2024屆湖南省長(zhǎng)沙市六校高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長(zhǎng)沙市六校2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，故選：B.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故選：B.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以只要把函?shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象．故選：C.4.“”是“圓與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為；當(dāng)兩圓相切時(shí)，可分為內(nèi)切和外切兩種，圓心距為，①當(dāng)兩圓外切時(shí)：，即.②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，即.則根據(jù)充分條件和必要條件的判定原則，可知“”是“圓與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.5.若，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋裕瑒t，因?yàn)?，，所以，，則.故選：C.6.若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D.7.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.72 B.74 C.76 D.78〖答案〗B〖解析〗由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．故選：B.8.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（）A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同的盒子，則共有種放法，A正確；對(duì)于B：放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則有：全部投入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：先選擇4個(gè)球，有種，再選擇一個(gè)盒子，有種，故共有種放法，C正確；對(duì)于D：全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.10.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（）A. B. C.的面積為 D.的周長(zhǎng)為〖答案〗ABD〖解析〗由，有，得，選項(xiàng)A正確．因?yàn)?，由正弦定理有，，得，選項(xiàng)B正確．的面積為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．因?yàn)?，由余弦定理，解得，故的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí),B.當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象相切C.若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增,則D.若在區(qū)間上恒成立,則〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,,f'(0)=2,函數(shù)在處的切線方程為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則區(qū)間上恒成立,即在上恒成立,令,,則,函數(shù)上單調(diào)遞減,,,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí);當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于恒成立,即恒成立,設(shè),,則在上恒成立,在上單調(diào)遞減,,,綜上所述,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，則其漸近線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，即有，解得或（舍），而，故漸近線方程，即.13.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?14.立方、塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑等這些名詞都出自中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)商功》，在《九章算術(shù)商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”意思是說(shuō)：把一塊長(zhǎng)方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖，再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱(chēng)為“鱉臑”，如圖．現(xiàn)有一四面體ABCD，已知，，，，，，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來(lái)，可求得這個(gè)四面體的體積為_(kāi)__________，及該四面體的外接球的體積為_(kāi)__________．〖答案〗4〖解析〗根據(jù)資料可得“鱉臑”的由來(lái)是將長(zhǎng)方體分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分成兩塊；現(xiàn)將“鱉臑”還原成長(zhǎng)方體，由已知，，，，，，還原成長(zhǎng)方體，如圖，從還原的長(zhǎng)方體可以看出，四面體的體積；長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為四面體外接球的直徑，，四面體的外接球的體積．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，可設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題意得：，，聯(lián)立解得：，，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由上問(wèn)可知，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式.所以,從而可得,從而可得,.16.如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形.四邊形是梯形，，平面平面，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.（1）證明：∵，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴.平面，∵，、平面，∴平面/平面，∵平面，∴平面．（2）解：以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量，，，則，即，令，則，，∴，設(shè)平面一個(gè)法向量，，，則，即，令，則，，∴，∴，設(shè)二面角的平面角為，則，故.17.要獲得某項(xiàng)英語(yǔ)資格證書(shū)必須依次通過(guò)聽(tīng)力和筆試兩項(xiàng)考試，只有聽(tīng)力成績(jī)合格時(shí)，才可繼續(xù)參加筆試考試．已知聽(tīng)力和筆試各自允許有一次補(bǔ)考機(jī)會(huì)，兩項(xiàng)成績(jī)均合格方可獲得證書(shū)．現(xiàn)某同學(xué)參加這項(xiàng)證書(shū)考試，根據(jù)以往模擬情況，聽(tīng)力考試成績(jī)每次合格的概率均為，筆試考試成績(jī)每次合格的概率均為，假設(shè)各次考試成績(jī)合格與否均互不影響．（1）求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書(shū)的概率；（2）求他恰好補(bǔ)考一次就獲得證書(shū)的概率；（3）在這項(xiàng)考試過(guò)程中，假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會(huì)，記他參加考試的次數(shù)為，求參加考試次數(shù)的分布列和期望值．解：（1）設(shè)“聽(tīng)力第一次考試合格”為事件，“聽(tīng)力補(bǔ)考合格”為事件；“筆試第一次考試合格”為事件，“筆試補(bǔ)考合格”為事件不需要補(bǔ)考就獲得證書(shū)的事件為，注意到與相互獨(dú)立，則（2）恰好補(bǔ)考一次的事件是，則；（3）由已知得，，3，4，注意到各事件之間的獨(dú)立性與互斥性，可得，，，參加考試次數(shù)的期望值.18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，若在時(shí)恒成立，求整數(shù)的最大值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無(wú)極小值.（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.（3）在時(shí)恒成立，即恒成立，令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以，故，又，整數(shù)的最大值為5．湖南省長(zhǎng)沙市六校2024屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，則，故選：B.2.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)（）A.1或4 B.1或C.或1 D.或1〖答案〗B〖解析〗由，，，有，解得．故選：B.3.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)（）A.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋灾灰押瘮?shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，即可得到函數(shù)的圖象．故選：C.4.“”是“圓與圓相切”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗圓圓心，半徑為；圓圓心，半徑為；當(dāng)兩圓相切時(shí)，可分為內(nèi)切和外切兩種，圓心距為，①當(dāng)兩圓外切時(shí)：，即.②當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)：，即.則根據(jù)充分條件和必要條件的判定原則，可知“”是“圓與圓相切”的充分不必要條件.故選：A.5.若，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，，所以，，則.故選：C.6.若展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為，即，所以.故選D.7.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.72 B.74 C.76 D.78〖答案〗B〖解析〗由于，所以，依題意，則，則，由，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為74次．故選：B.8.已知，分別是橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，設(shè)，則，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（）A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B.放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同的盒子，則共有種放法，A正確；對(duì)于B：放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則有：全部投入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：先選擇4個(gè)球，有種，再選擇一個(gè)盒子，有種，故共有種放法，C正確；對(duì)于D：全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.10.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，則（）A. B. C.的面積為 D.的周長(zhǎng)為〖答案〗ABD〖解析〗由，有，得，選項(xiàng)A正確．因?yàn)椋烧叶ɡ碛?，，得，選項(xiàng)B正確．的面積為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．因?yàn)?，由余弦定理，解得，故的周長(zhǎng)為，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí),B.當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象相切C.若函數(shù)區(qū)間上單調(diào)遞增,則D.若在區(qū)間上恒成立,則〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,,f'(0)=2,函數(shù)在處的切線方程為,故選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則區(qū)間上恒成立,即在上恒成立,令,,則,函數(shù)上單調(diào)遞減,,,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí);當(dāng)時(shí),恒成立等價(jià)于恒成立,即恒成立,設(shè),,則在上恒成立,在上單調(diào)遞減,,,綜上所述,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:AB．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，則其漸近線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，即有，解得或（舍），而，故漸近線方程，即.13.已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?14.立方、塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑等這些名詞都出自中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)商功》，在《九章算術(shù)商功》中有這樣的記載：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑”意思是說(shuō)：把一塊長(zhǎng)方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫“塹堵”，如圖，再把一塊“塹堵”沿斜線分成兩塊，其中以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱(chēng)為“鱉臑”，如圖．現(xiàn)有一四面體ABCD，已知，，，，，，根據(jù)上述史料中“鱉臑”的由來(lái)，可求得這個(gè)四面體的體積為_(kāi)__________，及該四面體的外接球的體積為_(kāi)__________．〖答案〗4〖解析〗根據(jù)資料可得“鱉臑”的由來(lái)是將長(zhǎng)方體分解一半，得到三棱柱，三棱柱再分成兩塊；現(xiàn)將“鱉臑”還原成長(zhǎng)方體，由已知，，，，，，還原成長(zhǎng)方體，如圖，從還原的長(zhǎng)方體可以看出，四面體的體積；長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為四面體外接球的直徑，，四面體的外接球的體積．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，可設(shè)首項(xiàng)為，公差為，由題意得：，，聯(lián)立解得：，，是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由上問(wèn)可知，數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式.所以,從而可得,從而可得,.16.如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形.四邊形是梯形，，平面平面，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的大小.（1）證明：∵，平面，∴平面，∵，平面，平面，∴.平面，∵，、平面，∴平面/平面，∵平面，∴平面．（2）解：以為原點(diǎn)，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，設(shè)平面一個(gè)法向量，，，則，即，令，則，，∴，設(shè)平面一個(gè)法向量，，