2025屆河南省高三新未來九月大聯(lián)考高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省2025屆高三新未來九月大聯(lián)考高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知單位向量的夾角為，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由題知，所以.故選：C.2.雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.以點為圓心的圓截直線所得的弦長為，則圓的半徑為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：圓心到直線的距離，所以圓的半徑為.故選：D.4.隨著暑假的來臨，中國各地旅游市場也迎來旺季.小明和小王都計劃在南京?北京?西安?廈門?杭州這5個城市中選2個城市去旅游，則小明和小王不會去相同城市的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗兩人從5個城市中各選2個城市去旅游共有種選法，若兩人不去相同城市，則有種選法，所以小明和小王不會去相同城市的概率為.故選：B.5.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以，故選：D.6.如圖所示是一個無蓋瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺構(gòu)成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓柱和圓臺的高為，圓臺的母線為，則.瓶子的側(cè)面積，解得.瓶子的體積.故選：A.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.故選：C.8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若成等差數(shù)列，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由題知，由正弦定理得，即，因為，所以，又，所以，得，所以最多有一個是鈍角，所以，因為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為3.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.復(fù)數(shù)是方程的一個根D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗對A，因為，所以，A錯誤；對B，，B正確；對C，，因為，所以復(fù)數(shù)是方程的一個根，C正確；對D，對應(yīng)點為，位于第一象限，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最大值為1，則（）A.B.當(dāng)時，C.D.當(dāng)時，〖答案〗ACD〖解析〗對A，，當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，f'所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值，解得，A正確；對B，由上可知，在上單調(diào)遞增，在0,+∞單調(diào)遞減，因為，所以，B錯誤；對C，因，所以，所以，C正確；對D，當(dāng)時，，不等式成立，當(dāng)時，，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，綜上，當(dāng)時，不等式成立，D正確.故選：ACD.11.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點且不與軸垂直的直線與拋物線相交于兩點，過原點作直線的平行線與拋物線交于另一點，則（）A.B.線段的中點和線段的中點的連線與軸平行C.以點為頂點的四邊形可能為等腰梯形D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以，A正確；對B，由題知，直線的斜率存在且不為0，拋物線交點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，聯(lián)立，得，則，或，則，記線段和線段的中點分別為，則，所以平行于軸，B正確；對C，若點為頂點的四邊形為等腰梯形，則，與平行于軸，不垂直于軸矛盾，故C錯誤；對D，因為，，所以，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，由解得，依題意有，解得，即實數(shù)取值范圍為.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為，fx有且僅有2個零點，則,即.14.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點分別為的中點，點為內(nèi)的一個動點（包括邊界），若平面，則點的軌跡的長度為__________.〖答案〗〖解析〗由題知，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點為，連接，因為為正方形，為中點，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點的軌跡與交于點，由題知平面，因為是平面內(nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點的軌跡，因為，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因為，所以，解得，則，又所以，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù)在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）的定義域為0,+∞，由題知，，即①，又，所以，即②，聯(lián)立①②解得.（2）由（1）知，，，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f所以的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，所以當(dāng)時，取得極小值，無極大值.16.某學(xué)校對高三（1）班50名學(xué)生第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為，化學(xué)成績的方差為，其中且1分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，關(guān)于的線性回歸方程為.（1）求與的樣本相關(guān)系數(shù)；（2）從概率統(tǒng)計規(guī)律來看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值.試估計該校共800名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中：；②樣本相關(guān)系數(shù)；③若，則；④.解：（1）因為，所以，又，所以，所以.（2）因為，，所以，解得，即，因為，所以，所以數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，因為，所以該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間大約有人.17.如圖，在正三棱柱中，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：記的中點為，連接，因為分別為的中點，為正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為為正三角形，所以，以為原點，分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因為，所以，又平面，所以平面.（2）解：因為，所以，所以，由（1）知，是平面的一個法向量，記直線與平面所成角為，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點在橢圓上（點不在坐標(biāo)軸上），證明：直線與橢圓相切；（3）設(shè)點在直線上（點在橢圓外），過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為坐標(biāo)原點，若和的面積之和為1，求直線的方程.解：（1）由題知，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）因為點在橢圓上，所以，即，聯(lián)立消去整理得，即，即，顯然方程有唯一解，所以直線與橢圓相切.（3）設(shè)，將代入，解得，因為點在橢圓外，所以或，所以，由（2）可得，切線的方程分別為，因為點在切線上，所以，所以點在直線，即直線的方程為，聯(lián)立得，，則，所以記點到直線的距離分別為，則，因為和的面積之和為1，所以，解得，所以的方程為或.19.歐幾里得在《幾何原本》中證明算術(shù)基本定理：任何一個大于1的自然數(shù)，可以分解成有限個素數(shù)的乘積，如果不考慮這些素數(shù)在乘積中的順序，那么這個乘積形式唯一的.對于任意正整數(shù)，記為的所有正因數(shù)的個數(shù)，為的所有正因數(shù)的和.（1）若數(shù)列，求數(shù)列的前項和；（2）對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值.（1）解：由題意可知：的正因數(shù)有，則，可得，所以.（2）證明：若為質(zhì)數(shù)，則，因為為質(zhì)數(shù)，可知：的正因數(shù)組成的集合為，；的正因數(shù)組成的集合為，；的正因數(shù)組成的集合為，；的正因數(shù)組成的集合為，則，且，所以.因為，則，所以.河南省2025屆高三新未來九月大聯(lián)考高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知單位向量的夾角為，則（）A. B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗由題知，所以.故選：C.2.雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.3.以點為圓心的圓截直線所得的弦長為，則圓的半徑為（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由題意可知：圓心到直線的距離，所以圓的半徑為.故選：D.4.隨著暑假的來臨，中國各地旅游市場也迎來旺季.小明和小王都計劃在南京?北京?西安?廈門?杭州這5個城市中選2個城市去旅游，則小明和小王不會去相同城市的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗兩人從5個城市中各選2個城市去旅游共有種選法，若兩人不去相同城市，則有種選法，所以小明和小王不會去相同城市的概率為.故選：B.5.已知角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以，故選：D.6.如圖所示是一個無蓋瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺構(gòu)成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)圓柱和圓臺的高為，圓臺的母線為，則.瓶子的側(cè)面積，解得.瓶子的體積.故選：A.7.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.故選：C.8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若成等差數(shù)列，則的最小值為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗由題知，由正弦定理得，即，因為，所以，又，所以，得，所以最多有一個是鈍角，所以，因為，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為3.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.復(fù)數(shù)是方程的一個根D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗對A，因為，所以，A錯誤；對B，，B正確；對C，，因為，所以復(fù)數(shù)是方程的一個根，C正確；對D，對應(yīng)點為，位于第一象限，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)的最大值為1，則（）A.B.當(dāng)時，C.D.當(dāng)時，〖答案〗ACD〖解析〗對A，，當(dāng)時，f'x>0，當(dāng)時，f'所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時取得最大值，解得，A正確；對B，由上可知，在上單調(diào)遞增，在0,+∞單調(diào)遞減，因為，所以，B錯誤；對C，因，所以，所以，C正確；對D，當(dāng)時，，不等式成立，當(dāng)時，，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，綜上，當(dāng)時，不等式成立，D正確.故選：ACD.11.已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點且不與軸垂直的直線與拋物線相交于兩點，過原點作直線的平行線與拋物線交于另一點，則（）A.B.線段的中點和線段的中點的連線與軸平行C.以點為頂點的四邊形可能為等腰梯形D.〖答案〗ABD〖解析〗對A，因為焦點到準(zhǔn)線的距離為2，所以，A正確；對B，由題知，直線的斜率存在且不為0，拋物線交點坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，聯(lián)立，得，則，或，則，記線段和線段的中點分別為，則，所以平行于軸，B正確；對C，若點為頂點的四邊形為等腰梯形，則，與平行于軸，不垂直于軸矛盾，故C錯誤；對D，因為，，所以，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，當(dāng)時，，不滿足題意；當(dāng)時，由解得，依題意有，解得，即實數(shù)取值范圍為.13.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗因為，fx有且僅有2個零點，則,即.14.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點分別為的中點，點為內(nèi)的一個動點（包括邊界），若平面，則點的軌跡的長度為__________.〖答案〗〖解析〗由題知，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點為，連接，因為為正方形，為中點，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點的軌跡與交于點，由題知平面，因為是平面內(nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點的軌跡，因為，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因為，所以，解得，則，又所以，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及演算步驟.15.已知函數(shù)在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）的定義域為0,+∞，由題知，，即①，又，所以，即②，聯(lián)立①②解得.（2）由（1）知，，，當(dāng)時，f'x<0，當(dāng)時，f所以的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,+∞，所以當(dāng)時，取得極小值，無極大值.16.某學(xué)校對高三（1）班50名學(xué)生第一次模擬考試的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下：數(shù)學(xué)成績的方差為，化學(xué)成績的方差為，其中且1分別表示這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和化學(xué)成績，關(guān)于的線性回歸方程為.（1）求與的樣本相關(guān)系數(shù)；（2）從概率統(tǒng)計規(guī)律來看，本次考試高三（1）班學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本方差作為的估計值.試估計該校共800名高三學(xué)生中，數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間的人數(shù).附：①回歸方程中：；②樣本相關(guān)系數(shù)；③若，則；④.解：（1）因為，所以，又，所以，所以.（2）因為，，所以，解得，即，因為，所以，所以數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，因為，所以該校高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間大約有人.17.如圖，在正三棱柱中，.（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：記的中點為，連接，因為分別為的中點，為正三棱柱，所以平面，又平面，所以，因為為正三角形，所以，以為原點，分別為軸的正方向建