江蘇省蘇州市吳江區(qū)運(yùn)河實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)2024屆九年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含答案)

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市吳江實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級第一學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1．將一元二次方程3x2﹣1＝5x化為一般形式后，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．3，5，﹣1 B．3，5，1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1答案：C．2．若關(guān)于x的方程x2﹣x+a＝0有實(shí)數(shù)根，則a的值可以是（）A．2 B．5 C．0.5 D．0.25答案：D．3．用配方法將2x2﹣4x﹣3＝0變形，結(jié)果是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B． C． D．（x﹣1）2﹣5＝0答案：C．4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情況是（）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根答案：A．5．下列說法中，正確的是（）A．相等的圓心角所對的弧相等 B．相等的弧所對的圓周角相等 C．三點(diǎn)確定一個圓 D．三角形的內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)的距離都相等答案：B．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（）A．點(diǎn)（0，3） B．點(diǎn)（2，3） C．點(diǎn)（5，1） D．點(diǎn)（6，1）答案：C．7．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，已知∠BOD＝100°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．100° D．130°答案：D．8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，F(xiàn)是線段AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)A的⊙F交AB于點(diǎn)D，E是線段BC上一點(diǎn)，且ED＝EB，則EF的最小值為（）A．3 B．2 C． D．2答案：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9．若關(guān)于x的方程（m﹣3）x|m|+2+2x﹣7＝0是一元二次方程，則m＝0．10．若⊙O的直徑是4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離．11．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+3b＝0的一個根為3，則2a+b＝﹣3．12．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程x2﹣12x+35＝0的根，則該三角形的周長為12．13．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若∠BAC＝28°，則∠D＝62°．14．《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典，其中對勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺．如圖，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸（注：1尺＝10寸），則這塊圓柱形木材的直徑是26寸．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，2），動點(diǎn)B、C從原點(diǎn)O同時出發(fā)，分別以每秒1個單位和每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運(yùn)動，以點(diǎn)A為圓心，OB的長為半徑畫圓；以BC為一邊，在x軸上方作等邊△BCD．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)⊙A與△BCD的邊BD所在直線相切時，t的值為4+6．16．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩個動點(diǎn)（點(diǎn)C、D不與A、B重合），在運(yùn)動過程中弦CD始終保持不變，F(xiàn)是弦CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E．若CD＝5，AB＝6，當(dāng)EF取得最大值時，CE的長度為．三、解答題（本大題共11小題，共82分）17．用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（x﹣1）2﹣5＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）；（3）2y2﹣5y+2＝0；（4）2m2﹣7m﹣3＝0．解：（1）（x﹣1）2﹣5＝0，（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x1＝1+，x2＝1﹣．（2）x（x+4）＝﹣3（x+4），x（x+4）+3（x+4）＝0，（x+4）（x+3）＝0，∴x+4＝0或x+3＝0，∴x1＝﹣4，x2＝﹣3；（3）2y2﹣5y+2＝0，（2y﹣1）（y﹣2）＝0，∴2y﹣1＝0或y﹣2＝0，∴y1＝，y2＝2；（4）2m2﹣7m﹣3＝0，這里a＝2，b＝﹣7，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣3）＝49+24＝73＞0，∴m＝＝，∴m1＝，m2＝．18．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．（1）若以A為圓心，6cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關(guān)系是什么？（2）若作⊙A，使B、C、D三點(diǎn)至少有一個點(diǎn)在⊙A內(nèi)，至少有一點(diǎn)在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．解：（1）如圖，連接AC，∵AB＝6cm，AD＝8cm，∴AC＝10cm，∵⊙A的半徑為6cm長，∴點(diǎn)B在⊙A上，點(diǎn)C在⊙A外，點(diǎn)D在⊙A外；（2）∵以點(diǎn)A為圓心作⊙A，使B，C，D三點(diǎn)中至少有一個點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，∴⊙A的半徑r的取值范圍是6cm＜r＜10cm．故答案為：6cm＜r＜10cm．19．已知關(guān)于x的方程x2+2x+3m﹣4＝0的一個根是2，求另一個根和m的值．解：把x＝2代入方程得4+4+3m﹣4＝0，解得m＝﹣，方程化為x2+2x﹣8＝0，設(shè)方程的另一根為x2，則2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4，即方程的另一個根為﹣4，m的值為﹣．20．已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．解：原式＝x2﹣2x+1+x2+x＝2x2﹣x+1，∵3x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣x＝1，∴原式＝2（x2﹣x）+1＝2×1+1＝3．21．已知：關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0，其中k是整數(shù)．（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，若x1，x2是斜邊長為的直角三角形的兩直角邊，求k的值；（1）證明：根據(jù)題意得k≠0，∵Δ＝（4k+1）2﹣4k（3k+3）＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2，而k為整數(shù)，∴2k﹣1≠0，∴（2k﹣1）2＞0，即Δ＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣（4k+1）x+3k+3＝0的兩個實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，∵x1+x2＝，x1?x2＝，∵k直角三角形的兩直角邊，∴+＝，∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝，∴（）2﹣2×＝，∴k＝2或k＝﹣（不合題意舍去），∴k＝2．22．“雜交水稻之父”﹣﹣袁隆平先生所率領(lǐng)的科研團(tuán)隊(duì)在增產(chǎn)攻堅(jiān)第一階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量700公斤的目標(biāo)，第三階段實(shí)現(xiàn)水稻畝產(chǎn)量1008公斤的目標(biāo)．（1）如果第二階段、第三階段畝產(chǎn)量的增長率相同，求畝產(chǎn)量的平均增長率；（2）按照（1）中畝產(chǎn)量增長率，科研團(tuán)隊(duì)期望第四階段水稻畝產(chǎn)量達(dá)到1200公斤，請通過計(jì)算說明他們的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)．解：（1）設(shè)畝產(chǎn)量的平均增長率為x，依題意得：700（1+x）2＝1008，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：畝產(chǎn)量的平均增長率為20%．（2）1008×（1+20%）＝1209.6（公斤）．∵1209.6＞1200，∴他們的目標(biāo)能實(shí)現(xiàn)．23．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，且＝，連接CD，交AB于點(diǎn)E，連接BC，BD．（1）若∠AOD＝130°，求∠BEC的度數(shù)；（2）∠ABD的平分線交CD于點(diǎn)F，求證：BC＝CF．解：（1）連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵＝，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠AOD＝130°，∴∠ACD＝65°，∵∠BEC是△ACE的外角，∴∠BEC＝∠A+∠ACD＝110°．（2）證明：∵BF平分∠ABD，∴∠EBF＝∠DBF，∵，∴∠ABC＝∠CDB，又∵∠CFB＝∠FBD+∠FDB，∠CBF＝∠ABC+∠EBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝BC．24．【觀察思考】：某種在同一平面進(jìn)行傳動的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動，在Q滑動的過程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動，并且PQ帶動連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動．在擺動過程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，過點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測得OH＝8分米，PQ＝6分米，OP＝4分米．?【解決問題】：（1）點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是12分米；（2）如圖3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對嗎？為什么？（3）：①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到OH上時，點(diǎn)P到l的距離最小．”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時，點(diǎn)P到l的距離是6分米；②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動時，所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃危筮@個扇形面積的最大值．解：（1）當(dāng)O、P、Q在同一條直線上時，點(diǎn)Q與點(diǎn)O的距離最大，此時，OQ＝OP+PQ＝4+6＝10（分米），點(diǎn)Q滑動到最左端時，在Rt△OHQ中，由勾股定理得HQ＝＝＝6（分米），同理可得：點(diǎn)Q滑動到最右端時，HQ＝6分米，∴點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是2HQ＝2×6＝12（分米）；故答案為：12；（2）不對，理由如下：當(dāng)點(diǎn)Q滑動到點(diǎn)H的位置時，OP＝4分米，PQ＝6分米，OQ＝8分米，∵OP2+PQ2＝42+62＝52，OQ2＝82＝64，∴OQ2≠OP2+PQ2，即△OPQ不是直角三角形，則OP不與PQ垂直，∴PQ與⊙O不相切；（3）①∵PQ的長度固定，為6分米，∴當(dāng)PQ⊥l時，點(diǎn)P到到l的距離最大，為6分米；故答案為：6；②由①知，在⊙O上存在點(diǎn)P的l的最大距離為6分米，此時，OP將不再向下轉(zhuǎn)動，設(shè)點(diǎn)P在右側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P，在左側(cè)的最遠(yuǎn)位置為P′，如圖，連接P′P交OH于點(diǎn)D，∴OP在繞點(diǎn)O左右擺動過程中所掃過的最大扇形就是POP′，∵P′Q′⊥l，PQ⊥l，P′Q′＝PQ＝6分米，∴四邊形PQQ′P′為矩形，∴QQ′∥PP′，∵OH⊥QQ′，∴OD⊥PP′，∴PD＝P′D，∵OD＝OH﹣DH＝8﹣6＝2（分米），在Rt△POD中，cos∠DOP＝＝＝，∴∠DOP＝60°，∴∠POP′＝120°，∴S扇形POP′＝＝（平方分米），即扇形面積的最大值平方分米．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，交AC邊于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作⊙O的切線，交AC于點(diǎn)F，交AB的延長線于點(diǎn)G，連接DE．（1）求證：BD＝CD；（2）若∠G＝40°，求∠AED的度數(shù)．（3）若BG＝6，CF＝2，求⊙O的半徑．（1）證明：連接AD，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：連接OD，∵GF是切線，OD是半徑，∴OD⊥GF，∴∠ODG＝90°，∵∠G＝40°，∴∠GOD＝50°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝65°，∵點(diǎn)A、B、D、E都在⊙O上，∴∠ABD+∠AED＝180°，∴∠AED＝115°；（3）解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴△GOD∽△GAF，∴＝，∴設(shè)⊙O的半徑是r，則AB＝AC＝2r，∴AF＝2r﹣2，∴＝，∴r＝3，即⊙O的半徑是3．26．閱讀材料：求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x＝a的形式；求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為元一次方程來解；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解；求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗(yàn)，遇到實(shí)際問題，還要考慮是否符合題意．以上解決新問題時，都用到了一個基本數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化，即把未學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識，從而找到解決問題的辦法，也是同學(xué)們要掌握的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）問題：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝；（2）拓展：用“轉(zhuǎn)化”思想求方程＝x的解；（3）應(yīng)用：如圖，已知矩形草坪ABCD的長AD＝21m，寬AB＝8m，點(diǎn)P在AD上（AP＞PD），小華把一根長為27m的繩子一段固定在點(diǎn)B，把長繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P，再拉直，長繩的另一端恰好落在點(diǎn)C，求AP的長．解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左邊因式分解，得：2x（3x2+7x﹣6）＝0，∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，∴x1＝0，x2＝﹣3，；故答案為：﹣3；；（2）方程的兩邊平方，得：2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x＝﹣1時，，因此﹣1不是原方程的解，∴方程的解是：x＝3；（3）設(shè)AP＝xm，則PD＝（21﹣x）m，∵BP+CP＝27，，，∴，∴，兩邊平方，得：．整理，得：，兩邊平方并整理，得：x2﹣21x+90＝0，解得x1＝15，x2＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝15，x2＝6都是方程的解，∵AP＞PD，∴x＝6不合題意，舍去．答：AP的長為15m．27．定義：在等腰三角形中，若有一條邊是另一條邊的2倍，則稱這個三角形為倍腰三角形．理解定義：若有一個倍腰三角形有一條邊為2，求這個倍腰三角形的周長；性質(zhì)探究：判斷下列關(guān)于倍腰三角形的說法是否正確，正確的打“√”；錯誤的打“×”；（1）所有的倍腰三角形都是相似三角形√（2）若倍腰三角形的底角為α，則tanα＝√（3）如圖1，依次連接倍腰三角形ABC各邊的中點(diǎn)，則圖1中共有4個倍腰三角形×性質(zhì)應(yīng)用：如圖2，倍腰三角形△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB＝AC，若⊙O的半徑為1，求倍腰三角形△ABC的面積；拓展應(yīng)用：如圖3，⊙O是倍腰三角形△ABC的外接圓，直徑BH⊥AF于點(diǎn)D，AF與BC相交于點(diǎn)E，AC與BH相交于點(diǎn)G，△ABE是倍腰三角形，其中AB＝AE，BE＝2．請直接寫出CG的長．解：理解定義，當(dāng)2是倍腰三角形的腰時，它的底為1，周長為5；當(dāng)2是倍腰三角形的底時，它的腰為4，周長為10；