2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-第三章 空間向量與立體幾何

2023北師大版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

第三章空間向量與立體幾何

(全卷滿分150分,考試用時120分鐘)

一、單項選擇題(本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的)

1.在空間直角坐標系0-xyz中,P⑵0,-4),Q(-l,2,1),M是0P的中點,貝U

|QM|=()

A.V38B.—C.V17D.—

22

2.若平面a_L平面B,且平面a的一個法向量為n二則平面P的法向

量可以是()

A.(-1,勃B.(2,-1,0)C.(1,2,0)D.&1,2)

3.已知a=(l,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)//(2a-b),JJJiJ()

A.x=1,y=lB.y二一4

C.x=2,y=--D.x=l,y=-l

4

4.平面a的一個法向量為n=(-2,點A點在平面a內(nèi)，則點p(-

2,1,4)到平面a的距離為()

A.10B.3*嗒

5.在空間直角坐標系0-xyz中，已知A(l,2,3),B(2,1,2),P(l,1,2),點Q在直線

0P上運動，當-詼取得最小值時，點Q的坐標是()

葡B.G弱)

嗚猾)D.6消

6.如圖，已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是OA,CB的中點，點G

在線段MN上,且MG=3GN,用向量瓦5,OF,衣表示向量前,則前二（）

K.-OA^-OB+-OC

633

B.-OA^--OB^-OC

633

C.-OA^OB+-OC

844

^OA^OB^OC

888

7.在棱長為2的正四面體ABCD中，點M滿足前二x荏+y芯-(x+yT)前，點N滿

足麗二人瓦?+（1-入）前，當AM、BN最短時，前?標二（）

A?WB彳

8.如圖,在四邊形ABCD中，AB=BD=DA=2,BC=CD=V2.現(xiàn)將aABD沿BD折起，當二面

角A-BD-C的大小處于曲到范圍內(nèi)時,直線AB與CD所成角的余弦值的取值范圍

是（）

A?呼4]B.惇洛c?[。,曾D.[0,華

二、多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合

題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得2分）

9.已知向量a=（4,-2,-4）,b=（6,-3,-2）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+b=(10,-5,-6)B.a-b=(2,_1,_6)

C.a?b=10D.|a|=6

10.在空間直角坐標系O-xyz中，己知A(-l,2,3),B(0,-2,4),C(2,1,2),若存在一

點P,使得CP_L平面0AB,則點P的坐標可能為()

A.(-12,-3,0)B.(7,2,-4)

C.(6,3,5)D.(-5,-1,1)

，，

11.在長方體ABCD-AB'CD'中,AB=2,AD=3,AA，=],以D為原點,DA,DCf亦的方

向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系,則下列說法正確的是()

A.前二(-3,-2,1)

B.異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為空

35

C.平面A'CD的一個法向量為(-2,-3,6)

D.二面角C'-A'D-D'的平面角的余弦值為:

12.在長方體ABCD-ABCD中,AB=2g,AD二AA尸2,P、Q、R分別是AB、BB1、AC上

的動點，下列結(jié)論正確的是()

A.對于任意給定的點P,存在點Q,使得D.P1CQ

B.對于任意給定的點Q,存在點R,使得D.R±CQ

C.當ARLAC時,ARLDiR

D.當A￡=3AR時，DR〃平面BDC：

三、填空題(本題共4小題,每小題5分，共20分)

13.如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中，F(xiàn)是側(cè)面CDDC的中心,若

，

AF=xi4D+yAB+Zi4i41,則x-y+z=.

14.已知u=(3,a+b,a-b)(a,b￡R)是直線1的方向向量,11二(1,2,3)是平面Q的法

向量,若1_La,則a+b二

15.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，點B到直線AG的距離

為

16.將正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A,B,C,D四點為頂點的三棱錐體積最

大時,異面直線AD與BC所成的角為

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)已知空間中三點A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設

a=AB,b=AC.

⑴若|c|=3,且c//~BCf求向量c;

⑵已知向量ka+b與b互相垂直,求實數(shù)k的直

18.（本小題滿分12分）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線都等于

1,點E,F分別是AB,AD的中點，設｛a,b,c）為空間的一組基,AB=afXC=b,AD=cf

試用基向量法求解以下各題.

⑴求前-荏的值；

⑵求異面直線CF與BD所成角的余弦值.

19.（本小題滿分12分）如圖所示為一個半圓柱,E為半圓弧CD上一點,CD=V5.

（1）若AD=2V5,求四棱錐E-ABCD的體積的最大值；

(2)有三個條件:①4萬?DC=EC?DC;②直線AD與BE所成角的正弦值為

?③華震畔請你從中選擇兩個作為條件求直線人口與平面EAB所成角的余

3s\nZEBA2

弦值.

20.(本小題滿分12分)如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E為BB1的中點.

⑴求證:BG〃平面ADiE;

⑵求直線AAi與平面AD.E所成角的正弦值；

⑶求點C到平面ADE的距離.

結(jié)

21.(本小題滿分12分)如圖1,在RtAABC中，NACB=30°,NABC=90。，D為AC的中

點,AE_LBD于點E,延長AE交BC于點F,將4ABD沿BD折起使平面ABDJ_平面

BCD,如圖2所示.

⑴求證:AE_L平面BCD;

(2)求二面角A-DC-B的平面角的余弦值.

22.(本小題滿分12分)如圖,在多面體ABCDEF中，梯形ADEF與平行四邊形ABCD所

在平面互相垂直,AF〃DE,DEXAD,AD±BE,AF=AD=1DE=1,AB=

(1)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值;

(2)判斷線段BE上是否存在點Q,使得平面CDQ_L平面BEF?若存在,求嚕的值;

若不存在,請說明理由.

答案與解析

1.C由題意得,M(l,0,-2),又Q(-

1,2,1),A|QM|幻(11)2+(2-0)2+(1+2/=g.故選C.

2.C???平面a_L平面B,

???平面a的法向量與平面B的法向量垂直，即它們的數(shù)量積為0.

對于A，(口就)?(2詞=2中學0,故A錯誤;同理C正確,B,D錯誤.

3.B由題意可得，a+2b=(l+2x,4,4-y),2a_b=(2-x,3,-2y-2).

V(a+2b)//(2a-b),

A3入￡R，使a+2b=人(2a-b),

(1+2%=A(2-x),

得4=3兒解得L故選B.

(4—y=A(-2y-2),x=t

y=-4,

4.D由題意得而二（-1,-2,4）,則點P到平面的距離

(上|九?而|」：二

2X(1)+(-2)X(-2)+lX4|W.故選D.

^~\n\?-2)2+(-2)2聲3

5.D設而二人而（入WR）,則Q（入，入，2人）,

/.QA?QB-(1_入，2-入，3~2人)?(2~入，1-入，2-2人)

二（1-入）（2-入）+（2~入）（1-入）+（3-2人）（2-2人）

二6入2-16入+10=6（4-1）

???當人力時，礪.證取得最小值,此時點Q的坐標為

故選D.

6.DOG=OM+MG=OM+-MN=OM+±（MO+OC+CN）

44

^OM+-OC+-OV=ixi^4+-OC+-xicB

44442442

=idl+-0C+-(OB-OC)=-OA+-OB^OC.

848888

故選D.

7.A由共面向量定理和共線向量定理可知,平面BCD,N￡直線AC,當AM、BN

最短時,AM,平面BCD,BN1AC,

所以M為ABCD的中心,N為AC的中點，

此時,2麗|=占二哈???砒|岑

sm6033

???AM_L平面BCD,MCu平面BCD,

AAM±MC,

\MA\=

又MN=；(MC+MA),

：.AM-M/V=i(AM?MC+AM?MA)

2

=-i|AM|2=-1.故選A.

8.D在四邊形ABCD中,連接AC,交BD于點0,如圖①所示:

圖①

YAB=BD=DA=2,BC=CD=企,

JAC垂直平分BD,

.\A0=V/152-BO2=V3,C0=VBC2-BO2=l.

翻折后如圖②所示,BD±AO,BD.CO,

???二面角A-BD-C的平面角為NAOC,設NAOC=0,則金［也算

以0為坐標原點,OC,0D所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐

標系，

則A(V5cos0,0,V3sin0),B(0,-1,0),C(l,0,0),D(0,1,0),

???屈二(一8cos0,-l,-V3sin0),CD=(-1,1,0),

Acos?而＞二婆當二旦警G卜延,馬，

\AB\\CD\2yf2L8'8J

???|cos＜荏,而＞|w[o,乎].故選D.

9.AD因為a=(4,-2,-4),b=(6,-3,-2),

所以a+b=(10,-5,-6),a-b=(-2,l,-2),a?b=4X6+(-2)X(-3)+(-4)X(-

2)=38,|a|力42+(-2)2+(-4)2=6.故選AD.

10.AD設P(x,y,z),則而二(x-2,y-1,z-2),OA=(-1,2,3),0B=(0,-2,4),

若CPJ_平面OAB,貝I」CP±OA,CPI0B,即而?04=0,CP?OB=0,

所以[而?雨=—(x?2)+2(y?l)+3(z?2)=0,即+2y+3z-6=0,

，([CP?05=-2(y-l)+4(z-2)=0,M2y+4z-6=0,

只有A,D項滿足該方程組,故選AD.

11.ACD由題意可得D(0,0,0),B(3,2,0),I(0,0,1),A'(3,0,1),C'(0,2,1),則

石慶(-3,-2,1),前二(3,0,l),DC=(0,2,1),可知A正確.

cos說,麗紅英誓

\DA!\\BD'\V10XV1435

所以異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為甯,故B不正確.

設平面A，C，D的一個法向量為n=(x,y,z),

則卜.四=0,所翊

In?DC'=0,[2y+z-0,

取z=6,得n=(-2,-3,6),故C正確.

易知平面A，DD'的一個法向量為m=(0,1,0),

則cos<n,m>-n：「冶

易知二面角C'-A'D-D,的平面角為銳角，故其余弦值為景故D正確.

故選ACD.

12.ABD如圖所示，建立空間直角坐標系,

則

A⑵0,0),B⑵28,0),C(0,2V3,0),D(0,0,0),At(2,0,2),G(0,2點2),口(0,0,

2).

設P(2,a,0),a￡[0,2V3],Q⑵2A/3,b),b￡[0,2].

易知初二(—2,2次,一2).

設R(xi,yi,z),^=入碇，XG[0,1],BP(x-2,ybZ1-2)=X(-2,2A/3,-2),

則R(2-2X,2V3X,2-2X),

易得印二(2,a,-2),CQ=易0,b),則印?CQ=4-2b,當b=2時，DFJ_CQ,A正確;

?瑜二(2-2入，28人，一2人)，???第?衣二2(2-2入)一2人b,由DRLCQ得壁?

&二0,即4-4X-2Xb=0,得X4，

?.,0WbW2,

即工W入＜1,

22+b2

故當戶入W1時,存在點R使得D^ICQ,B正確;

AR=(-2X,2V3X,2-2X).

若ARJ_AC則版?石祥（-2入，2百人，2-2入）?（-2,2伺-2）=4入+12入-4+4人=0,

解得人=1,

此時AR?瓦諾（?

42734

???A】O3AR???R

3’3‘3

?nn(42A/32

?.QR=一,—

1\333

設平面BDC,的一個法向量為n=（x,y,z）,前二（-2,-2百,0）:西二（0,2^/3,2）,則

九?BD=0,即-2x-2V3y=0,

n?DC；=0,[2V3y+2z=0,

令y二T,貝ljx=z=V3,An=(V3,-1,V3),

???2R?n=0,??.D】R〃平面BDG,D正確.

故選ABD.

13.答案1

解析而二而+礙而+夕西+尻）=而+1（磯+初=而+述+1京故

x=l,y=1,z=1,則x-y+z=l.

14.答案6

解析???1，a,，n〃u,，/芋，，a+b=6.

15.答案?

解析以Di為坐標原點,DA,D6,D。所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所

示的空間直角坐標系，則A(1,O,1),B(1,1,1),G(O,1,O),?,?荏=(0,1,0),溫二(-

取a=^=（0,1,0）,u=g普（f「1）=（李務曰

則a2=l,a?u咚

.??點B到直線AC的距離為?〃）2二限3s

16.答案g

解析根據(jù)題意可知，當VD-就最大時,平面DAC,平面ABC,

設AC的中點為0,連接OB,0D,建立空間直角坐標系,如圖所示.

令OB=OC=OD=1,PIiJA(0,-1,0),D(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),

所以前二(0,1,1),前二(T,1,0),

因此cos<AD,前〉二竺?生二」

'\AD\\BC\y/2xv22'

所以異面直線AD與BC所成的角為今

17.解析?.?A(2,0,-2),B(l,-l,-2),C⑶0,-4),

Aa=AB=(-l,-l,O),b二裕(1,0,-2),BC=(2,1,-2).(3分)

(1)Vc/ZBC,???可設c=i痂(m￡R),

/.c=mBC=m(2,1,-2)二(2m,m,-2m),

??.|c|力(2m)2+m2+(—2m)2=31m|=3,.\m=±l,(5分)

Ac=(2,l,-2)^c=(-2,-l,2).(7分)

(2)ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(l-k,-k,-2),(8分)

?.?向量ka+b與b互相垂直,

A(ka+b)?b=l-k+4=0,解得k=5.(10分)

18.解析由題意得|a|二|b|二|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,

故a?b二b?c=c?a=lX1Xcos60°—.(3分)

2

(1)VEF=|BD=1(^D-^5)=i(c-a),

.*.FF?AB=-(c-a)?a—c?a--a2-(6分)

2222224

(2)由題意可知濟+禍'BD=AD-AB=c-^

ACF?BD=Qc-b^?(c-a)*1?c-1a?c+a?b

_11znzv\

22424

記異面直線CF與BD所成的角為0,

???|存|塞，|前|二1,Jcos0二|獸獸上今祖.

2\\CF\\BD\\叵6

2

因此異面直線CF與BD所成角的余弦值為（12分）

6

19.解析（1）在平面EDC內(nèi)作EF±CD于點F,因為平面ABCDJ_平面EDC,平面

ABCDA平面EDODC,所以EFL平面ABCD.（2分）

因為E為半圓弧CD上一點,所以CE±ED,

所以VE-ABCDW-S四邊形MO?EF=：X遮X2盜義三#二平?CE?ED,（4分）

因為CE2+ED2=CD2=5,

所以空包二延義學立

32323

當且僅當CE二ED考時,等號成立，

所以四棱錐E-ABCD的體積的最大值為手.（6分）

3

22

（2）由條件①,得41屁I|沆IcosNCDE=\CE\\CD\COSZDCE,即4DE=CE,

所以2DE=CE,又因為DE2+CE2=5,所以DE=1,CE=2.

由條件②,得因為AD〃BC,BC_L平面DCE,所以NCBE為直線AD與BE所成角，且

sinNCBE』#—=tanZCBE=—.

3BEBC5

由條件③,得當震高除設AD=x,則寒券

OlliCDCZi/XrLJCI/

若選條件①②,則DE=1,CE=2,且二tan/CBE二型,所以AD=BC=V5.

BC5

若選條件①③，則DE=1,CE=2,且李器4,所以AD=BC=V5.

若選條件②③,貝IJ生二tanNCBE岑,且瑁/《DE2+CE2=5,

X5入/十2

所以AD二BC二遍.

即從①②③任選兩個作為條件,都可以得到AD=BC=V5,（9分）

下面求AD與平面EAB所成角的正弦值.

以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為z軸,過點A且與AB垂直的直線

為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則

A（0,0,0）,B（V5,0,0）,D（0,0,遙）,E俘,卓，灼，

所以孤俘聾伺,AB=(V5,0,0),AD=(0,0,V5),

設平面EAB的一個法向量為m=(x,y,z),

則匡?m=0,

(AB?m=0,

—x+釁y+V5z=0,

S5

（vW=0,

令z=l,則x=0,y=-1,所以m=（o,-1,1）,（1。分）

所以cos<AD,m>=岳看M，（11分）

遍X詈3

因為直線AD與平面EAB所成角而,m>,

所以直線AD與平面EAB所成角的余弦值為鬻.（12分）

20.解析⑴證明：???AB〃CD,且AB=CD,J四邊形ABCD為平行四邊

形，???BG〃AD】，（2分）

???BGQ平面ADEADC平面ADR

???BG〃平面ADE（4分）

（2）以A為原點,AD,AB,AAi所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系，

設正方體的棱長為2,則

A(0,0,0),Ai(0,0,2),A(2,0,2),E(0,2,1),：.AA^=(0,0,2),AD^=(2,0,2),AE=(0

,2,1).(6分)

n?AD】=2x+2z=0,

設平面ADiE的一個法向量為n=（x,y,z）,則

n?AE=2y4-z=0,

令z=2,貝ijx=-2,y=-l,/.n=(-2,-l,2).(8分)

設直線AAi與平面ADE所成的角為0,

則sin0=|cos<n,AA；>\=|^-|=|-^±=-|4

故直線AAi與平面ADE所成角的正弦值為|.（10分）

⑶由（2）知，平面AD.E的法向量為n=（-2,-l,2）,C（2,2,0）,

則前二（2,2,0）,（11分）

???點C到平面AD.E的距離d二了二芋卜2.（12分）

|n|3I

21.解析（1）證明：:平面ABDJ_平面BCD,平面ABDCI平面BCD=BD,AE±BD,AEc

平面ABD,???AEJ_平面BCD.（3分）

⑵TAEJ_平面BCD,EFc平面BCD,AAE1EF.（4分）

由題意知EF±BD,AE±BD,

如圖，以E為坐標原點,EF,ED,EA所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐

標系E-xyz,

設AB=2,貝I」BD=DC=AD=2,BE=ED=1,

JAES,BC=2A/3,EF=—,(5分)