河南省漯河市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

河南省漯河市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲烷是一種有機(jī)化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個(gè)氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個(gè)氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個(gè)H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)的四面體的體積為（）A. B.C. D.2．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為A.10 B.12C.16 D.203．已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.4．若且，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A B.C. D.5．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個(gè)問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為，則（）A.－4 B.－10C.4 D.107．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取2次，則在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為（）A. B.C. D.8．某家庭準(zhǔn)備晚上在餐館吃飯，他們查看了兩個(gè)網(wǎng)站關(guān)于四家餐館的好評率，如下表所示，考慮每家餐館的總好評率，他們應(yīng)選擇（）網(wǎng)站①評價(jià)人數(shù)網(wǎng)站①好評率網(wǎng)站②評價(jià)人數(shù)網(wǎng)站②好評率餐館甲100095%100085%餐館乙1000100%200080%餐館丙100090%100090%餐館丁200095%100085%A.餐館甲 B.餐館乙C.餐館丙 D.餐館丁9．中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且10．某學(xué)校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，對他們每周使用手機(jī)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下的頻率分布直方圖.則下列說法：①；②若抽取100人，則平均用時(shí)13.75小時(shí)；③若從每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生中用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.其中正確的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③11．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知雙曲線，且三個(gè)數(shù)1，，9成等比數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是（）A.的焦距為 B.的漸近線方程為C.的離心率為 D.的虛軸長為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，點(diǎn)P是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為___________________；若點(diǎn)Q為拋物線E：y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，Q在直線x=-1上的射影為H，則的最小值為___________.14．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.15．達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂一樣，數(shù)學(xué)和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的邊長為1，則點(diǎn)到直線的距離是__________.16．雙曲線離心率__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列，，（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．（12分）已知直線，圓.（1）若l與圓C相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若l與圓C交于A，B，且，求的面積.19．（12分）已知圓C：x2+y2+2ax﹣3＝0，且圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線3x﹣2y﹣3＝0對稱.（1）求圓C的半徑r；（2）若直線l過點(diǎn)A（2，），且與圓C交于MN，兩點(diǎn)，|MN|＝2，求直線l的方程.20．（12分）某校為了了解在校學(xué)生的支出情況，組織學(xué)生調(diào)查了該校2014年至2020年學(xué)生的人均月支出y(單位：百元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號(hào)t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中連續(xù)的兩年里，兩年人均月支出都超過4百元的概率；（2）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（3）利用（2）中的回歸方程，預(yù)測該校2022年的人均月支出.附：最小二乘估計(jì)公式：，21．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為PA和PC的中點(diǎn)（1）證明：直線DM∥平面PBC；（2）求直線BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求點(diǎn)P到平面DBN距離；（5）設(shè)點(diǎn)N在平面BDM內(nèi)的射影為點(diǎn)H，求線段HA的長22．（10分）已知為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用余弦定理求得，計(jì)算出正四面體的高，從而計(jì)算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A2、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長的求法，屬于基本知識(shí)的考查3、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過程，屬于基礎(chǔ)題4、C【解析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【詳解】，故錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項(xiàng)解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題5、D【解析】根據(jù)題意將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個(gè)算式，得：，解得，故選：6、A【解析】根據(jù)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的規(guī)律：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，即可求出點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求.【詳解】解：由題意，關(guān)于平面對稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)保持不變，豎坐標(biāo)變?yōu)樗南喾磾?shù)，從而有點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，?1，-3）.故選：A【點(diǎn)睛】本題以空間直角坐標(biāo)系為載體，考查點(diǎn)關(guān)于面的對稱，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率，再利用對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，每次取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件為A，則，且每次取球是相互獨(dú)立的，在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的事件M，其對立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號(hào)為3的球的事件，，則有，所以在兩次取得小球中，標(biāo)號(hào)最大值是3的概率為.故選：C8、D【解析】根據(jù)給定條件求出各餐館總好評率，再比較大小作答.【詳解】餐館甲的總好評率為：，餐館乙的總好評率為：，餐館丙的好評率為：，餐館丁的好評率為：，顯然，所以餐館丁的總好評率最高.故選：D9、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即故答案為D.10、B【解析】根據(jù)頻率分布直方圖中小矩形的面積和為1可求出，再求出頻率分布直方圖的平均值，即為抽取100人的平均值的估計(jì)值，再利用分層抽樣可確定出使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為3.【詳解】，故①正確；根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)出平均值為，所以估計(jì)抽取100人的平均用時(shí)13.75小時(shí)，②的說法太絕對，故②錯(cuò)誤；每周使用時(shí)間在，，三組內(nèi)的學(xué)生的比例為，用分層抽樣的方法選取8人進(jìn)行訪談，則應(yīng)從使用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)為，故③正確.故選：B.11、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D12、D【解析】先求得的值，然后根據(jù)雙曲線的知識(shí)對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】方程表示雙曲線，則，成等比數(shù)列，則，所以雙曲線方程為，所以，故雙曲線的焦距為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.漸近線方程為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.離心率，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.虛軸長，D選項(xiàng)正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】（1）利用直譯法直接求出P點(diǎn)的軌跡（2）先利用阿氏圓的定義將轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)到另一個(gè)定點(diǎn)的距離，然后結(jié)合拋物線的定義容易求得的最小值【詳解】設(shè)P（x，y），由阿氏圓的定義可得即化簡得則設(shè)則由拋物線的定義可得當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義及幾何性質(zhì)，同時(shí)考查了阿氏圓定義的應(yīng)用．還考查了學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想、方程思想等思想方法解題的能力．難度較大14、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，不等式恒成立，只要即可，因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長交于點(diǎn)，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.16、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）利用求出通項(xiàng)公式，根據(jù)已知求出公比即可得出的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可求解.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，所以；【小?詳解】因?yàn)?，，則，兩式相減得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）求出直線的定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上得出切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由（1）知，證明為直角三角形，求出，，最后由三角形的面積公式求出的面積.【詳解】（1）圓可化為直線可化為，由解得即直線過定點(diǎn)，由于，則點(diǎn)在圓上因?yàn)閘與圓C相切，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（2）因?yàn)閘與圓C交于A，B，所以點(diǎn)如下圖所示，與相交于點(diǎn)，由以及圓的對稱性可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且由，則直線的方程為圓心到直線的距離為，即直線與圓相切即，則因?yàn)?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問中，關(guān)鍵是先確定直線過定點(diǎn)，再由定點(diǎn)在圓上，從而確定切點(diǎn)的坐標(biāo).19、（1）r＝2（2）x﹣2＝0或x+﹣3＝0【解析】（1）由已知根據(jù)對稱性可知直線m過圓心C.代入后可求a，進(jìn)而可求半徑；（2）先求出圓心到直線l的距離，然后結(jié)合直線與圓相交的弦長公式可求.【小問1詳解】解：圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為.因?yàn)閳AC關(guān)于直線m對稱，所以直線m過圓心C.將代入，解得.此時(shí)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，半徑r＝2.【小問2詳解】解：設(shè)圓心到直線距離為d，則d＝＝＝1，①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程l為x＝2，符合條件.②當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l方程為y﹣＝k（x﹣2），即x﹣y﹣2k+＝0，所以圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得，k＝﹣，直線l的方程為x+﹣3＝0，綜上所述，直線l的方程為x﹣2＝0或x+﹣3＝0.20、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）應(yīng)用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進(jìn)行計(jì)算求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用代入法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】2014年至2020年中連續(xù)的兩年有、、、、、共6種組合，其中只有不滿足連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元，所以連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元的概率為；【小問2詳解】由已知數(shù)據(jù)分別求出公式中的量.，，，，所求回歸方程為；小問3詳解】由（2）知，，