2022年新高考數(shù)學(xué)各地市期末好題分類匯編專題15 數(shù)列解答題（解析版）

專題15數(shù)列解答題

一、解答題

1.(2022?河北唐山?高三期末)已知S“是數(shù)列｛4｝的前〃項和，2S”=(〃+l)a“，且4=1.

⑴證明：｛半｝為常數(shù)列；

(2)若由=,求數(shù)列｛〃｝的前〃項和T”.

?！?1,an+2

【答案】(1)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由已知得2(q+%)=M，即/=2,利用/與工的關(guān)系化簡可得(〃-1)4=解』化簡

即可得出結(jié)果.

(2)由(1)可得4=〃，化簡可知〃=2二一工，通過裂項求和可得出結(jié)果.

n+2n+\

(1)

由已知得2(q+%)=3t?2，即出=2,

〃之2時，由2s〃=5+1)4,,2s“_|=〃〃…兩式相減得(〃-1)凡=〃％,

則2=七=~=?=目=1,又7=1

nn-\221

于是標(biāo)｝為常數(shù)列.

⑵

由(1)得見=〃.

a-2nn-T2n+,2n

nillfb=—2------=--------------=--------------.

、"-q+2(〃+i)(〃+2)#+2〃+i

(222'^(32｝‘2川2n+,,

722T\

故K7一句+〔彳一句+…7rL

2.(2022?河北保定?高三期末)在數(shù)列｛勺｝中，6=12,且數(shù)歹u｛〃“-2"｝是公差為2的等差

數(shù)歹IJ.

⑴求｛%｝的通項公式；

⑵設(shè)白=2"七二2%,求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

“Mi-i

【答案】⑴勺=2"+2〃-2

(2電二—^—

"2"+〃

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)數(shù)列｛%-2"｝是公差為2的等差數(shù)列寫出通項公式即可:

(2)由"==一竺:利用裂項用消法求和即可.

an%

(1)

因為數(shù)列｛4-2"｝是公差為2的等差數(shù)列，

所以/-2"=q_2+2(〃_1)=2,+6-4,

則為=2"+2〃+6-4.

因為％=12,所以23+6+4—4=12,解得4=2.

故q=2、2〃—2.

(2)

a-2a(12、2"2rt+l

因為功—2".2""—2"-———----

凡4”(44+Jan%

2

所以S”=__?

aa〃3a

422n4川46+i

二]2向=]2"x=2九二八

~~an~-rl~-2向+2屋2向+2〃-2"+〃'

3.(2022?河北張家口?高三期末)已知S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和，S,”/

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵求數(shù)列，的前〃項和0?

【答案】⑴―

（2）北=六7

【解析】

【分析】

5.,72=1

（1）利用為=:《'-求得/.

（2）利用裂項求和法求得q.

（1）

當(dāng)瓜.2時，由S,二〃2,得S“T=（〃_I）2,

則a〃=S”—S.T=/—（〃—1）2=2〃—1.

當(dāng)〃=1時，有S]=l=4，符合上式.

綜上，an=2n-\.

（2）

/11_If111

由得，4q「⑵1）（2〃+1）羽.亦T卜

則7；」口」+_1」+_1」+...+^_一_q

”2（1335572n-\2n+lJ

=斗__!_]=」.

2（2n+\）2n+\

4.（2022河北深州市中學(xué)高三期末）己知數(shù)列｛4｝的前n項和為S，4-3,

a?i=2S.+3（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)若數(shù)列廠二|的前〃項和為北，證明：Tn<\.

[她+J

【答案】（1）勺="；（2）證明見解析；

【解析】

【分^5】

（1）根據(jù)、。得到｛q｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，即可得到數(shù)列｛4｝

，一，1，〃之2

的通項公式；

（2）首先求出々=〃，令S-,再利用裂項相消法求和即可得證；

【詳解】

解：（1）因為4=3,%+]=254+3（〃cN*）,當(dāng)〃=1時出=2$+3=9,當(dāng)-22時,an=2Sn.,+3,

所以"-4=25+3-（2%+3）,即4.「q=2%,即q.廣甌，又％=3q,所以｛4｝是

首項為3,公比為3的等比數(shù)列，即％=3”.

（2）由（1）知％=3",「.bLlog3a0=1嗎3"=〃,令6=住~,則

111__1_

C""%n（n+l）n〃+1'

所以q=G+G+..G=l」+L—+...+--=1----<1.

"12"223nn+\n+\

5.（2022?山東萊西?高三期末）已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S”，且q,勺，S”為等差數(shù)列；

數(shù)列｛2｝滿足仇=6,"=S”+，+4.

⑴求數(shù)列也｝的前〃項和，；

3〃一207m—4

⑵若對于\/〃￡N，總有------〈一加一成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】（1）（=2"「擊+3〃.

（2）m>-.

7

【解析】

【分析】

（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)得2q=q+S”，繼而有2q.1=4+S“…兩式相減得為“=2%,由此

得數(shù)列｛〃“｝是以2為公比的等比數(shù)列，求得耳，S“，再由此求得以，運(yùn)用分組求和法和等

比數(shù)列的求和公式可求得

（2）由（1）將不等式轉(zhuǎn)化為7〃L4>64X2，，再令?！?今券，作與網(wǎng)，

判斷出當(dāng)〃=8時，％取得最大值上，由此得7"-4>64x3,求解即可.

（1）

解：因為q，4，S”為等差數(shù)列，所以2，三%十邑，所以2%+I=q+S”,1,兩式相減得

2%—2%=S”+「S”，

即=2q,所以數(shù)列｛〃“｝是以2為公比的等比數(shù)列，

又偽=6,bn=Sn+—+4,所以6=4+,+4,解得4=1,所以勺=2小，

ana\

0l-2rt-，x2.

□?=-------------=2—1?

“1-2

所以%=2T+擊+4=2”+擊+3,

所以7；=/-=（2+擊+3*?+表+3>...+（2"+擊+3）

=（2+22*1-----k2"）II"j"1-----Z'T卜3〃

.11

l-2flx21――

"2J

2

=2日-擊+3%

所以7>2””-擊+3〃：

（2）

,,3丁3-、13〃-2077w-43r,一3〃一20

解：由（z1x）得不等式為亍整理得7m-4>64x亍=，

人3〃—20...3（〃+1）-203n-2023-3〃

令。=下「，則%-------近L下L，

所以當(dāng)0v〃W7,〃€N'時，c”+「c”>0,即。+/q,

當(dāng)心7,〃cN*時，*「c”<0,即所以當(dāng)“8時，c“取得最大值c產(chǎn)至辭=],

所以7/〃—4>64x-!-,即7/〃一4>2,解得心士

327

所以實數(shù)小的取值范圍為用>:

6.（2022?山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項和配,滿足：4=1,

Sn+i=2s“+1,〃wN*.

（1）證明：數(shù)歹Ms,+1｝為等比數(shù)歹|J；

⑵設(shè)包=金一,求數(shù)列｛〃｝的前"項和

【答案】(1)證明見解析；

(2)4=1_

Z-1

【解析】

【分析】

(1)利用給定的遞推公式變形即可推理作答.

(2)由(1)求出么的表達(dá)式，再借助裂項相消法計算作答.

(1)

數(shù)列｛。力的前〃項和S”，由5向=2邑+1,有S〃X+1=2(S,+1),而E+l=4+l=2,

所以｛S〃十1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.

(2)

由(1)知，S.+l=2",于是得a“u=Sw-S.=2"+「l-(2"-l)=2",

肉葉b=2"-QI)=1______1_

”一(2用一1)(2"-1)(2w+,-l)(2w-l)2W-12川一1，

所以(=4+4+...+么=(-^-------------------^―)+???+(------J—)=i——5—.

"12"2'-122-122-123-12"-12n+l-l2n+l-l

7.(2022?山東青島?高三期末)給定數(shù)列｛4｝,若滿足4=。(。＞0,且々￥1),對于任意的

丸nwN*，都有分+”=品?,則稱包｝為“指數(shù)型數(shù)列

⑴已知數(shù)列｛4｝的通項公式為可=3",證明：｛4｝為“指數(shù)型數(shù)列”；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足：a｝=la?=2an+i+ana?+ii

(I)判斷J'+l是否為“指數(shù)型數(shù)列“，若是給出證明，若不是說明理由；

(H)若4=9〃，求數(shù)列也｝的前〃項和九

【答案】(1)證明見解析

(2)(I)是，證明見解析；(II)北=2田+歿5-2.

【解析】

【分析】

(1)由新定義直接驗證即可證明

121

(2)(I)由題意可得一=一+1,先求出一+1的通項公式，再由新定義直接驗證即可.

%+1an(A.

(H)由題意可得以=2"+〃-1,由分組求和即可得出答案.

(1)

%?4=3MS"=3g"=M為”指數(shù)型數(shù)列“

(2)

(1)將4=M1.1+4，。/1兩邊同除4?4+]

得：—=—+1,.-.—+1=2(—+1)

是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列

+l=2rt

°n

(―+1)(—+1)=2M+W=—+1

Ofn4-rn

是“指數(shù)型數(shù)列”

(II)因為」~+1=2"，則么='+〃=2"+"-1

%4

.-.7；,=(2+22+L+2")+(l+2+L+〃)-〃

2x(12)(1+〃)x〃,

1-22

2

8.(2022?山東臨沂?高三期末)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和為力，且滿足〃=，+可+2(〃6川)，

2'=3(4+。6).

⑴求數(shù)列的通｛〃“｝項公式：

⑵若以=見+仁『，求數(shù)列也〃｝的前〃項和0.

【答案】（1）可=2〃

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)凡+i=S"+「S”化簡條件可得數(shù)列為等差數(shù)列，再由2%=3（%+4）求出首項即可

得出等差數(shù)列的通項公式；

（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式利用分組求和即可求解.

（1）

??F+i=%+a“+2（〃wN'）

4=2，

.??｛〃“｝是以2為公差的等差數(shù)列，

?.?*5=3（《+4）

2x56=3x2a5,

即10（4+4）=6（4+8）,

解得q=2,

/.??=2+（n-1）x2=2n

（2）

\_

4

Tn=2(1+2+3+…+m)+

9.（2022?山東淄博.高三期末）己知數(shù)列｛?）滿足

a2~a\a3~a2a4~a3q+1一””

⑴設(shè)"=凡+「凡，求｛〃｝的通項公式；

(2)若q=2,求｛4｝的通項公式.

【答案】⑴以吟;

⑵%=4-興

【解析】

【分析】

(1)分析可得廠+丁+7+…+:=2向-2,由前〃項和與通項的關(guān)系可求得數(shù)列出｝的通

項公式；

(2)由已知可得。川-勺=￡，利用累加法與錯位相減法可求得數(shù)列｛4｝的通項公式.

(1)

123n_?|_

解：由已知可得7■+1+丁+…+r=2+-2.

b\打,bn

當(dāng)〃=1時，則有上=2,可得4=(,

123n__1_123〃-15-

當(dāng)〃22時，由一丁+1++…+丁=2"-2pJ^-+—+-+?■?+—=2-2,

AAbybn瓦h(yuǎn)24%

上述兩個等式作差可得/=2角-2”=2"，所以，b：

滿足以=￡，故"=￡.

(2)

解；由⑴可得*_%=襲，

設(shè)s”=g+最+―+…+/，則;S“整+京+…品，

上述兩個等式作差可得殳=2+《+!+…+占-磊=2，:)$

1--

2

〃+2

F，

所以，S.=2一噤,

)2

由已知可得小-4=3，〃3-。2=至，L，(1“八-4=果，

累加得。.「6=2=2-噤，所以，q”9

'/r+1T

因此，aa=4一2，

因為4=2符合上式,

所以…一貂

10.（2022?山東棗莊?高三期末）已知等差數(shù)列｛&｝中，4=2,公差d>0,其前四項中去

掉某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列｛〃｝的前三項.

⑴求d的值：

⑵設(shè)｛4｝中不包含也｝的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列匕｝,記匕｝的前〃項和為S“，求

,^200?

【答案】（1）4=2

（2）42962

【解析】

【分析】

（1）等差數(shù)列｛勺｝的前四項為2,2+4,2+24,2+34,分別討論去掉第一項、去掉第

二項、去掉第三項、去掉第四項，余下的三項成等比中項列可得答案；

（2）由⑴。“=〃，a=2"，計算出的。。，瓦，酊囁，得｛7｝的前200項是由｛為｝的

前208項依次去掉｛〃｝的前8項得到的.再利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和求和可得答

案.

（1）

等差數(shù)列｛〃“｝的前四項為2,2+d,2+2d,2+34,

若去掉第一項，則有（2+2dy=（2+d/2+3d）,解得d=0,不符合題意，

若去掉第二項，則有（2+2jy=2（2+3d）,即4/+2d=0,

由題意，這是不可能的，

若去掉第三項，則有（2+4）2=2（2+34）,解得4=0（舍去），或d=2,

若去掉第四項，則有（2+d）2=2（2+2d）,解得d=o,不符合題意,

綜上，d=2.

⑵

由⑴，an=2+2（n-l）=w,

等比數(shù)列也｝的前三項為2,4,8,故也｝的公比。=%=2,

所以2=2,2"T=2",

9

由囁=2x200=400,々=28=256,/?9=2=512,=2x208=416,

知￡｝的前200項是由｛為｝的前208項依次去掉也｝的前8項得至U的,

于是$200=(4+&+L+%8)-伯+H+L+&)

(4+〃208)X2084一散

—1-2

(2+2x208)x2082-2x28

=42962.

~1-2

11.（2022?山東泰安?高三期末）在等比數(shù)列｛4｝中，4，出，4分別是下表第一，二，三列中

的某一個數(shù)，且4M2，%中的任何兩個數(shù)不在下表中的同一行，設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”.

第一列第二列第三列

第一行1-416

第二行27-10

第三行5128

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）證明：數(shù)列｛S“｝中的任意連續(xù)三項按適當(dāng)順序排列后，可以成等差數(shù)列.

【答案】（1）q=2（-2產(chǎn)

（2）證明見解析

【解析】

【分析】

（1）分別討論4=1、4=2、0-5時與小、內(nèi)的值構(gòu)成的等比數(shù)列可得答案;

（2）求出S.、5向、S..2根據(jù)等差中項性質(zhì)可得答案.

（1）

當(dāng)4=1時，不論生取7還是12都不能與-10或8構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意

當(dāng)4=2時，當(dāng)且僅當(dāng)生=-4,%=8時符合題意，

當(dāng)4=5時，不論生取7還是-4都不能與-10或16構(gòu)成等比數(shù)列，不合題意,

?,.q=_2,.?.q=2?(_2嚴(yán).

Q)

2[1-(-2)[

"-1-(-2)

4?44

.??，+%=]+；(-2嚴(yán)W(-2)”

'?7'

=2---(-2/=25?,

,Sn,Sa+2或S?+2,S“,5”.i成等差數(shù)列,

???數(shù)列｛S,｝中的任意連續(xù)一.?項按適當(dāng)順序排列后可以成等差數(shù)列.

12.（2022?山東日照?高三期末）數(shù)列應(yīng)｝中，已知q=lMe=S”+l,數(shù)列｛加｝滿足4=々，

點P（2也z）（〃eN?）在直線x-y+3=。上.

⑴求數(shù)列｛《｝,｛"｝的通項公式；

（2）數(shù)列｛4｝中滿足：①%<999；②存在〃?wN“使久=。”的項組成新數(shù)列｛??〃｝,求數(shù)列｛C7?｝

所有項的和.

【答案】（1）凡=2小，bn=3n-2

(2)341

【解析】

【分析】

(1)由凡與S”的關(guān)系式可得｛q｝通項公式，再由點P與直線的關(guān)系可得｛〃｝的通項公式;

(2)找出｛《｝,｛"｝滿足條件的共同項再求和即可.

(1)

q+1=2〃“①，%=S1+1=2,滿足①，

所以｛凡｝是以1為首項2為公比的等比數(shù)列，

所以勺=2"1

因為點P電也+1)(〃eN')在直線x-y+3=0上，

所以々+「勿=3,…=1,低｝是首項為1公差為3的等差數(shù)列，所以以=3八-2.

(2)

%<999且滿足/=勺的｛&｝中項一定是除3余1的數(shù)，即形如4”=22”的數(shù)，

2345

同時。=4=1滿足，所以°2=4,c3=4,c4=4,c5=4=256,4=1024>999

數(shù)列｛?！ǎ许椀暮蜑椋?+4+42+43+4,=341.

13.(2022?山東青島?高三期末)已知數(shù)列｛尺｝滿足：

(1)求證：存在實數(shù)義，使得6+46T=；(EI+義工.2)；

(2)求數(shù)列｛乙｝的通項公式.

【答案】(1)證明見解析

⑵工=32"--[(-5

【解析】

【分析】

(1)先假設(shè)存在，再通過變形論證存在即可；

（2）通過⑴先得到工-2工一尸-（一夕咒再變形為《+*夕=2［&+?］即可

求解.

（1）

證明：由6+46T=；（EI+丸工.2）變形整理得：K=J—4）KT+EL2，

AA

所以:-4=1,解得4=一2或2=；,經(jīng)檢驗，％=-2或4=；都滿足題意.

故存在實數(shù);I，使得K+"；T=2優(yōu)T+/-2）?

A

（2）

由（1）不妨取2=-2,則有E一2&=—"廠2立2），

而鳥-2耳=-1=0,所以數(shù)列｛工-2Kl是首項為T,公比為-g的等比數(shù)列，

所以工-2居」=-（-g）T,（〃N2,〃eN*）,即居-2居」=-4（-5”,

設(shè)其可變形為笈+?-夕=2［Fn_x+/（-:產(chǎn)］,解得”;

即有K+*/而￡+*；）=|?

故數(shù)列｛工+《（-》”｝是首項為公比為2的等比數(shù)列，

所以"+%-=］、2小，即

J/JJ。乙

經(jīng)檢驗，〃=1也滿足上式，故乙=321-（（-；）”.

14.（2022?山東德州?高三期末）已知等差數(shù)列｛4｝中，d=4,首項％>0,其前四項中刪去

某一項后（按原來的順序）恰好是等比數(shù)列｛2｝的前三項.

（I）求｛4｝的通項公式：

⑵設(shè)｛4｝中不包含也｝的項按從小到大的順序構(gòu)成新數(shù)列匕｝,記｛&｝的前〃項和為S.,

求SQ

【答案】⑴?=4〃

⑵S20=1176

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意求出q=4,從而求出通項公式；(2)先求出｛4｝的前25項和，再減去前25

項中含有數(shù)列｛"｝中的項的和，求出答案.

(1)

等差數(shù)列｛4｝中，4＞。，d=4,其前四項4，q+4,q+8,q+12中刪去某一項后(按

原來的順序)恰好是等比數(shù)列｛a｝的前二項.

根據(jù)題意，當(dāng)刪去數(shù)列｛凡｝中第三項4+8時，

滿足(4+4)2=4x(4+12),解得4=4；

刪去叫時，滿足(q+8)2=(q+4)x0+⑵，此方程無解,不滿足題意,同理可證，刪除4+4

與q+12時，均不滿足題意；

故％=4；

所以q=4+4(〃-1)=4〃，

(2)

已知等差數(shù)列｛an｝中，?！?4〃,

數(shù)列｛四｝中的項為:4,8,16,32,64,128,256,...?

所以a2s=100.

故數(shù)列｛4｝的前25項和為&=4x25+至/x4=1300,

數(shù)列｛4｝的前25項中含有數(shù)列｛4｝中的項的和為4+8+16+32+64=124,

所以%=1300—124=1176.

Ln-2k-\

15.(2022?山東煙臺.高三期末)已知數(shù)列｛4｝滿足4=4,5""+〃'〃=(kwN).

an-2%n=2k

(1)記"=生”-2,證明：數(shù)列,/為等比數(shù)列，并求｛〃｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛q｝的前2n項和S2n.

【答案】(1)證明見解析：”=g產(chǎn)，〃eN;

⑵S2n=-2n2+6n+6-.

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)給定的遞推公式依次計算并探求可得或求出4即可得證，并求出通項公式.

(2)由(1)求出色.，再按奇偶分組求和即可計算作答.

(1)

依題意，=叼"2一2=3生〃+】+(2〃+1)-2=3(。2“一2乂2〃)+(2〃+1)-2=3%-1

1,一、1,

=5(出“_2)=#

而b]=%-2=gq+1-2=1>0,

所以數(shù)列｛〃｝是以1為首項，g為公比的等比數(shù)列，"=g)"T,〃eN.

(2)

i_(i)n

由(1)知，々2.=2+2=(；)"T+2,則有a2+6+…+W”=--^-+2n=2-(^-)n~l+2n,

21--2

2

又出”=g?2?-i+2〃-1，則a2n_x=2a2n-2(2〃-1)，

于是有4+/+…+/”-i=2(%+%+…^x〃=2[2-g)"T+2川-2/

2

=-2/?2+4/1+4-,

2

因此，S2n=(ai+a3+-+a2n_l)+(a2+a4+-+a2n)=(-2n+4n+4-：^)+(2-^+2n)

=-2n2+6/1+6--,

3

所以S?”=一2/?+6n+6-尸p?

【點睛】

思路點睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，有的可

借助累加、

累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系，有的可利用奇偶分析逐步計算探求項間關(guān)系而解決

問題.

16.（2022?山東濟(jì)南?高三期末）已知數(shù)列｛《｝滿足：%+2+（-1）"?！?3，6=1，%=2.

（1）記以=生小，求數(shù)列｛〃｝的通項公式；

（2）記數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”,求％.

【答案】⑴―

（2）353

【解析】

【分析】

（1）令〃取2〃-1代入已知條件可以得到%-勿=3,從而求出數(shù)列｛〃｝的通項公式

（2）先分奇偶求出數(shù)列｛q｝的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，相加得到

（I）

因為。”+2+（一1）"?！?3，令〃取2〃一1,則。2”+1一。2〃-1=3,

即以+「2=3,耳=4=1,所以數(shù)列也｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以以=3〃-2

（2）

令〃取2”,則。2”+2+生==3,

所以&）=（4+%4---卜％）+（出+。4----1"%）），

由（1）可知，％+%+…+々29=4+"+…+/=330；

_|

02+a4H---卜4“=02+（4+46）---1-（^4-^）=2+21=23；所以S30=330+23=353

17.（2022?湖北武昌?高三期末）已知數(shù)列｛q｝滿足％=1,生=2,且對任意〃cN’，都有

an+2=3an+i-2an.

⑴求證：｛%「4｝是等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

12m15

（2）求使得不等式一+—+…+—"Z成立的最大正整數(shù)m.

a\a2am4

【答案】（1）證明見解析；%=2"

（2）m=6

【解析】

【分析】

(1)由條件可得％+2一”川=2(q用-4)從而可證明，再根據(jù)累加法可求出｛4｝的通項公式.

⑵由錯位相減法求;1;一+—+…+2的表達(dá)式，然后再解不等式從而得出答案.

4%%

(1)

由q+2=3q+i-24，得%-*=2(%-a”),

所以｛。用-2｝是等比數(shù)列.

所以%「%=他一4)><2”7=2〃7

從而4=(4一6”)+(。1一%_2)+…+3-％)+(生一4)+4

=2n~2+2"3+…+2°+q=2n-2+2”-+…+1+1=2M

所以，勺=2一.

⑵

12

設(shè)L=—I-----1-----1-----

□nc123m-\m”-23m-\m

即5”,=,+]+齊+…++廣，所以,2S-=2+,+/+…+

于是，S=2d----1----F…H-------H-----7------r=4--------.

?m]22M3-2"'-22陽-2度一

因為鼠1=鼠+等〉鼠，且56=?，

所以，使—[+—2+…+型AW"丁]5成立的最大正整數(shù)〃?=6.

4出外4

18.(2022?湖北江岸?高三期末)已知數(shù)列｛4｝中，4=1,%=3,且滿足

%二4?1/V、

〃(％+2-%+J(〃+1)(%-%)2〃(〃+1)("，卜

⑴設(shè)2=T」(〃eN)證明：也｝是等差數(shù)列；

4.1一%

⑵若C”吟(〃€N)求數(shù)列｛叫｝的前〃項和S“.

n

【答案】(1)證明見解析；

⑵S*3"-1.

【解析】

【分析】

(1)利用等差數(shù)列的定義可證得數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列：

(2)求出數(shù)列｛a｝的通項公式，可求得數(shù)列｛4｝的通項公式，可得由〃%=2X3”-\再利用

等比數(shù)列的求和公式可求得

(1)

a””_an1

"明：'〃(%+2-q+1)(〃+1)(《川?％)+2〃(〃+1)，

.(〃+%+]所以.%="+；,即％-2二；,

-i4“一勺222

所以，數(shù)列｛〃｝是以々=g為首項，公差的等差數(shù)列.

(2)

解：由(1)可得：2=〃+(〃—lN=](〃eN'),所以，丁色丁=3，

整理可得。向=3%，所以，數(shù)列｛④｝是以4=1為首項，公比夕=3的等比數(shù)列，

a2x3”"

所以，勺=尸，則-----,則〃%=2X3"T

hn〃

l2w|21-3n

所以，Sn=2x(l+3+3+---+3-)=^=3-l-

19.(2022?湖北襄陽?高三期末)設(shè)｛4｝是正項等比數(shù)列，也｝是等差數(shù)列，已知q=l,

a4=a3+2a2,a4=b2+bb,%=2+4".

⑴求｛4｝和｛a｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列k”｝滿足c'=3"log2%,是否存在實數(shù)〃、q,使得｛c“｝前〃項和為

(=(今江)3川+4，如果存在，求實數(shù)〃、4的值，如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)?！?2「勿=〃；

9

(2)存在，P=4,q=~.

4

【解析】

【分析】

（1）利用等比數(shù)列的通項公式及等差數(shù)列的通項公式即求；

（2）由題可得％=（〃-1>3”，然后利用錯位相減法可得看=（&^）37+名，再結(jié)合條件

即得.

（1）

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為小,數(shù)列低｝的公差為d，則

由4=4+2%，得七夕：=七41+2a2，即夕；一1一2=0,

解得［=2或q=T（舍），又4=1,

所以勺二2小,

偽+4=82&+6d=8

,即

b4+4b7=3254十27d=32

（b.

解得「

所以4=〃；

(2)

,??c”=3'/og2凡，

n,nn

.\cfl=log22--3=(w-l)3

于是7；=03+1了+21+...+(〃-2>3”T+(〃-1>3”,

37；=0-32+l-33+2-344-.+(n-2)-3n+(/i-l)-3rt+,,

兩式相減可得:

駕戶—（〃7）.3yl一〃卜9

-27；=32+33+34+.??+3W-(n-1)-3rt+,

2

平卜"+'又因為k］等上+4

所以存在P=4,g使得匕｝前〃項和為7；=（寫

20.（2022?湖北省鄂州高中高三期末）己知數(shù)列｛4｝滿足4=1,勺+%=2〃：數(shù)列出｝前

〃項和為s”,且4=1,2Sn=bll+i-\.

⑴求數(shù)列｛凡｝和數(shù)列也｝的通項公式；

（2）設(shè)%=%力“，求匕｝前2〃項和

【答案】⑴叫（〃」，（n=2k-\,keZ）

IT

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；

（2）利用錯位相減法進(jìn)行求解即可.

（1）

n>2,q_]+q=2（〃一l）,，％+]—a“_|=2,又q=l,a2=lf

n=2k-1（2為正整數(shù)）時，｛4z｝是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，

???%T=2"1,an=n,n=2k（女為正整數(shù)）時，｛出J是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.

n,(n=2k-\,kGZ)

/.a=2k-\,a=n-

lkn/i-1,(/1=2k,kwZ)

???2，=%-1,??.〃22時，2sL-1,工2—“,

-1

又3-3,???速/2時,bn-3""，々=1=3°,/.bn—3"；

⑵

w

,fw3-',(n=2k-ltkeZ)

由⑴得%=1(〃_I)3T(〃=2QZ)，

=(1X30+3x3?+5x3'+…+(2A—1)?32"-2)+0X3|+3X33+5X35+???+(2〃-1),32小)

=4(1x3°+3x324-5x34+.-(2n-l)-32rt-2)

設(shè)K“=lx3°+3x32+5x34+…(2〃-1>32"-2①

貝ij9K“=1X32+3X34+5X36+???+(2〃-1>32"(2)

①一②得-8K,,=1+2(32+34+--+32"-2)_(2〃_1).32"=5+(8〃-5)9,

5+(8〃-5)9”5(81)9”

l322"―8

21.（2022?湖北?高三期末）已知等比數(shù)列｛4｝的公比為心前〃項和為S“，an>0,

3a2+2%~a4?S§=\34+4.

⑴求｛4｝；

⑵記數(shù)列血｝中不超過正整數(shù)機(jī)的項的個數(shù)為,，求數(shù)列也“｝的前100項和小.

【答案】（1）勺=打

（2）384

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義和求和公式，列出方程組，解出片和公比9,則可求出其通項公

式；

（2）由（1）可求得仇=1,且當(dāng)3"-七〃?<3"時，九=〃，可依次求出力的值，再求和即可.

（I）

由3%+2%=4得342+2,4，則q2-24-3=0,

因為例>0,則4>0,4=3,

又S$=IM+4,皿二工2=]3%?9+4,則q=l,

1-3

所以e=3i.

(2)

(2)由題設(shè)及(1)得4=1,且當(dāng)3"T?〃7<3"時，鼠=%即

瓦=a=1力3=b、=…=瓦=2,b§=%=…=&6=3,

b27=%=.,?=%=4也]=%=.??=￡?=5,

所以Zoo=1x2+2x6+3x18+4x54+5x20=384.

22.（2022?湖北?恩施土家族苗族高中高三期末）已知｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，且“,電,

4成等比數(shù)列.

（I）求s〃｝的通項公式；

（II）求數(shù)列糕｝的前〃項和.

【答案】（1）4=〃.（2）S.=2-噤.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式和等比中項定義，求得首項和公差，進(jìn)而求得凡的通項公式.

（2）數(shù)列祟可以看成等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，因而前n項和可用錯位相減法求解.

【詳解】

（1）由題意得。2?=44，「.（4+1）2=4（4+3）,故巧=1,

所以｛《』的通項公式為

（2）設(shè)數(shù)列C的前「項和為S“，則

c123n

5/1=2+2T+F+，，*+27，

4+盤+卷+…+3，兩式相減得gsO=：+（《+《+!+…+/

所以S.=2-騫.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列通項公式、等比中項的定義，錯位相減法在求和公式中的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

23.（2022?湖南婁底?高三期末）在等差數(shù)列｛《,｝中，己知。2,%是一元二次方程

d-i9x+70=0的兩個根.

⑴求出，生;

（2）求｛《,｝的通項公式.

【答案】（1）%=5,%=14或%=14,a5=5

(2)。“=3〃-1或勺=-3〃+20

【解析】

【分析】

(1)求出方程的根即可.

(2)由(1)可解出等差數(shù)列的公差即可.

(1)

因為爐一19X+70=0,所以x=5或14,

所以出=5,?5=14；或%=14,%=5.

⑵

設(shè)公差為其

若電=5,6=14,得d二(-=3,

5-2

所以通項公式為q=&+(〃-2)d=3〃-l；

若%=14,%=5,則d=^l=_3,

所以通項公式為=a2+(n-2)d=-3n+20.

故｛4｝的通項公式：%=3〃-1或q=-3〃+20.

24.(2022?湖南常德?高三期末)已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為%且5“=(〃+1)(勺-〃乂〃￡”).

(1)求修，生并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

an,\</;<10

(2)若數(shù)列也｝滿足：btt=-4求數(shù)列低｝前20項的和7.

4%'

【答案】(1)4=2,生=4,atl=2n

(2)2201

I'20

【解析】

【分析】

(1)在已知條件中分別取〃=L〃=2可求得4生的值，當(dāng)"N2時利用和與項的一般關(guān)系

%=S.-Si得到4-凡一尸2(〃22),從而判定數(shù)列為等差數(shù)列，然后得到通項公式;

（2）利用分段求和法、等差數(shù)列求和公式和裂項求和法求得數(shù)列｛仇｝前20項的和（0.

⑴

解：由題可知，4=S1=2（4-1）,解得4=2.

在Sn=(〃+1)(4一〃)中令〃=2,得4+電=$2=3(&-2),解得出=4；

???S”=(〃+l)&-〃)①,

???S.T=〃--叨(〃之2)②,

由①一②得：%=(〃+1)4—〃4“一2〃，即〃一4T-2)=0(〃22),

???q_*=2(〃22).

???數(shù)列｛4｝是首項與公差都為2的等差數(shù)列,

an=q+(w-l)J=2/i.

⑵

解：題可知，當(dāng)時，”=2〃.

…+%=1°佃;兀）=11。

當(dāng)〃對時，“最T扁刁=潤1

n，

…+演=4-撲(*=)+…+(=-±)4-±4,

4=(4+…+40)+(4］+…+%)=110+==^^.

25.（2022?湖南郴州?高三期末）已知數(shù)列｛an｝的前〃項和為S“，q=2,且S,川=2+2S”（〃21）,

也」是公差不為0的等差數(shù)列，且々也也成等比數(shù)列，/曲。必成等差數(shù)歹U.

⑴求｛6｝,也｝的通項公式；

72〃+1/、

⑵若%=（-1）（包+1）幅4,求｛c”｝的前2〃項和心.

［答案］⑴…“；b,=n

⑵篇

【解析】

【分析】

(1)由已知列式解方程組可得解.

(2)裂項求和即可.

(1)

『S—2+2s

???當(dāng)〃22,兩式相減可得以=4(〃之2)

由S1=%=2,代入S?i=2+2S”可得S?=6,%=4,滿足%=24,

所以M,｛勺｝為等比數(shù)列、：.⑸=2",

不妨設(shè)等差數(shù)列｛〃｝公差為d，由條件可得

b；=btb4,2bi0=%+4,

他+d)2=a(a+3d)

解得&=l,d=l,

2(4+94)=4+16

所以2=1+(〃-l)xl=〃

⑵

./i\"+i2〃+1

由⑴可知c*(T)*而可

2/2+12〃+1

26.(2022?廣東揭陽?高三期末)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，々=區(qū)%-4=48.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)2=log,空，求數(shù)列H的前"項和S”.

■2〔她+2)

【答案】⑴凡=2x3”

32/2+3

⑵12(八+1)(〃+2)'

【解析】

【分析】

(1)由條件可得＜?24Q，從而可解得4闖，得到答案.

aq-?1=48.

(2)由(1)可得d=〃，則[二二一白齊=；仁一=],利用裂項相消法可得答案.

她-2〃(〃+2)2(〃n+2)

(I)

設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為q,依題意可得

%=67^=18,

%-4=4夕2-at-48.

解得4=3或q=-g,又因為數(shù)列｛《,｝的各項均為正數(shù)，所以4=3.

從而可求得4=6,

所以，q=6X3”T=2X3".

⑵

d=1嗝甘=晦3"=〃，

1=1=1/1__

她+2〃(〃+2)5("n+2)

111]1

S”=------1---------1-------F???+

1x32x43x5(〃-1)5+1)〃(〃+2)

32/7+3

12(〃+1)(〃+2)

【點睛】

27.(2022?廣東潮州?高三期末)設(shè)等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為S”,4=6%=14.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項公式4及前〃項和S”；

(2)若,求數(shù)列2“｝的前〃項和

在①4=24%;②"二"磬上這兩個條件中任選一個補(bǔ)充在第(2)問中，并求解.

(注意:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)

【答案】⑴%=2〃，=1+〃；

⑵若選①"=2%q，?；=枷-1):+8；

若選②包,7；=8ZZ+^L

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式進(jìn)行求解即可；

(2)若選①2=2"〃/，利用錯位相減法進(jìn)行求解即可；

若選②"=%三%,利用裂項相消法進(jìn)行求解即可.

(1)

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由《=6%=14,可得：

q+2J=6八ccc(2+2〃)〃

?=>d=2,4=2=2+(〃-1)?2=2n,S=-------=/T2+〃；

4+64=142

(2)

若選①a=2%可.

因為。=2",

所以。=2/a”=22n(2n)=4"?(2以,

因止匕7；=4x2+42x4+43x6+…+4”.(2〃)，

4￡=42x2+43x4+4$x6+…+4”(2通,兩個等式相減得:

-37；=4x2+42x2+43x2+...+