山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)興濟(jì)中學(xué)2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)興濟(jì)中學(xué)九年級(jí)（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.a、b、c、d是成比例線段，其中，，，則線段d的長(zhǎng)為(

)A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm2.如果，那么的值為(

)A. B. C. D.3.已知點(diǎn)在雙曲線上，則下列各點(diǎn)一定在該雙曲線上的是(

)A. B. C. D.4.已知，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是(

)A. B. C. D.5.如圖，已知直線，直線m、n與a、b、c分別交于點(diǎn)A、C、E、B、D、F，若，，，則BF的值是(

)A.14

B.15

C.16

D.176.如圖，身高為米的某學(xué)生想測(cè)量一棵大樹的高度，她沿著樹影BA由B向A走去，當(dāng)走到C點(diǎn)時(shí)，她的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測(cè)得米，米，則樹的高度為(

)A.3米

B.4米

C.米

D.6米7.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE：：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則與的面積之比為(

)

A.2：5 B.3：5 C.9：25 D.4：258.如圖，，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得∽則下列選項(xiàng)不成立的是(

)A.

B.

C.

D.9.如圖，大正方形中有2個(gè)小正方形，如果它們的面積分別是、，那么：(

)A.9：8

B.4：3

C.2：1

D.、的大小關(guān)系不確定10.如圖，在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)，連接BE，以BE為對(duì)角線作正方形BGEF，邊EF與正方形ABCD的對(duì)角線BD相交于點(diǎn)H，連接AF，有下列結(jié)論：①；②∽；③；④；⑤若CE：：3，則BH：：其中正確的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.若，則______.12.如圖，為了測(cè)量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，數(shù)學(xué)應(yīng)用實(shí)踐小組做了如下的探索實(shí)踐：根據(jù)《物理學(xué)》中光的反射定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如圖的測(cè)量方案：把鏡子放在離樹米的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A，再用皮尺量得米，觀察者目高米，則樹的高度為______米．13.如圖，和位似，位似中心是原點(diǎn)O，B點(diǎn)坐標(biāo)是，和的相似比為2：1，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______.

14.已知反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍是______.15.已知：如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，要使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，則球拍擊球的高度h應(yīng)為______

16.如圖，在中，，棱長(zhǎng)為1的立方體的表面展開圖有兩條邊分別在AC，BC上，有兩個(gè)頂點(diǎn)在斜邊AB上，則的面積為__________.

三、解答題：本題共7小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.本小題6分

已知a：b：：5：7，且，求的值.18.本小題6分

如圖，在中，點(diǎn)P在AB邊上，若，，求AC的長(zhǎng)．19.本小題6分

如圖，O為原點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

以O(shè)為位似中心在y軸左側(cè)將放大兩倍，并畫出圖形；

已知為內(nèi)部一點(diǎn)，寫出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

20.本小題7分

已知：如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，

求證：∽；

如果，，求DC的長(zhǎng)．21.本小題7分

如圖，是一塊銳角三角形余料，邊，高，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上.

求證：∽；

若這個(gè)矩形的邊，則PN的長(zhǎng)度.22.本小題8分

在中，，BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在射線BC上.

如圖1，點(diǎn)D在BC邊上，，AD與BE相交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易得的值為______.

如圖2，在中，，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，AD與AC邊上的中線BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，，求的值.23.本小題12分

在中，，，點(diǎn)D在斜邊AB上，且滿足，將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至DE，記旋轉(zhuǎn)角為，連接AE，BE，以AE為斜邊在其一側(cè)作直角三角形AEF，且，，連接

如圖1，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系；

當(dāng)時(shí)，

①如圖2，中線段BE與線段CF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？諸說(shuō)明理由；

②如圖3，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，連接CE，判斷的形狀，并證明．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意得a：：d，即3：：d，

所以

故選：

利用比例線段的定理得到3：：d，然后利用比例的性質(zhì)求d即可．

本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比即它們的長(zhǎng)度比與另兩條線段的比相等，如

a：：即，我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．2.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查比例的基本性質(zhì)，根據(jù)比例關(guān)系設(shè)出未知數(shù)是解題關(guān)鍵．可設(shè)，，再代入計(jì)算即可．

【解答】

解：設(shè)，則，

3.【答案】D

【解析】解：點(diǎn)在雙曲線上，

，

A、，不符合題意；

B、，不符合題意；

C、，不符合題意；

D、，符合題意；

故選：

只需把所給點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果是的，就在此函數(shù)圖象上．

本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．4.【答案】C

【解析】解：反比例函數(shù)中，

函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小．

，

點(diǎn)，位于第三象限，

，

，

點(diǎn)位于第一象限，

故選：

先根據(jù)反比例函數(shù)中判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點(diǎn)橫坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論．

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．5.【答案】B

【解析】解：，

，

，，，

，

解得：，

，

故選：

根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，求出DF，進(jìn)而求出

本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例．標(biāo)注字母，判斷出和相似，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．

【解答】

解：如圖，由題意得，∽，

，

即，

解得，

即樹的高度為6米．

故選：7.【答案】C

【解析】解：四邊形ABCD為平行四邊形，

，

∽

：：2，

，

故選：

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出，進(jìn)而可得出∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合DE：：2，即可得出與的面積之比，此題得解．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．8.【答案】D

【解析】解：，

，

，

當(dāng)添加條件時(shí)，則∽，故選項(xiàng)A不符合題意；

當(dāng)添加條件時(shí)，則∽，故選項(xiàng)B不符合題意；

當(dāng)添加條件時(shí)，則∽，故選項(xiàng)C不符合題意；

當(dāng)添加條件時(shí)，則和不一定相似，故選項(xiàng)D符合題意；

故選：

根據(jù)，可以得到，然后即可判斷添加各個(gè)選項(xiàng)中的條件是否可以使得∽，本題得以解決．

本題考查相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用三角形相似的判定方法解答．9.【答案】A

【解析】解：圖形中相關(guān)的頂點(diǎn)記作如圖所示，

設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a，

是正方形ABCD的對(duì)角線，

，

四邊形EFGH是正方形，

，，

，

，

同理：，

，

設(shè)正方形BMNP的邊長(zhǎng)為b，

四邊形BMNP是正方形，

，，

，

，

根據(jù)勾股定理得，，

同理：，

，

，

，

，

故選：

設(shè)出正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a，先判斷出，得出，設(shè)正方形BMNP的邊長(zhǎng)為b，同樣的方法得出，得出a，b的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，找出a，b的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．10.【答案】C

【解析】解：①正方形ABCD和正方形BGEF，

和都是等腰直角三角形，

，

；

①正確，符合題意；

②和都是等腰直角三角形，

，

又，

∽，

②正確，符合題意；

③∽，

，

；

③正確，符合題意；

④，

，

∽，

，

，

，

，

④正確，符合題意；

⑤：：3，

設(shè)，，

，

在中，

由勾股定理知：，

，

，

，

，

：：15，

⑤錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：

①由，可知；

②根據(jù)和都是等腰直角三角形，可得，從而得到∽；

③由②相似知：，可得；

④由，可證∽，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可；

⑤若CE：：3，設(shè)，，則，由勾股定理知，借助④的證明即可解答．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：，

，

故，

則

故答案為：

直接利用已知將原式變形進(jìn)而得出x，y之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．12.【答案】6

【解析】解：，，，

∽，

，

又，，，

，

故答案為

因?yàn)槿肷涔饩€和反射光線與鏡面的夾角相等且人和樹均垂直于地面，所以構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，利用相似比即可求出．

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段，要和物理知識(shí)相聯(lián)系，知道入射光線和反射光線與鏡面的夾角相等．13.【答案】

【解析】解：和位似，位似中心是原點(diǎn)O，和的相似比為2：1，B點(diǎn)坐標(biāo)是，

點(diǎn)D的坐標(biāo)為：即

故答案為：

直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)．

此題主要考查了位似中的坐標(biāo)變化，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù)，，反比例函數(shù)圖象在第一、三象限；，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

【解答】

解：反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限內(nèi)，

，

故答案為15.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得：

易證∽，

：：15

答案：球拍擊球的高度h應(yīng)為

利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程求出樹球拍擊球的高度h即可．

本題只要是把實(shí)際問(wèn)題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過(guò)解方程求出樹球拍擊球的高度h，體現(xiàn)了方程的思想．16.【答案】16

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，證明三角形相似和三角形全等是解題的關(guān)鍵．

由題意得：、，是直角三角形，四邊形DEGC是矩形，，，，，，證明∽，得出，求出，證明≌，得出，再由三角形面積公式即可得出答案．

【解答】

解：設(shè)立方體展開圖的各頂點(diǎn)如圖所示，由題意得、，是直角三角形，四邊形DEGC是矩形，，，，，，

，，

∽，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

故答案為：17.【答案】解：：b：：5：7，

設(shè)，，，

，

，

【解析】根據(jù)比例設(shè)，，，然后代入等式求出k的值，從而得到a、b、c的值，然后相加計(jì)算即可得解．

本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)k法”求解更簡(jiǎn)便．18.【答案】解：，，

∽，

，

即，

【解析】由及，可證出∽，利用相似三角形的性質(zhì)，可求出AC的長(zhǎng)．

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明∽19.【答案】解：如圖，即為所求．

由圖可得，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】根據(jù)位似的性質(zhì)作圖即可．

觀察點(diǎn)的變化規(guī)律可得答案．

本題考查作圖-位似變換，熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20.【答案】證明：是等邊三角形，

，

，，

∽；

由證得∽，

，

設(shè)，則，

，

，，

或

【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)有關(guān)知識(shí).

是等邊三角形，得到，，推出，得到∽；

由∽，得到，然后代入數(shù)值求得結(jié)果.21.【答案】證明：四邊形PQMN是矩形，

，即，

∽；

解：，

設(shè)，，

設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)E，

，AD是高，

，即AE是的高，

在矩形PQMN中，，

四邊形PNDE是矩形，

，

∽，

，即，

，

，

，

，

【解析】根據(jù)矩形的對(duì)邊平行得到，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．

設(shè)，，設(shè)AD與PQ的交點(diǎn)為點(diǎn)E，可得AE是的高，證明四邊形PNDE是矩形，得到，從而，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，代入即可求解．

本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比．22.【答案】

【解析】解：如圖1中，，

，

，，

≌，

設(shè)，則，，

，

∽，

故答案為：；

如圖：過(guò)點(diǎn)A作，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

設(shè)，則，

是AC中點(diǎn)，

，

在和中，

，

≌，

，

，

∽，

先證≌，則有設(shè)，則，，由可得∽，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；

如圖：過(guò)點(diǎn)A作，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)，由得，易證≌，則有，易證∽，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合中點(diǎn)、作平行線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：；

①結(jié)論仍然成立，理由如下：

，

，

又，

，

，

；

②是等邊三角形，

理