物理人教版必修一第二章勻變速直線運動的研究習題課2　追及與相遇問題

習題課2追及與相遇問題[學習目標]1.理解追及與相遇問題的實質.2.會分析追及問題的臨界條件．一、對“相遇”與“追及”的認識1．相遇問題相向運動的兩物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇．2．追及問題同向運動的兩物體，若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度，即v1≥v2.例1如圖1所示，甲、乙兩車沿著同一條平直公路同向行駛，甲車以20m/s的速度勻速運動，乙車原來速度為8m/s，從距甲車80m處以大小為4m/s2的加速度做勻加速運動，問：乙車經多少時間能追上甲車？圖1答案10s解析設經時間t乙車追上甲車．在這段時間內甲、乙兩車位移分別為x甲＝v甲t，x乙＝v乙t＋eq\f(1,2)at2追上時的位移條件為x乙＝x甲＋x0，即20t＋80＝8t＋2t2整理得：t2－6t－40＝0解得：t1＝10s，t2＝－4s(舍)乙車經10s能追上甲車．二、追及問題的分析思路及臨界條件1．追及問題中的兩個關系和一個條件(1)兩個關系：即時間關系和位移關系，這兩個關系可通過畫草圖得到．(2)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能否追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點．2．能否追上的判斷方法物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0.若vA＝vB時，xA＋x0≤xB，則能追上；若vA＝vB時，xA＋x0＞xB，則沒有追上．3．若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷追上前該物體是否已經停止運動．4．解題思路和方法分析物體運動過程→畫運動示意圖→找兩物體位移關系→列位移方程例2當交叉路口的綠燈亮時，一輛客車以a＝2m/s2的加速度由靜止啟動，在同一時刻，一輛貨車以10m/s的恒定速度從客車旁邊同向駛過(不計車長)，則：(1)客車什么時候追上貨車？客車追上貨車時離路口多遠？(2)在客車追上貨車前，兩車的最大距離是多少？答案(1)10s100m(2)25m解析(1)客車追上貨車的過程中，兩車所用時間相等，位移也相等，即v2t1＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)，代入數(shù)據(jù)解得t1＝10s，x＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×2×102m＝100m.(2)兩車距離最大時，兩車應具有相等的速度，即v2＝at2，代入數(shù)據(jù)解得t2＝5s.Δx＝v2t2－eq\f(1,2)ateq\o\al(,22)＝10×5m－eq\f(1,2)×2×52m＝25m.后面速度小的做勻加速直線運動的物體追前面速度大的勻速運動的物體，一定能追上．v1<v2兩者距離逐漸增加，v1>v2兩者距離逐漸減小，即當v1＝v2時，兩者具有最大的距離．例3某人離公共汽車尾部20m，以速度v向汽車勻速跑過去，與此同時，汽車以1m/s2的加速度從靜止啟動，做勻加速直線運動．試問，此人的速度v分別為下列數(shù)值時，能否追上汽車？如果能，要用多長時間？如果不能，則他與汽車之間的最小距離是多少？(1)v＝6m/s；(2)v1＝7m/s.答案(1)不能2m(2)能4s解析(1)當汽車速度達到6m/s時，所需的時間t＝eq\f(v,a)＝eq\f(6,1)s＝6s在這段時間內的人的位移x1＝vt＝6×6m＝36m汽車的位移x2＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×1×62m＝18m因為x1<x2＋20m，所以人不能追上汽車，此時兩車有最小距離，最小距離Δx＝x2＋20m－x1＝2m.(2)當汽車速度達到7m/s時，所需的時間t1＝eq\f(v1,a)＝eq\f(7,1)s＝7s在這段時間內的人的位移x1′＝v1t1＝7×7m＝49m汽車的位移x2′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×1×72m＝24.5m因為x1′>x2′＋20m，所以人能追上公共汽車．設經過t′時間人追上汽車，有v1t′＝eq\f(1,2)at′2＋20m解得t1′＝4s，t2′＝10s(舍去)若速度大的勻速直線運動的后者追速度小的勻加速直線運動的前者，v1>v2兩者距離減小，v1<v2兩者距離增大；能否追上的臨界條件是速度相等時位移關系．若v1＝v2時x1≥x2＋s0(s0為兩車初始距離)則能追上．若追不上，v1＝v2時，兩者有最小距離．1．(用圖象分析追及相遇問題)甲、乙兩輛汽車在平直的公路上沿同一方向做直線運動，t＝0時刻同時經過公路旁的同一個路標．在如圖2描述兩車運動的v－t圖中，直線a、b分別描述了甲、乙兩車在0～20s的運動情況．關于兩車之間的位置關系，下列說法正確的是()圖2A．在0～10s內兩車逐漸靠近B．在10～20s內兩車逐漸遠離C．在t＝10s時兩車在公路上相遇D．在5～15s內兩車的位移相等答案D解析在0～10s內，乙車在甲的前方，而且乙的速度大于甲的速度，則兩車逐漸遠離，故A錯誤．在10～20s內，乙車在甲的前方，乙的速度小于甲的速度，則兩車逐漸靠近．故B錯誤．根據(jù)圖象的“面積”等于物體的位移大小，可以看出，在t＝10s時乙車的位移大于甲車的位移，t＝0時刻又在同一位置出發(fā)，所以在t＝10s時兩車沒有相遇，故C錯誤．在5～15s內兩車圖線的“面積”相等，則通過的位移相等．故D正確．2．(追及問題分析)一輛汽車以3m/s2的加速度開始啟動的瞬間，另一輛以6m/s的速度做勻速直線運動的自行車恰好從汽車的旁邊通過．(1)汽車一定能追上自行車嗎？若能追上，汽車經多長時間追上？追上時汽車的瞬時速度多大？(2)在汽車追上自行車前，當v汽<v自時，兩者間的距離如何變化？當v汽>v自時，兩者間的距離如何變化？汽車追上自行車前多長時間與自行車相距最遠？此時的距離是多大？答案見解析解析(1)因為汽車做加速運動，自行車做勻速運動，故汽車一定能追上自行車．汽車追上自行車時，兩者位移相等，x汽＝x自，即eq\f(1,2)at2＝v自t，得：t＝eq\f(2v自,a)＝eq\f(2×6,3)s＝4sv汽＝at＝3×4m/s＝12m/s.(2)開始階段，v汽<v自，兩者間的距離逐漸變大．后來v汽>v自，兩者間的距離又逐漸減小．所以汽車追上自行車前，當v汽＝v自時，兩者距離最大．設經過時間t1，汽車速度等于自行車速度，則at1＝v自，代入數(shù)據(jù)得t1＝2s此時x自′＝v自t1＝6×2m＝12mx汽′＝eq\f(1,2)ateq\o\al(,12)＝eq\f(1,2)×3×22m＝6m最大距離Δx＝x自′－x汽′＝6m.3．(避碰問題分析)一輛貨車以8m/s的速度在平直公路上行駛，由于調度失誤，在后面600m處有一輛客車以72km/h的速度向它靠近．客車司機發(fā)覺后立即合上制動器，但客車要滑行2000m才能停止．求：(1)客車滑行的加速度大??；(2)通過計算分析兩車是否會相撞．答案(1)0.1m/s2(2)見解析解析(1)設v2＝72km/h＝20m/s，由v2－veq\o\al(,02)＝2ax得客車剎車的加速度大小為a＝eq\f(v\o\al(,22),2x)＝eq\f(202,2×2000)m/s2＝0.1m/s2.(2)假設不相撞，設兩車達到共同速度用時為t，則v2－at＝v1，t＝120s貨車在該時間內的位移x1＝v1t＝8×120m＝960m客車在該時間內的位移x2＝eq\f(v1＋v2,2)t＝1680m位移大小關系：x2＝1680m>600m＋x1＝1560m，故會相撞．課時作業(yè)一、選擇題(1～2為單項選擇題，3～5為多項選擇題)1．甲、乙兩物體先后從同一地點出發(fā)，沿一條直線運動，它們的v－t圖象如圖1所示，由圖可知()圖1A．甲比乙運動快，且早出發(fā)，所以乙追不上甲B．t＝20s時，乙追上甲C．在t＝20s之前，甲比乙運動快；在t＝20s之后，乙比甲運動快D．由于乙在t＝10s時才開始運動，所以t＝10s時，甲在乙前面，它們之間的距離為乙追上甲前的最大距離答案C解析從題圖中看出開始甲比乙運動快，且早出發(fā)，但是乙做勻加速運動，最終是可以追上甲的，A項錯誤；t＝20s時，速度圖象中甲的速度圖線與時間軸所圍的面積大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙沒有追上甲，B項錯誤；在t＝20s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20s之后，乙的速度大于甲的速度，C項正確；乙在追上甲之前，當它們速度相同時，它們之間的距離最大，對應的時刻為t＝20s，D選項錯誤．2．甲車以3m/s2的加速度由靜止開始做勻加速直線運動，乙車落后2s在同一地點由靜止出發(fā)，以4m/s2的加速度做勻加速直線運動，兩車速度方向一致．在乙車追上甲車之前，兩車距離的最大值是()A．18m B．24mC．22m D．28m答案B解析乙車從靜止開始做勻加速直線運動，落后甲2s，則開始階段甲車在前．當乙車速度小于甲車的速度時，兩車距離增大；當乙車速度大于甲車的速度時，兩車距離減小，則當兩車速度相等時距離最大．即：a甲(t乙＋2)＝a乙t乙，解得：t乙＝6s；兩車距離的最大值為Δx＝x甲－x乙＝eq\f(1,2)a甲(t乙＋2)2－eq\f(1,2)a乙teq\o\al(,乙2)＝24m，故選B.3．A與B兩個質點向同一方向運動，A做初速度為零的勻加速直線運動，B做勻速直線運動．開始計時時，A、B位于同一位置，則當它們再次位于同一位置時()A．兩質點速度相等B．A與B在這段時間內的平均速度相等C．A的瞬時速度是B的2倍D．A與B的位移相同答案BCD解析設A的加速度為a，B的速度為v，經過時間t，A、B再次位于同一位置，由題意可得eq\f(1,2)at2＝vt，t＝eq\f(2v,a)，故此時A的速度v′＝at＝2v，所以A錯誤，C正確；由題意知A、B在t時間內位移相同，根據(jù)平均速度的定義式eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)，可知A與B在這段時間內的平均速度相等，所以B、D正確．4．在平直公路上，自行車與同方向行駛的一輛汽車在t＝0時同時經過某一個路標，它們的位移x(m)隨時間t(s)變化的規(guī)律：汽車為x＝10t－eq\f(1,4)t2，自行車為x＝6t，則下列說法正確的是()A．汽車做勻減速直線運動，自行車做勻速運動B．不能確定汽車和自行車各做什么運動C．開始經過路標后較小時間內汽車在前，自行車在后D．當自行車追上汽車時，它們距路標96m答案ACD解析汽車的位移時間關系為x＝10t－eq\f(1,4)t2，可知汽車做勻減速直線運動，自行車的位移時間關系為x＝6t，可知自行車做勻速直線運動，選項A正確，B錯誤；開始階段汽車的初速度大于自行車的速度，所以在較小時間內汽車的位移大于自行車的位移，汽車在前，自行車在后，選項C正確；根據(jù)10t－eq\f(1,4)t2＝6t得t＝16s，此時距路標的距離s＝96m，選項D正確．5．一輛汽車正在以v＝20m/s的速度勻速行駛．突然，司機看見車的正前方x0＝33m處有一只狗，如圖2甲所示，若從司機看見狗開始計時(t＝0)，司機采取了一系列動作．整個過程中汽車的運動規(guī)律如圖乙所示，g取10m/s2.則下列判斷正確的是()圖2A．汽車先做勻速運動再做反向勻減速運動B．汽車減速運動的加速度大小為5m/s2C．若狗正以v′＝4m/s的速度與汽車同向奔跑，則不能擺脫被撞的噩運D．汽車從司機發(fā)現(xiàn)狗至停止運動的這段時間內前進的距離為48.4m答案BC解析汽車先做勻速運動，再做同方向的勻減速運動，A錯誤；汽車做勻減速運動的加速度為a＝－eq\f(20,4)m/s2＝－5m/s2，B正確；當汽車由v＝20m/s減速到v1＝4m/s時，所需時間為t＝eq\f(Δv,a)＝eq\f(4－20,－5)s＝3.2s，司機的反應時間為t1，從司機看到狗到汽車速度減為v1＝4m/s時間內，汽車所通過的位移為x1＝vt1＋eq\f(v\o\al(,12)－v2,2a)＝(20×0.5＋eq\f(42－202,－2×5))m＝48.4m，而狗通過的位移為x2＝v′(t1＋t)＝4×(0.5＋3.2)m＝14.8m，x1＞x2＋x0＝47.8m，所以狗將被撞，C正確；汽車從司機看見狗至停止運動的時間段內前進的距離為x3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.5＋4.5×20×\f(1,2)))m＝50m，D錯誤．二、非選擇題6．慢車以0.1m/s2的加速度從車站啟動開出，同時在距車站2km處，在與慢車平行的另一軌道上，有一輛以72km/h的速度迎面開來的快車開始做勻減速運動，以便到站停下，問：(1)兩車何時錯車？(2)錯車點離車站多遠？答案(1)100s(2)500m解析(1)a1＝0.1m/s2，v＝72km/h＝20m/s，快車做勻減速直線運動的加速度大小a2＝eq\f(v2,2x)＝eq\f(400,4000)m/s2＝0.1m/s2，設經過t時間開始錯車，則有：eq\f(1,2)a1t2＋vt－eq\f(1,2)a2t2＝x，代入數(shù)據(jù)解得t＝100s.(2)由位移時間公式可得x′＝eq\f(1,2)a1t2＝eq\f(1,2)×0.1×1002m＝500m.7．已知A、B兩列火車，在同一軌道上同向行駛，A車在前，其速度v1＝10m/s，B車在后，速度v2＝30m/s，B車在距A車x0＝75m時才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時B車立即剎車，但B車要經過x＝180m才能停下來．求：(1)B車剎車過程的加速度大??；(2)B車剎車時A仍按原速率行駛，兩車是否會相撞？(3)若相撞，求B車從開始剎車到兩車相撞用多少時間？若不相撞，求兩車的最小距離．答案(1)2.5m/s2(2)兩車會相撞(3)6s解析(1)設B車加速度大小為aB，剎車至停下來的過程中，由veq\o\al(2,2)＝2aBx解得：aB＝2.5m/s2(2)B車在開始剎車后t時刻的速度為vB＝v2－aBtB車的位移xB＝v2t－eq\f(1,2)aBt2A車的位移xA＝v1t設t時刻兩車速度相等，vB＝v1解得：t＝8s將t＝8s代入公式得xB＝160m，xA＝80m因xB＞xA＋x0＝155m故兩車會相撞．(3)設B車從開始剎車到兩車相撞所用時間為t′，則滿足xB＝xA＋x0代入數(shù)據(jù)解得：t1′＝6s，t2′＝10s(不符合題意)故B車從開始剎車到兩車相撞用時6s.8．公交車作