運(yùn)用多元表征培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)探索

摘要：數(shù)感是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。自《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實施以來，數(shù)感的培養(yǎng)得到了中小學(xué)數(shù)學(xué)教育界格外的重視。小學(xué)數(shù)學(xué)教師雖然都知道培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要性，但如何通過優(yōu)化數(shù)概念教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感，仍然是個難以突破的實踐難題。以人教版數(shù)學(xué)二年級下冊“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)為例，通過整合教材中的例2和例3展開課例研究，教師可以借助“情境引數(shù)，建立數(shù)感”“活動感數(shù)，發(fā)展數(shù)感”“生活悟數(shù)，提升數(shù)感”這三個教學(xué)步驟，運(yùn)用數(shù)學(xué)多元表征的學(xué)習(xí)方式，整體優(yōu)化數(shù)概念課堂教學(xué)，從而構(gòu)建起數(shù)概念教學(xué)“三部曲”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感。關(guān)鍵詞：多元表征；培養(yǎng)數(shù)感；情境引數(shù)；活動感數(shù)；生活悟數(shù)數(shù)學(xué)概念是整個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，其中數(shù)概念的教學(xué)核心是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。然而，在實施小學(xué)低年級的數(shù)概念教學(xué)時筆者發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生對數(shù)概念的學(xué)習(xí)內(nèi)容并不是十分感興趣，認(rèn)為這些有關(guān)數(shù)的認(rèn)識的學(xué)習(xí)自己早已知道。事實上，這種“知道性”學(xué)習(xí)，往往是只知其然而不知其所以然，學(xué)完以后依然說不出數(shù)的意義，對數(shù)的感知能力依然薄弱，更不會在生活中感知數(shù)、運(yùn)用數(shù)、表達(dá)數(shù)，無法形成良好的數(shù)感。此外，許多教師在數(shù)概念教學(xué)中也存在一定的問題，比如重趣味輕實效、重內(nèi)涵輕外延、重抽象輕表象、重結(jié)論輕過程、重實物表征輕語言表達(dá)、重概念建構(gòu)輕知識應(yīng)用等。一些教師甚至對數(shù)感的培養(yǎng)存在認(rèn)知上的盲區(qū)：只知道數(shù)感在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中很重要，但如何在教學(xué)中落實對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)并不是十分清楚，也沒有進(jìn)行過相關(guān)的研究。那么，如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念具有一定的抽象性，數(shù)概念對低年級小學(xué)生來說尤其抽象難懂，而小學(xué)低年級又是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)概念較為集中的階段，在低年級的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，是非常值得探究的問題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）明確指出，數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟［1］7。由此可以看出，對于抽象的數(shù)概念教學(xué)，《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》更加強(qiáng)調(diào)了學(xué)習(xí)過程的直觀性，便于學(xué)生在直觀的學(xué)習(xí)過程中有所感悟。為了達(dá)到這個教學(xué)效果，教師在教學(xué)中可以采用多元表征的教學(xué)方式，把數(shù)概念和直觀模型聯(lián)系起來。表征是認(rèn)知心理學(xué)的重要概念，我國心理學(xué)家荊其誠先生認(rèn)為表征是信息在心理活動中的呈現(xiàn)和記載方式［2］12，所以表征也稱心理表征（mentalrepresentation）。隨著信息技術(shù)越來越廣泛地應(yīng)用于心理、教育等領(lǐng)域，表征的含義得到了擴(kuò)展與豐富，此階段的表征是指：當(dāng)認(rèn)知對象缺席時，可以用來代替認(rèn)知對象的任何符號或符號集。而所謂的認(rèn)知對象，既可以是外在客觀世界的一個事物或事物的某一特性，也可以是人的內(nèi)在的想象與認(rèn)知。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既有內(nèi)隱的心理層面的知識整合與建構(gòu)，也有外顯的能夠呈現(xiàn)認(rèn)知過程和認(rèn)知結(jié)果的多樣化的數(shù)學(xué)表達(dá)，這就是數(shù)學(xué)多元表征。目前研究的數(shù)學(xué)多元表征本質(zhì)上是使用不同性質(zhì)的外在表征形式替代數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象，使思維過程可視化、顯性化，使數(shù)學(xué)理解走向多角度多思維，促進(jìn)內(nèi)在表征（心理表征）的豐富、生動與深刻［2］13。美國數(shù)學(xué)教育心理學(xué)家萊什（Lesh）提出了概念的五種外在表征系統(tǒng)，即實物情境表征、教具模型表征、圖形或圖表表征、言語表征、書寫符號表征［3］。筆者將該系統(tǒng)運(yùn)用于數(shù)概念教學(xué)，構(gòu)建了數(shù)概念教學(xué)的多元表征系統(tǒng)（如圖1）。下面筆者以人教版數(shù)學(xué)二年級下冊“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)為例，通過整合教材中的例2和例3，探討在數(shù)概念教學(xué)中運(yùn)用多元表征培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的教學(xué)策略。圖1根據(jù)萊什的多元表征系統(tǒng)構(gòu)建數(shù)概念的多元表征系統(tǒng)一、教學(xué)準(zhǔn)備為了準(zhǔn)確把握二年級學(xué)生學(xué)習(xí)“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的現(xiàn)狀及所存在的問題，筆者在課前準(zhǔn)備階段對部分剛剛學(xué)完本課的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，希望借此診斷教學(xué)中可能存在的問題。（一）學(xué)情調(diào)查及結(jié)果分析調(diào)查結(jié)果顯示：二年級學(xué)生的思維形式已經(jīng)開始從形象思維向抽象思維過渡，他們對于1000以內(nèi)數(shù)的組成和讀、寫是沒有多大問題的，但是讓他們說說1000以內(nèi)數(shù)的意義以及他們對1000這個數(shù)的大小的感知，學(xué)生普遍存在感知困難。對于這個結(jié)果，筆者不免有些困惑：首先，學(xué)生學(xué)習(xí)1000以內(nèi)數(shù)的組成和讀、寫都不難，為什么唯獨對1000這個數(shù)的感知普遍薄弱呢？本課教學(xué)的難點究竟在哪里？學(xué)生的學(xué)習(xí)難點又在哪里呢？其次，在常規(guī)教學(xué)中，教師都會給學(xué)生提供教材上的點子圖、小棒、計數(shù)器這些學(xué)習(xí)素材，為什么學(xué)生還是不能合理估數(shù)呢？常規(guī)教學(xué)中，教師已經(jīng)給學(xué)生安排了擺一擺小棒、撥一撥計數(shù)器等動手操作活動，為什么學(xué)生還是說不出數(shù)的意義呢？（二）問題成因分析仔細(xì)回顧教師們的整個教學(xué)過程，筆者發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致出現(xiàn)以上問題的原因，可能來自兩個方面。一方面，在本課教學(xué)中，有些教師將教材中的3個例題進(jìn)行了整合教學(xué)，導(dǎo)致教學(xué)內(nèi)容過多，學(xué)生感知數(shù)的時間過少，從而不利于學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)和發(fā)展。雖然人教版教材例2、例3中呈現(xiàn)了點子圖、小棒、計數(shù)器、數(shù)軸等多元學(xué)習(xí)素材，但教師并沒有對這些學(xué)習(xí)素材進(jìn)行關(guān)聯(lián)和優(yōu)化，學(xué)生盲目地跟隨教師的指令進(jìn)行操作，卻沒有將直觀操作與以抽象思維為特點的數(shù)概念關(guān)聯(lián)起來，即外在表征與內(nèi)在表征沒有統(tǒng)一起來，從而導(dǎo)致學(xué)生沒有真正理解數(shù)概念的本質(zhì)，不能有效感知數(shù)的意義。也有一些教師過分關(guān)注“數(shù)的認(rèn)識”的結(jié)果，認(rèn)為學(xué)生知道數(shù)的組成和讀、寫就行了，因而沒有給學(xué)生足夠的時間去經(jīng)歷操作、體驗，感知數(shù)的大小的過程，導(dǎo)致學(xué)生對“位值”的體驗不夠，從而無法形成對數(shù)位的深刻感悟。另一方面，有些教師沒有通過創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)問題情境，更沒有搭建適合的學(xué)習(xí)支架把例2和例3有機(jī)地整合起來，導(dǎo)致學(xué)生沒有經(jīng)歷整體感知知識間的聯(lián)系的過程，因此對大數(shù)1000的感知存在明顯不足。二、教學(xué)實施過程為了避免出現(xiàn)以上問題，筆者經(jīng)過反復(fù)研究，決定綜合運(yùn)用多元外在表征促進(jìn)學(xué)生內(nèi)在表征的豐富、生動與深刻，并為此構(gòu)建了數(shù)概念教學(xué)“三部曲”（如圖2），通過“一引”“二感”“三悟”促進(jìn)學(xué)生對數(shù)概念的理解，發(fā)展學(xué)生感知數(shù)、估數(shù)的能力。其中的“情境引數(shù)”指的是創(chuàng)設(shè)生活情境，由實物引出數(shù)；“活動感數(shù)”指的是讓學(xué)生在數(shù)數(shù)活動中感知數(shù)的本質(zhì)；“生活悟數(shù)”則是讓學(xué)生結(jié)合現(xiàn)實生活情境悟數(shù)，檢驗學(xué)習(xí)效果。下面筆者以“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”為例，探討數(shù)概念教學(xué)“三部曲”的實踐。圖2數(shù)概念教學(xué)“三部曲”（一）情境引數(shù)，建立數(shù)感《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》在第一學(xué)段教學(xué)提示中指出：數(shù)的認(rèn)識教學(xué)應(yīng)提供學(xué)生熟悉的情境，使學(xué)生感受具體情境中的數(shù)量［1］20。小學(xué)生的思維是直接建立在表象上的，學(xué)習(xí)的知識越接近學(xué)生熟悉的生活情境，學(xué)生越容易理解。受年齡的限制，低年級小學(xué)生的生活經(jīng)驗還不夠豐富，因此在理解一些復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題時會存在較大的困難，而實物和情境是他們認(rèn)識數(shù)的一種直觀的表征方式。實物情境表征指的是借助實物解釋學(xué)習(xí)內(nèi)容或問題情境的一種表征方式。教師可以在導(dǎo)入環(huán)節(jié)借助實物情境表征呈現(xiàn)學(xué)生所熟悉的實物，由實物引出數(shù)，幫助學(xué)生初步建立數(shù)感。例如，在“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”的教學(xué)導(dǎo)入環(huán)節(jié)，筆者創(chuàng)設(shè)情境，用學(xué)生熟悉的糖果實物引出例2中的百位數(shù)235，開啟了這節(jié)新授課。師：同學(xué)們，6月有一個屬于你們的節(jié)日，知不知道？（齊答“知道”）沒錯，“六一”兒童節(jié)。兒童節(jié)就要到了，老師給同學(xué)們準(zhǔn)備了一些小禮物，請看?。ń處煆拇永镒コ鲆话褜嵨锾枪┠隳芄酪还浪鼈兇蠹s有多少顆嗎？不好估？那老師把糖果平鋪開來。（教師用課件出示糖果圖，如圖3。）現(xiàn)在請你估一估這里大約有多少顆糖果吧。還不好估？那老師再給出一個標(biāo)準(zhǔn)量“100”（圈出一部分糖果），請大家再估一估。圖3糖果估算實物情境圖糖果是多數(shù)小學(xué)生喜歡的食物。這樣的實物情境表征，不僅調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)來源于生活，可以在拋開現(xiàn)實情境中的實物的物理屬性之后抽象出數(shù)，感受到大數(shù)的引入也是源于“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的需要。這樣的實物情境表征在其他數(shù)概念教學(xué)中同樣適用，如“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”可由蛋糕、月餅的切分引出分?jǐn)?shù)、“認(rèn)識百分?jǐn)?shù)”可由不同甜度的糖水引出百分?jǐn)?shù)。諸如此類的實物情境表征，旨在給學(xué)生提供充分的可感知的現(xiàn)實生活情境，使學(xué)生可以將數(shù)概念與它們所表示的實際含義建立起聯(lián)系，從而逐漸發(fā)展學(xué)生的數(shù)感和估算能力。（二）活動感數(shù)，發(fā)展數(shù)感著名數(shù)學(xué)家波利亞說：學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。低年級學(xué)生認(rèn)識數(shù)的學(xué)習(xí)過程少不了數(shù)數(shù)。因此，執(zhí)教“1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”一課，可以設(shè)計多層次、多角度、多維度的數(shù)數(shù)活動，讓學(xué)生去認(rèn)識數(shù)的組成，學(xué)會讀、寫數(shù)，從而逐漸加深對“1000”這個數(shù)的認(rèn)識，發(fā)展對大數(shù)的數(shù)感。1.運(yùn)用圖形表征引出數(shù)數(shù)過程圖形表征是借助圖形的幾何直觀或者建立表象對概念進(jìn)行表征的一種表征方式。比如針對教材中的例2，筆者通過創(chuàng)設(shè)情境，用“235顆糖果”抽象出“235個點子”的點子圖（如圖4），經(jīng)歷由“散亂的實物”到“有結(jié)構(gòu)的點子”的數(shù)學(xué)抽象過程，從實物情境表征過渡到圖形表征，由具體到半抽象，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)化、數(shù)學(xué)表達(dá)圖形化的過程；接著讓學(xué)生通過操作活動，學(xué)會用計數(shù)單位“一”“十”“百”去圈畫點子圖（數(shù)數(shù)），發(fā)展“進(jìn)率”概念，使學(xué)生對數(shù)的組成產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的直觀認(rèn)識。圖4將235顆糖果抽象為有結(jié)構(gòu)的235個點子在數(shù)數(shù)活動中，學(xué)生用言語表征經(jīng)歷用計數(shù)單位“一”“十”“百”數(shù)數(shù)的過程，體驗引入較大的計數(shù)單位的必要性，感受幾個百、幾個十、幾個一用加法組合起來表達(dá)一個三位數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式。如果把本課教學(xué)中的例2和例3整合在一起進(jìn)行教學(xué)，可以整體優(yōu)化課堂教學(xué)。圖形表征“點子圖”具有直觀、可視的作用，是認(rèn)識自然數(shù)的有效工具；數(shù)軸這一圖形表征則是“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，是認(rèn)識自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的直觀工具，借助數(shù)軸認(rèn)識數(shù)，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)字系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，這對學(xué)生數(shù)概念的最終形成有很大幫助，有助于全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。因此，在本課教學(xué)中，教師可以繼續(xù)呈現(xiàn)更多的點子（如1000個），利用彩點點子圖與數(shù)軸結(jié)合推進(jìn)圖形表征教學(xué)，讓學(xué)生仔細(xì)、認(rèn)真地觀察彩點點子圖并數(shù)數(shù)，在觀察和數(shù)數(shù)的活動中感悟1000這個數(shù)究竟有多大。師：剛才我們一起研究了235這個數(shù)，同學(xué)們對百位數(shù)有了自己的認(rèn)識。敢不敢挑戰(zhàn)更難的任務(wù)？（齊答“敢”）其實老師準(zhǔn)備的糖果不止235顆。這一次，老師用彩點代替了糖果，有這么多（課件呈現(xiàn)彩點點子圖，如圖5上）。你能用最快的方法數(shù)出這么多的彩點究竟有多少個嗎？這一次，老師還請來了數(shù)軸幫助大家（呈現(xiàn)數(shù)軸圖，如圖5下）。這個彩點點子圖與數(shù)軸圖同樣出現(xiàn)在了你們的學(xué)習(xí)單上，請拿出你們的學(xué)習(xí)單數(shù)一數(shù)吧。本環(huán)節(jié)筆者再次讓學(xué)生經(jīng)歷了由圖形表征向語言表征轉(zhuǎn)換的過程，從圖形中逐步抽象出1000這個數(shù)和計數(shù)單位“千”“百”“十”，使學(xué)生認(rèn)識到了用數(shù)軸表示數(shù)的新方法及其便捷性，體會到了數(shù)序的概念。學(xué)生從不同角度去認(rèn)識1000這個數(shù)，有了自己的發(fā)現(xiàn)，如1000里有100個10、100和900合起來是1000等，并在觀察和數(shù)數(shù)的過程中進(jìn)一步發(fā)展了對1000這個大數(shù)的數(shù)感。之后教師聯(lián)系例2，讓學(xué)生在數(shù)軸上找一找235這個數(shù)，學(xué)生在這次找數(shù)活動中對數(shù)軸有了更豐富的認(rèn)識，逐漸熟悉了數(shù)軸中的數(shù)序。由此可見，圖形表征在數(shù)概念教學(xué)中發(fā)揮了直觀化的作用，方便學(xué)生通過觀察圖形建立數(shù)的表象，理解知識點之間的聯(lián)系。2.運(yùn)用教具模型表征理解數(shù)的本質(zhì)教具模型表征指的是顯示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的內(nèi)在關(guān)系的具體物。學(xué)生在認(rèn)數(shù)時離不開直觀模型，這與小學(xué)生形象思維的特點是分不開的?！靶巍弊鳛閷W(xué)習(xí)內(nèi)容的載體，能將抽象的數(shù)形象化，幫助學(xué)生較好地理解數(shù)的意義、培養(yǎng)數(shù)感、掌握讀寫數(shù)的方法，使學(xué)生可以通過操作具體物的學(xué)習(xí)材料內(nèi)化概念，進(jìn)而理解數(shù)的本質(zhì)。例如，在理解235這個數(shù)的組成時，筆者對各版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行了分析，為學(xué)生精心準(zhǔn)備了豐富多樣的操作材料：除了人教版教材中出現(xiàn)的直觀、結(jié)構(gòu)化的小棒和計數(shù)器，還有計數(shù)小方塊以及學(xué)生熟悉的人民幣。學(xué)生在小組合作交流的活動中，通過操作多元化的教具模型，嘗試從數(shù)概念的各個方面認(rèn)識數(shù)，體會到了表示數(shù)的多種方式（如圖6）。接著筆者提出了下面的核心問題，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)的本質(zhì)的理解：“為什么你們選用的學(xué)具不一樣，卻都能表示235呢？”最后筆者讓學(xué)生對照計數(shù)器上的數(shù)位寫出和讀出數(shù)。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者從問題出發(fā)，利用操作表征、語言表征、符號表征間的轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生從直觀到抽象，既建立了“位值”概念，深入了解了數(shù)的組成，體現(xiàn)了讀、寫數(shù)的必要性，又理順了相關(guān)知識間的聯(lián)系。圖6學(xué)生對235這個數(shù)的多元化教具模型表征由此可見，在數(shù)概念教學(xué)中，教師應(yīng)想辦法給學(xué)生提供豐富的素材滿足學(xué)生不同的學(xué)習(xí)需求，使學(xué)生在操作活動中感受數(shù)的本質(zhì)、理解數(shù)的意義。以上探究教學(xué)，筆者不僅注重多元表征的呈現(xiàn)，而且善于在教學(xué)中運(yùn)用多元表征間的轉(zhuǎn)換、互譯，設(shè)計可以充分調(diào)動學(xué)生多種感官的學(xué)習(xí)活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到半抽象再到抽象的思維發(fā)展過程，從而逐漸深刻地理解數(shù)的意義，發(fā)展對1000這個大數(shù)的數(shù)感。（三）生活悟數(shù)，提升數(shù)感數(shù)學(xué)概念的教學(xué)既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)概念［4］，即用語言表征去表達(dá)現(xiàn)實世界。數(shù)來自生活并用于生活。為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)感，在本課的最后環(huán)節(jié)，筆者選