2025屆福建省高三高考模擬數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合，集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.3.已知向量，若，則實數(shù)（）A.2 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗，，由，則有，解得.故選：D.4.方程在內(nèi)根的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗由題意，，即，可得或，解得或又因為，所以，故選：D.5.已知某圓臺上下底面半徑（單位：cm）分別為2和5，高（單位：cm）為3，則該圓臺的體積（單位：）是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為圓臺上下底面半徑分別為2cm和5cm，高為3cm，所以該圓臺的體積為.故選：C.6.對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.或 B.或 C.或 D.〖答案〗A〖解析〗依題意，對任意的實數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A.7.在鈍角中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，所以，因為鈍角中，，當(dāng)為銳角時，，得，則，所以，則，所以；當(dāng)為鈍角時，，得，則，所以，則，所以；綜上：．故選：C.8.當(dāng)時，恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，則對任意，由，知，故原不等式對x>1恒成立；若，則由，知，故原不等式對不成立.所以整數(shù)的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由可得：①，又因為，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯誤；,，故D錯誤.故選：AC.10.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的周期是B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.函數(shù)的最大值為〖答案〗AD【〖解析〗A：由正弦型函數(shù)的周期公式可知：該函數(shù)的周期為，故本命題是真命題；B：，令：，，所以不是該函數(shù)的對稱軸，因此本命題是假命題；C：，由，即，所以該函數(shù)在上是增函數(shù)，所以本命題是假命題；D：，顯然該函數(shù)的最大值為，因此本命題是真命題，故選：AD.11.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）A.雙曲線的離心率B.為定值C.AB的最小值為3D.若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點，點為的中點，（為坐標(biāo)原點）的斜率為，則〖答案〗ABD〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項可得雙曲線兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點，則，所以點到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點坐標(biāo)，，解得交點，同理得，因為為雙曲線右支上的動點，所以，則，故C錯誤；對D選項，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是函數(shù)的兩個零點，且，當(dāng)時，最小值與最大值之和為________．〖答案〗〖解析〗，由，得，得，因為是函數(shù)兩個零點，且，所以的最小正周期為，所以，得，所以，由，得，則，所以，得，所以，所以最小值與最大值之和為.13.已知雙曲線，，為雙曲線的左右焦點，過做斜率為正的直線交雙曲線左支于，兩點，若，，則雙曲線的離心率是______．〖答案〗〖解析〗因為，則，，且，可知為等腰直角三角形，則，，且，即，整理可得，所以雙曲線的離心率.14.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為平面向量，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以，因為，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最小值，且最小值為，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，．（1）求角B的大小；（2）求的取值范圍．解：（1）在銳角中，，則，，于是，即，而，則，所以.（2）由（1）知，，由，得，由正弦定理得，而，則，，所以的取值范圍是.16.由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側(cè)面與底面所成角為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：連接、，由分別為的中點，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；（2）解：正四棱臺中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因為直線與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時線段的長為.17.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．（1）求A恰好獲得8元的概率；（2）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．解：（1）若A恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為A未猜中，B未猜中，C猜中，故A恰好獲得8元的概率為；（2）X的可能取值為0，8，12，24，則，，，，所以X的分布列為：X081224P數(shù)學(xué)期望為18.設(shè)是定義域為的函數(shù),如果對任意的,均成立,則稱是“平緩函數(shù)”.（1）若,試判斷是否為“平緩函數(shù)”并說明理由;（2）已知的導(dǎo)函數(shù)存在,判斷下列命題的真假:若是“平緩函數(shù)”,則,并說明理由.（3）若函數(shù)是“平緩函數(shù)”,且是以為周期的周期函數(shù),證明:對任意的,均有.解：（1）令,因為,則,,不滿足對任意的,均成立,故不是“平緩函數(shù)”.（2）命題為真命題.因為,不妨令,因為是“平緩函數(shù)”,則所以,故命題為真命題.（3）因為是以為周期的周期函數(shù),不妨設(shè),當(dāng)時,因為函數(shù)是“平緩函數(shù)”,則;當(dāng)時,不妨設(shè),則,因為是以為周期的周期函數(shù),則,因為函數(shù)是“平緩函數(shù)”,所以,所以對任意的,均有,因為是以為周期的周期函數(shù),所以對任意的,均有.19.點列，就是將點的坐標(biāo)按照一定關(guān)系進(jìn)行排列．過曲線上的點作曲線的切線與曲線交于，過點作曲線的切線與曲線交于點，依此類推，可得到點列：，，，…，，…，已知．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）記點到直線（即直線）的距離為，（I）求證：；（II）求證：，若值與（I）相同，則求此時的最小值．（1）解：曲線上點處的切線的斜率為，故得到的方程為，聯(lián)立方程，消去y得：，化簡得：，所以：或，由得到點的坐標(biāo)，由就得到點的坐標(biāo)，所以：，故數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以：，；（2）證明：（I）由（1）知：，，所以直線的方程為：，化簡得：，因為，所以，；（II），與（I）中相同，當(dāng)時，此時最小值為．福建省2025屆高三高考模擬數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗集合，集合，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.3.已知向量，若，則實數(shù)（）A.2 B.1 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗，，由，則有，解得.故選：D.4.方程在內(nèi)根的個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗D〖解析〗由題意，，即，可得或，解得或又因為，所以，故選：D.5.已知某圓臺上下底面半徑（單位：cm）分別為2和5，高（單位：cm）為3，則該圓臺的體積（單位：）是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為圓臺上下底面半徑分別為2cm和5cm，高為3cm，所以該圓臺的體積為.故選：C.6.對任意的實數(shù)，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A.或 B.或 C.或 D.〖答案〗A〖解析〗依題意，對任意的實數(shù)，不等式恒成立，整理得，令，則，解得或.故選：A.7.在鈍角中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理得，所以，因為鈍角中，，當(dāng)為銳角時，，得，則，所以，則，所以；當(dāng)為鈍角時，，得，則，所以，則，所以；綜上：．故選：C.8.當(dāng)時，恒成立，則整數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若，則對任意，由，知，故原不等式對x>1恒成立；若，則由，知，故原不等式對不成立.所以整數(shù)的最大值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機(jī)變量X，Y，其中，已知隨機(jī)變量X的分布列如下表X12345pmn若，則（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由可得：①，又因為，故C正確.所以，則②，所以由①②可得：，故A正確，B錯誤；,，故D錯誤.故選：AC.10.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)的周期是B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上是減函數(shù)D.函數(shù)的最大值為〖答案〗AD【〖解析〗A：由正弦型函數(shù)的周期公式可知：該函數(shù)的周期為，故本命題是真命題；B：，令：，，所以不是該函數(shù)的對稱軸，因此本命題是假命題；C：，由，即，所以該函數(shù)在上是增函數(shù)，所以本命題是假命題；D：，顯然該函數(shù)的最大值為，因此本命題是真命題，故選：AD.11.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）A.雙曲線的離心率B.為定值C.AB的最小值為3D.若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點，點為的中點，（為坐標(biāo)原點）的斜率為，則〖答案〗ABD〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；由A選項可得雙曲線兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點，則，所以點到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點坐標(biāo)，，解得交點，同理得，因為為雙曲線右支上的動點，所以，則，故C錯誤；對D選項，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是函數(shù)的兩個零點，且，當(dāng)時，最小值與最大值之和為________．〖答案〗〖解析〗，由，得，得，因為是函數(shù)兩個零點，且，所以的最小正周期為，所以，得，所以，由，得，則，所以，得，所以，所以最小值與最大值之和為.13.已知雙曲線，，為雙曲線的左右焦點，過做斜率為正的直線交雙曲線左支于，兩點，若，，則雙曲線的離心率是______．〖答案〗〖解析〗因為，則，，且，可知為等腰直角三角形，則，，且，即，整理可得，所以雙曲線的離心率.14.已知平面向量，的夾角為，與的夾角為，，和在上的投影為x，y，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗因為平面向量，的夾角為，與的夾角為，所以與的夾角為，所以根據(jù)正弦定理可得，，所以，所以，因為，所以，所以在上的投影為，在上的投影為，所以，因為，所以，所以，所以當(dāng)時，取得最小值，且最小值為，當(dāng)時，取得最大值，且最大值為，所以的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知銳角ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，．（1）求角B的大??；（2）求的取值范圍．解：（1）在銳角中，，則，，于是，即，而，則，所以.（2）由（1）知，，由，得，由正弦定理得，而，則，，所以的取值范圍是.16.由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側(cè)面與底面所成角為.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：連接、，由分別為的中點，則，又平面，平面，故平面，正四棱臺中，且，則四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面，又，且平面，平面，故平面平面，又平面，故平面；（2）解：正四棱臺中，上下底面中心的連線底面，底面為正方形，故，故可以為原點，、、為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，側(cè)面與底面所成角為，則，則，，，假設(shè)在線段上存在點滿足題設(shè)，則，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，則，，即，因為直線與平面所成的角的正弦值為，故，解得或（舍），故，故線段上存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，此時線段的長為.17.小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了24元，然后發(fā)給朋友A，如果A猜中，A將獲得紅包里的所有金額；如果A未猜中，A將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友B，如果B猜中，A、B平分紅包里的金額；如果B未猜中，B將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友C，如果C猜中，A、B和C平分紅包里的金額；如果C未猜中，紅包里的錢將退回小李的賬戶，設(shè)A、B、C猜中的概率分別為，，，且A、B、C是否猜中互不影響．（1）求A恰好獲得8元的概率；（2）設(shè)A獲得的金額為X元，求X的分布列及X的數(shù)學(xué)期望．解：（1）若A恰好獲得8元紅包，則結(jié)果