2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)3.1變化的快慢與變化率學(xué)案含解析北師大版選修1-1

PAGE§1變更的快慢與變更率授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第30頁一、平均變更率定義對一般的函數(shù)y＝f(x)來說，當(dāng)自變量x從x1變?yōu)閤2時，函數(shù)值從f(x1)變?yōu)閒(x2)．它的平均變更率為eq\f(fx2－fx1,x2－x1)實質(zhì)函數(shù)的平均變更率可表示為函數(shù)值的變更量(Δy＝f(x2)－f(x1))與自變量的變更量(Δx＝x2－x1)的比值作用刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變更的快慢二、瞬時變更率定義對于一般的函數(shù)y＝f(x)，在自變量x從x0變到x1的過程中，設(shè)Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，則當(dāng)Δx趨于0時，平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)趨于函數(shù)在x0點的瞬時變更率實質(zhì)平均變更率為當(dāng)自變量的變更量趨于0時的值作用刻畫函數(shù)值在x0點處變更的快慢[疑難提示]對平均變更率的正確理解(1)Δx的意義：Δx是相對于x1的一個增量，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，可以用x1＋Δx代替x2.(2)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)，式子中Δx，Δy的值都可正可負(fù)，但Δx的值不能為0，Δy的值可以為0，當(dāng)f(x)為常數(shù)函數(shù)時，Δy＝0.(3)一般地，現(xiàn)實生活中的變更現(xiàn)象和過程可以用函數(shù)來描述，所以這些實際問題的變更率的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的變更率．(4)為求點x0旁邊的平均變更率，上述表達(dá)形式常寫為eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式．[想一想]1．“瞬時變更率”刻畫了函數(shù)的什么特征？提示：它刻畫了函數(shù)在一點處變更的快慢．[練一練]2．函數(shù)y＝f(x)，自變量x由x0變更到x0＋Δx時，函數(shù)的變更量Δy為()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)解析：依據(jù)定義，Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．答案：D3．在平均變更率的定義中，自變量x在x0處的增量Δx________0.(填“>”“<”或“≠”)答案：≠授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第31頁探究一求平均變更率[典例1]已知函數(shù)f(x)＝2x2＋1.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變更率；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,2.01]上的平均變更率；(3)求當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時平均變更率的值．[解析](1)由已知得Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx2x0＋Δx,Δx)＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝2，Δx＝0.01時，eq\f(Δy,Δx)＝4×2＋2×0.01＝8.02.(3)由(1)可知eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，當(dāng)x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)時，eq\f(Δy,Δx)＝4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.1．求函數(shù)f(x)在[x1，x2]上的平均變更率的方法步驟是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；(3)由定義求出eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).2．理解平均變更率要留意以下幾點：(1)平均變更率eq\f(fx1－fx0,x1－x0)表示點(x0，f(x0))與點(x1，f(x1))連線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”；(2)為求點x0旁邊的平均變更率，上述表達(dá)式常寫為eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)的形式；(3)函數(shù)的平均變更率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變更趨勢．自變量的變更量Δx取值越小，越能精確體現(xiàn)函數(shù)的變更狀況．1．求函數(shù)y＝f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2,2＋Δx]內(nèi)的平均變更率．解析：∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝－8－2Δx.即平均變更率為－8－2Δx.2．已知函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5.(1)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時，函數(shù)增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；(2)求當(dāng)x1＝4，且Δx＝0.1時，函數(shù)增量Δy和平均變更率eq\f(Δy,Δx)；(3)若設(shè)x2＝x1＋Δx，分析(1)(2)問中的平均變更率的幾何意義．解析：(1)Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－2xeq\o\al(2,1)－3x1＋5＝4x1Δx＋2(Δx)2＋3Δx.當(dāng)x1＝4，且Δx＝1時，Δy＝4×4×1＋2＋3＝21，所以平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21,1)＝21.(2)當(dāng)x1＝4，且Δx＝0.1時，Δy＝4×4×0.1＋0.02＋0.3＝1.92，所以平均變更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(1.92,0.1)＝19.2.(3)在(1)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f5－f4,5－4)，它表示曲線上點P0(4,39)與P1(5,60)連線所在直線的斜率；在(2)中，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(f4.1－f4,4.1－4)，它表示曲線上點P0(4,39)與P2(4.1,40.92)連線所在直線的斜率．探究二求瞬時變更率[典例2]在賽車中，賽車位移與競賽時間t存在函數(shù)關(guān)系s＝10t＋5t2(s的單位為m，t的單位為s)．求：(1)t＝20，Δt＝0.1時，Δs與eq\f(Δs,Δt)的值；(2)求t＝20時的瞬時速度．[解析](1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05(m)．eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(21.05,0.1)＝210.5(m/s)．(2)eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(10×20＋Δt＋5×20＋Δt2－10×20－5×202,Δt)＝5Δt＋210.當(dāng)Δt趨于0時，5Δt＋210→210(m/s)，因此，t＝20時的瞬時速度為210m/s.1．求瞬時變更率時首先要明確求哪個點處的瞬時變更率，然后，以此點為一端點取一區(qū)間計算平均變更率，并逐步縮小區(qū)間長度，依據(jù)平均變更率變更狀況估計出瞬時變更率．2．瞬時速度是平均速度在時間變更量趨向于零時，平均變更率靠近的值．3．一個物體的運動方程為s＝1－t，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在3秒末的瞬間速度是()A．1米/秒 B．－1米/秒C．2米/秒 D．－2米/秒解析：由eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([1－3＋Δt]－1－3,Δt)＝eq\f(－Δt,Δt)＝－1，得物體在3秒末的瞬間速度是－1米/秒．答案：B4．已知s(t)＝5t2，(1)求t從3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t從3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒時的瞬時速度．解析：(1)當(dāng)3≤t≤3.1時，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝5×3.12－5×32＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)＝3.05，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(3.05,0.1)＝30.5(m/s)．(2)當(dāng)3≤t≤3.01時，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×3.012－5×32＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)＝0.3005，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(0.3005,0.01)＝30.05(m/s)．(3)在t＝3旁邊取一個小時間段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5×(3＋Δt)2－5×32＝5·Δt·(6＋Δt)，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(5Δt6＋Δt,Δt)＝30＋5Δt.當(dāng)Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→30.∴在t＝3時的瞬時速度為30m/s.探究三變更率的應(yīng)用eq\x(變更率的應(yīng)用)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(平均變更率的幾何意義),—\x(平均變更率的應(yīng)用),—\x(瞬時變更率的應(yīng)用)))5．過曲線f(x)＝x2＋1上兩點P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線，當(dāng)Δx＝0.1時，求割線的斜率．解析：Δy＝(1＋Δx)2＋1－(1＋1)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(2Δx＋Δx2,Δx)＝2＋Δx.當(dāng)Δx＝0.1時，2＋Δx＝2.1，所以直線PQ的斜率為2.1.6．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示，試指出哪一個廠治污效果較好？解析：在t0處，雖然W1(t0)＝W2(t0)，但eq\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)<eq\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)，所以，在相同時間Δt內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率?。砸覐S治污效果較好．7．已知氣球的體積V(L)與半徑r(dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.(1)寫出r關(guān)于V的函數(shù)r(V)；(2)當(dāng)空氣容量V從0增加到1L時，氣球的平均膨脹率為多少？當(dāng)空氣容量V從1L增加到2L時，氣球的平均膨脹率又是多少？(3)隨著氣球體積的增大，它的平均膨脹率變大還是變小了？解析：(1)∵V＝eq\f(4,3)πr3，∴r3＝eq\f(3V,4π)，∴r＝eq\r(3,\f(3V,4π))(V>0)．(2)由已知可得，氣球的平均膨脹率為：eq\f(rV2－rV1,V2－V1).∴由0L到1L的膨脹率為eq\f(r1－r0,1－0)＝eq\r(3,\f(3,4π))≈0.62(dm/L)．由1L到2L的膨脹率為：eq\f(r2－r1,2－1)＝eq\r(3,\f(6,4π))－eq\r(3,\f(3,4π))≈0.16(dm/L)．(3)由(2)可知，隨著氣球體積的增大，它的半徑增加得越來越慢，因此它的平均膨脹率漸漸減?。疅o限靠近(極限)思想的應(yīng)用[典例]求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1時的瞬時變更率．[解析]因為Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(1－1＋Δx,1＋\r(1＋Δx)\r(1＋Δx))＝eq\