)的底數(shù)）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，，當時，，當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減，而，所以，化簡得故①錯誤，而，所以，即，化簡可得故②正確，因為，所以，化簡可得，故③正確，因為當時取最大值，若④成立，可得，即，顯然不成立，故錯誤，綜上可知選B.4.（2020遵義模擬）設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，且當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A．【解析】設，則的導數(shù)為：，∵當x＞0時，，即當x＞0時，恒大于0，∴當x＞0時，函數(shù)為增函數(shù)，∵為奇函數(shù)，∴函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)又∵，∵，∴當x＞0時，＞0，當x＜0時，＜0，∴當x＞0時，，當x＜0時，，∴x＞1或－1＜x＜0．故使得成立的x的取值范圍是，故答案為：A．5．（2020咸陽一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當時，有成立，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】A．【解析】令，∴。∵，為偶函數(shù)∴在上單調(diào)遞減．或，選A．6．（2020正定一中模擬）設是函數(shù)，的導數(shù)，且滿足，若是銳角三角形，則（）A． B．C． D．【答案】D．【解析】∵，時，∴在上遞增，又A，B，C是銳角，∴，，，，∴，∴，故選D．【點睛】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)比較大小，屬于難題．聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)．7．（2020衡水金卷）設偶函數(shù)定義在上，其導函數(shù)為，當時，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】C．【解析】令，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，又當時，，所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，將化為，即，則，又，所以，即不等式的解集為．故選C．點睛：本題考查利用導數(shù)研究不等式問題．利用導數(shù)研究不等式恒成立問題或不等式的解集問題，往往要根據(jù)已知和所求合理構(gòu)造函數(shù)，再求導進行求解，如本題中的關鍵是利用“”和“”的聯(lián)系構(gòu)造函數(shù)．8.（2020綿陽一診）奇函數(shù)定義域為，其導函數(shù)是．當時，有，則關于的不等式的解集為__________．【答案】．【解析】令，則，由條件得當時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減．又函數(shù)為偶函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．①當時，，不等式可化為，∴；②當時，，不等式可化為，∴．綜上可得不等式的解集為．類型四綜合運用求導法則及復合函數(shù)的求導法則，構(gòu)造函數(shù)【例4】已知函數(shù)及其導數(shù)滿足，，對滿足的任意正數(shù)，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【來源】浙江省紹興市上虞區(qū)2021屆高三下學期第二次教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】C【解析】∵，，∴，當且僅當時等號成立；∵，∴，記，則，∴，∴，記，∴，∴當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.∴，∴在恒成立，∴在恒成立，∴在單調(diào)遞增，∵對滿足的任意正數(shù)，都有，∴∴，解得.∴的取值范圍是故選：C【點睛】本題考查利用求導的運算法則逆向構(gòu)造函數(shù)，考查了基本不等式的應用，考查運算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想等，是難題.本題解題的關鍵在于構(gòu)造函數(shù)記，則，進而研究函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性求解不等式.【舉一反三】1．（2020·石嘴山市第三中學高考模擬）已知函數(shù)的導函數(shù)滿足對恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，，，得，令，則．故在，遞減；（e）（1），即（e）（1）．故選．2．在關于的不等式(其中為自然對數(shù)的底數(shù))的解集中，有且僅有一個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】四川省攀枝花市2021屆高三一?？荚嚁?shù)學（理）試題【答案】B【解析】等價于，令，故的圖象在圖象的上方有且只有一個橫坐標大于且為整數(shù)的點.又，當時，，當時，，當時，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而恒成立，的圖象為過的動直線，故、的圖象如圖所示：其中，，，當時，，故，因為的圖象在圖象的上方有且只有一個橫坐標大于且為整數(shù)的點，故.當時，的圖象在圖象的上方有無窮多個橫坐標大于且為整數(shù)的點，此時不合題意，舍.故選：B.3．（2020·江西高考模擬（理））已知函數(shù)滿足，若對任意正數(shù)都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題得,所以所以當時,,單調(diào)遞增,當時,,單調(diào)遞減.所以所以，所以在上單調(diào)遞減.因為所以令，u(x)是一個增函數(shù)，，所以x>1.故選D.4．（2020?九江一模）定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），且對?x∈（0，+∞）都有f′（x）lnx＞f（x），則（）A．12f（2）＞3f（4）＞f（8） B．3f（4）＞12f（2）＞f（8） C．f（8）＞3f（4）＞12f（2） D．f（8）＞12f（2）＞3/f（4）【答案】C【解析】由f′（x）lnx＞f（x）得，f′（x）xlnx＞（1+lnx）f（x），即f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0，令g（x）＝，則g′（x）＝，由f′（x）xlnx﹣（1+lnx）f（x）＞0，∴x∈（0，1），（1，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間（0.1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（2）＜g（4）＜g（8），即f（8）＞3f（4）＞12f（2），故選：C．5．（2020石家莊模擬）定義在上的函數(shù)使不等式恒成立，其中是的導數(shù)，則（）A．， B．C．， D．【答案】B．【解析】令，則，又因為，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，故選B．6．（2020·黑龍江高考模擬）設是函數(shù)的導函數(shù)，且，（為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】可構(gòu)造函數(shù)F（x）=，F(xiàn)′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上遞增．不等式f（lnx）＜x2即為＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即為F（lnx）＜F（），由F（x）在R上遞增，可得lnx＜，解得0＜x＜．故不等式的解集為（0，），故選B．7．（2020浙江模擬）設函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，且，則的解集為（） A． B． C． D．【答案】B．【解析】由已知得，考慮到基本初等函數(shù)的導數(shù)，與函數(shù)有關，因此設，，由題意，，，又，所以，，所以，不等式為，，即．故選B．方法2：由題得：，，即，∴，又，∴．所以．反思：題中若已知函數(shù)值，則函數(shù)解析式能求出來或者零點可推測。點睛：已知導數(shù)與原函數(shù)的不等關系，可構(gòu)造新函數(shù)，利用已知條件判斷新函數(shù)的單調(diào)性，從而解決問題，如已知，可設，則，因此是增函數(shù)，類似地還可以設，，等等；本題已知的是，如果設，則，因此已知條件變?yōu)椋@樣可聯(lián)想應該有，從而可求得，把問題具體化．8.（2020大連一模）設函數(shù)滿足，，則時，（）A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．即有極大值又有極小值 D．既無極大值也無極小值【答案】D【解析】由題意知．令，則．由，得，當時，，即，則當時，，故在上單調(diào)遞增，即無極大值也無極小值．【強化訓練】一、選擇題1．【2020銀川模擬】已知函數(shù)的導函數(shù)滿足，則對都有（）A． B．C． D．【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，遞增；當時，，遞減，所以在時取最小值，從而，故選A．2.【2020屆高三第二次全國大聯(lián)考】設是定義在上的可導偶函數(shù)，若當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1C．2 D．0或2【答案】A【解析】設，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以也是上的偶函數(shù)，所以．由已知，時，，可得當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以，所以方程，即無解，所以函數(shù)沒有零點．故選A．3.【新疆烏魯木齊2019屆高三第二次質(zhì)量檢測】的定義域是，其導函數(shù)為，若，且（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則A． B．C．當時，取得極大值 D．當時，【答案】C【解析】設，則則又得即，所以即，由得，得，此時函數(shù)為增函數(shù)由得，得，此時函數(shù)為減函數(shù)則，即，則，故錯誤，即，則，故錯誤當時，取得極小值即當，，即，即，故錯誤當時，取得極小值此時，則取得極大值本題正確選項：3.【2020湖南省長郡中學高三】已知是函數(shù)的導函數(shù)，且對任意的實數(shù)都有是自然對數(shù)的底數(shù)），，若不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，可設，∵，∴．∴，∴．可得：時，函數(shù)取得極大值，時，函數(shù)取得極小值．，，，．∴時，不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，．故的取值范圍是，故選C．4.已知且滿足，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．不存在滿足【來源】山東省泰安市2021屆高三四模數(shù)學試題【答案】D【解析】令，，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，又，所以，A項錯誤；對兩邊取自然對數(shù)得，即，B項錯誤；令，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因為且，所以，C項錯誤；假設，則，所以，令，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故當時，，所以不存在，滿足，D項正確．故選：D．5.，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】構(gòu)造形式，則，時導函數(shù)，單調(diào)遞增；時導函數(shù)，單調(diào)遞減．又為偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性和圖象可知選B．6.【2020福建省適應性練習】已知函數(shù)，，若關于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】A【解析】易知當≤0時，方程只有一個解，所以>0．令，，令得，為函數(shù)的極小值點，又關于的方程=在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)解，所以，解得，故選A.7.【2020云南省玉溪市第一中學調(diào)研】設為函數(shù)的導函數(shù)，且滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，由，可得的對稱軸為，所以，所以，所以，由可得，變形可得，即，設，，易得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故實數(shù)b的取值范圍為，故選A8.【2020河北省唐山市一?！吭O函數(shù)，有且僅有一個零點，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵函數(shù)，有且只有一個零點，∴方程，，有且只有一個實數(shù)根，令g（x）=，則g′（x）=，當時，g′（x）0，當時，g′（x）0，∴g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當x=時，g（x）取得極大值g（）=，又g（0）=g（）=0，∴若方程，，有且只有一個實數(shù)根，則a=故選B.9．已知定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，若，，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【來源】四川省廣元市2021屆高三三模數(shù)學（理）試題【答案】A【解析】構(gòu)造函數(shù),,當時，，故，在上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，在單調(diào)遞減.,則，;，當時，即，，所以；當時，即，，所以.綜上所述，.故選：A10．【2020遼寧省撫順市一?！咳艉瘮?shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，設，則，由得得或，此時函數(shù)為增函數(shù)，由得得，此時函數(shù)為減函數(shù)，即當時，取得極小值，當時，取得極大值，當，且，函數(shù)圖象如下圖所示：要使有三個零點，則，即實數(shù)a的取值范圍是，故本題選D．11．【2020遼寧省師范大學附屬中學】已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵函數(shù)的定義域是∴，∵是函數(shù)的唯一一個極值點∴是導函數(shù)的唯一根，∴在無變號零點，即在上無變號零點，令，因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的最小值為，所以必須，故選：A．12．【2020安徽省毛坦廠中學聯(lián)考】已知，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恒成立得，恒成立，設，則.設，則恒成立，在上單調(diào)遞減，又，當時，，即；當時，，即，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故選:D13．已知函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C．【解析】由，得，令則．∵滿足，∴當時，．∴．此時函數(shù)單調(diào)遞減．∴．即.∵．∴．故選：C．14．【2020四川省教考聯(lián)盟一診】已知定義在上的函數(shù)關于軸對稱，其導函數(shù)為，當時，不等式.若對，不等式恒成立，則正整數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，令，則，又因為是在上的偶函數(shù)，所以是在上的奇函數(shù)，所以是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，可化為，即，又因為是在上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，令，則，因為，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，所以.所以正整數(shù)的最大值為2.故選：B15．【2020屆高三全國大聯(lián)考】已知定義在上的可導函數(shù)的