山東省青島市青島第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山東省青島市青島第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．直線關(guān)于x軸對稱的直線方程為（

）A． B．C． D．2．兩條平行直線：與：之間的距離是（

）A．0 B．2 C．1 D．3．若橢圓的長軸端點與雙曲線的焦點重合，則的值為（

）A．4 B． C． D．24．已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A，B兩點，則（

）A． B． C． D．5．如果直線與曲線有兩個不同的公共點，那么實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知橢圓E:＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝17．已知直線與拋物線相交于A，B兩點，若，則（

）A．2 B． C． D．8．已知橢圓：的左、右焦點分別是，，是橢圓上的動點，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則橢圓的離心率為(

)A． B． C． D．二、多選題9．已知方程，則下列說法中正確的有（

）A．方程可表示圓B．當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的橢圓C．當(dāng)時，方程表示焦點在軸上的雙曲線D．當(dāng)方程表示橢圓或雙曲線時，焦距均為1010．已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長為D．若，分別是圓，上的動點，則11．已知雙曲線的左右頂點為，，左右焦點為，，直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點，則（

）A．若，則的面積為B．直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則C．若的斜率的范圍為，則的斜率的范圍為D．存在直線的方程為，使得弦的中點坐標(biāo)為12．已知拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2，過焦點作直線與拋物線交于、兩點，與軸交于點，過點作拋物線的切線與準(zhǔn)線交于點，連接，若，則（

）A． B．C．為鈍角 D．三、填空題13．拋物線的準(zhǔn)線方程為.14．若直線與圓相交于，兩點，且（其中為原點），則的值為.15．一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為.16．如圖，過雙曲線的左焦點引圓的切線，切點為，延長交雙曲線右支于點，為線段的中點，為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率為.

四、解答題17．已知的三個頂點的坐標(biāo)為，，，求(1)求的面積；(2)求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．已知直線和圓，且直線和圓交于兩點.(1)當(dāng)為何值時，截得的弦長為4；(2)若，求的取值范圍.19．已知為坐標(biāo)原點，，，直線，的斜率之積為4，記動點的軌跡為.(1)求的方程；(2)直線經(jīng)過點，與交于，兩點，線段中點在第一象限，且縱坐標(biāo)為4，求.20．已知動圓過定點，且截軸所得弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)過點的直線與軌跡交于A，兩點，若為軌跡的焦點，且滿足，求的值.21．橢圓與雙曲線有相同的焦點，且過.

(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為，，當(dāng)動點在定直線上運動時，直線，分別交橢圓于兩點，.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值.22．已知點在雙曲線上．(1)雙曲線上動點Q處的切線交的兩條漸近線于兩點，其中O為坐標(biāo)原點，求證：的面積是定值；(2)已知點，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點?，在線段上取異于點?的點，滿足，證明：點恒在一條定直線上．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．D 8．A9．BCD 10．BCD 11．ABC 12．ABD13． 14． 15． 16．17．【詳解】（1），，，由于,所以為以為斜邊的等腰直角三角形，可得中點，所以，故的面積為20.（2）由（1）知.所以外接圓圓心恰好為中點，半徑,所以三角形外接圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.18．【詳解】（1）設(shè)直線與圓心距離為，則，所以有解得；（2）當(dāng)時，，此時，因為，所以，有，即，解得.19．【詳解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，因為，，所以，化簡得：.所以的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；設(shè)，，直線方程為，與聯(lián)立得：，由且，解得且，由韋達(dá)定理得，因為線段中點在第一象限，且縱坐標(biāo)為，所以，解得或（舍去），所以直線為，所以，所以.20．【詳解】（1）如圖，設(shè)動圓圓心，設(shè)圓截y軸所得弦為，則有，當(dāng)不在y軸上時，過作交于，則是的中點，于是，化簡得；當(dāng)在y軸上時，動圓過定點，且在y軸上截得弦的長為4，則與原點重合，即點也滿足方程，所以動圓圓心的軌跡的方程為.（2）顯然直線斜率存在，不妨設(shè)直線，與聯(lián)立可得，，得，韋達(dá)定理可知，已知，解得或1，因為，所以.所以.21．【詳解】（1）由題知，橢圓的焦點為，，故可設(shè)橢圓的方程為，將點代入可得，解得，所以橢圓得方程為.

（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；所以直線的方程為，的方程為；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；由韋達(dá)定理可得，解得，則；則，；所以；即可知為鈍角，所以點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）易知四邊形的面積為，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以，可得，所以時，四邊形的面積最大為6，此時點的坐標(biāo)為，由對稱性可知，即當(dāng)點的坐標(biāo)為或時，四邊形的面積最大，最大值為6.22．【詳解】（1）將代入雙曲線中，，解得，故雙曲線方程為，下面證明上一點的切線方程為，理由如下：當(dāng)切線方程的斜率存在時，設(shè)過點的切線方程為，與聯(lián)立得，，由化簡得，因為，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因為，，所以，聯(lián)立，兩式相乘得，，從而，故，即，令，則，即，解得，即，當(dāng)切線斜率不存在時，此時切點為，切線方程為，滿足，綜上：上一點的切線方程為，設(shè)，則過點的切線方程為，故為過點的切線方程，雙曲線的兩條漸近線方程為，聯(lián)立與，解得,聯(lián)立與，解得,直線方程為，即，故點到直線的