北京市豐臺區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

北京市豐臺區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.2．已知在空間直角坐標系（O為坐標原點）中，點關(guān)于x軸的對稱點為點B，則z軸與平面OAB所成的線面角為（）A. B.C. D.3．如圖，M為OA的中點，以為基底，，則實數(shù)組等于（）A. B.C. D.4．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.5．拋物線的準線方程是，則實數(shù)的值為（）A. B.C.8 D.6．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經(jīng)直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.67．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.8．下列命題中的假命題是（）A.，B.存在四邊相等的四邊形不是正方形C.“存在實數(shù)，使”的否定是“不存在實數(shù)，使”D.若且，則，至少有一個大于9．動點P，Q分別在拋物線和圓上，則的最小值為（）A. B.C. D.10．已知向量，則（）A. B.C. D.11．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.12．若存在過點（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為______.14．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.15．若函數(shù)在處有極值，則的值為___________.16．在空間直角坐標系中，點關(guān)于原點的對稱點為點，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，直線交拋物線E于兩點（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過原點O，求直線l的方程18．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：19．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個極值點，且，若，求證：.21．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對應(yīng)的邊長,且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.22．（10分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費滿8千元，可減8百元.方案二：消費金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子，裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子，裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個紅色小球則打6折；若抽出2個紅色小球則打7折；若抽出1個紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費了1萬元，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C2、B【解析】根據(jù)點關(guān)于坐標軸對稱的性質(zhì)，結(jié)合空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】因為點關(guān)于x軸的對稱點為，所以，設(shè)平面OAB的一個法向量為，則得所以，令，得，所以又z軸的一個方向向量為，設(shè)z軸與平面OAB所成的線面角為，則，所以所求的線面角為，故選：B3、B【解析】根據(jù)空間向量減法的幾何意義進行求解即可.【詳解】，所以實數(shù)組故選：B4、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C5、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.6、B【解析】求得定點，然后得到關(guān)于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標為.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當且僅當，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.7、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對于A中，令，，，，滿足，，但，故A錯誤；對于B中，因為，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正確；對于C中，令，，，，滿足，，但，故C錯誤；對于D中，令，，，，滿足，，但，故D錯誤故選：B8、C【解析】利用簡易邏輯的知識逐一判斷即可.【詳解】，故A正確；菱形的四邊相等，但不一定是正方形，故B正確；“存在實數(shù)，使”的否定是“對任意的實數(shù)都有”，故C錯誤；假設(shè)且，則，與矛盾，故D正確；故選：C9、B【解析】設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式，先求得P到圓心的最小距離，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，即可得答案.【詳解】設(shè)，圓化簡為，即圓心為（0,4），半徑為，所以點P到圓心的距離，令，則，令，，為開口向上，對稱軸為的拋物線，所以的最小值為，所以，所以的最小值為.故選：B10、B【解析】根據(jù)向量加減法運算的坐標表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.11、B【解析】根據(jù)雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.12、A【解析】在兩曲線上設(shè)切點，得到切線，又因為（0，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線與和的切點分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，當時，，所以的單調(diào)增區(qū)間是，故答案為：14、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：15、2或6【解析】由解析式得到導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合是函數(shù)極值點，即可求的值.【詳解】由，得，因為函數(shù)在處有極值，所以，即，解得2或6.經(jīng)檢驗，2或6滿足題意.故答案為：2或6.16、【解析】先利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征求出點，再利用空間兩點間的距離公式即可求.【詳解】因為B與關(guān)于原點對稱，故，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)利用橢圓的焦點與拋物線的焦點相同，列出方程求解即可(2)設(shè)，、，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理，通過，求出，得到直線方程【小問1詳解】由題意知：，，∴的方程是【小問2詳解】設(shè)，、，，由題意知，由，得，∴，，，∵以為直徑的圓過點，∴，即，∴，解得，∴直線的方程是18、（1）12（2）18【解析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項公式，要求前12項絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項為正項，后6項為負項，因此在算和的時候，后6項和可以取原通項公式的相反數(shù)即可計算，即為，然后再加上前6項和，即為要求的前12項絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項公式為，所以即19、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設(shè)直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].20、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得22、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），