2024八年級數(shù)學上冊第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三邊的關系第1課時認識勾股定理習題課件新版華東師大版

華師版八年級上第14章勾股定理14.1勾股定理1.直角三角形三邊的關系第1課時認識勾股定理01名師點金02認知基礎練03素養(yǎng)提升練目

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勾股定理的適用條件：直角三角形.勾股定理反映了直

角三角形三邊的關系，即已知直角三角形兩邊長可求第三邊

長.對于非直角三角形問題，可根據(jù)圖形特征構(gòu)造直角三角

形.運用時要分清直角邊和斜邊，在Rt△

ABC

中，斜邊不一

定是

c

.知識點1勾股定理1.

在△

ABC

中，∠

C

＝90°，∠

A

，∠

B

，∠

C

的對邊分

別是

a

，

b

，

c

，則下列式子成立的是(

A

)A.

a2＋

b2＝

c2B.

a2＋

c2＝

b2C.

a2－

b2＝

c2D.

a

＋

b

＝

c

A1234567891011

(第2題)1234567891011【點撥】如圖，過點

D

作

DM

⊥

AB

于點

M

.

由題意知

AD

平分∠

BAC

，

DC

⊥

AC

，∴

CD

＝

DM

.

∵∠

C

＝90°，

AB

＝5，

BC

＝3，

D【答案】12345678910113.

[新考法·方程思想2023隨州]如圖，在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝8，

BC

＝6，

D

為

AC

上一點，若

BD

是∠

ABC

的平分線，則

AD

＝

?.(第3題)5

1234567891011【點撥】如圖，過點

D

作

DE

⊥

AB

于點

E

.

∵∠

C

＝90°，∴

CD

⊥

BC

.

又∵

BD

是∠

ABC

的平分線，∴

CD

＝

DE

.

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(H.L.).1234567891011∴

BE

＝

BC

＝6.

∴

AE

＝

AB

－

BE

＝10－6＝4.設

CD

＝

DE

＝

x

，則

AD

＝

AC

－

CD

＝8－

x

.在Rt△

ADE

中，

AE2＋

DE2＝

AD2，∴42＋

x2＝(8－

x

)2，解得

x

＝3.∴

AD

＝8－3＝5.1234567891011知識點2勾股定理與圖形的面積4.

[母題·教材P108試一試]如圖，所有四邊形(陰影部分)都是

正方形，所有三角形都是直角三角形.若正方形

A

，

C

，

D

的面積依次為4，6，18，則正方形

B

的面積為(

A

)A.8B.9C.10D.12(第4題)1234567891011【點撥】如圖，由題意得

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

E

，

S正方形

D

－

S正

方形

C

＝

S正方形

E

，∴

S正方形

A

＋

S正方形

B

＝

S正方形

D

－

S正方形

C

.

∵正方形

A

，

C

，

D

的面積依次為4，6，18，∴

S正方形

B

＋4＝18－6.∴

S正方形

B

＝8.A【答案】12345678910115.

如圖，點

E

在正方形

ABCD

內(nèi)，滿足∠

AEB

＝90°，

AE

＝6，

BE

＝8，則陰影部分的面積是(

C

)A.48B.60C.76D.80(第5題)C在Rt△

ABE

中，由勾股定理可得

AB

＝10，∴

S正方形

ABCD

＝102＝100.

【點撥】12345678910116.

[新考法·計算比較法2023日照]已知直角三角形的三邊

a

，

b

，

c

滿足

c

＞

a

＞

b

，分別以

a

，

b

，

c

為邊作三個正

方形，剪下這三個正方形，把兩個較小的正方形放置在最

大正方形內(nèi)，如圖，設三個正方形無重疊部分的面積為

S1，均重疊部分的面積為

S2，則(

C

)A.

S1＞

S2B.

S1＜

S2C.

S1＝

S2D.

S1，

S2的大小無法確定(第6題)1234567891011【點撥】∵直角三角形的三邊

a

，

b

，

c

滿足

c

＞

a

＞

b

，∴該

直角三角形的斜邊為

c

.∴

c2＝

a2＋

b2.∴

c2－

a2－

b2＝0.∴

S1＝

c2－

a2－

b2＋

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

.∵

S2＝

b

(

a

＋

b

－

c

)＝

ab

＋

b2－

bc

，∴

S1＝

S2.故選C.

C【答案】12345678910117.

[新考向·傳承數(shù)學文化2023揚州]我國古代數(shù)學家趙爽證

明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為

“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正

方形組成的，如圖，直角三角形的直角邊長為

a

，

b

，斜

邊長為

c

，若

b

－

a

＝4，

c

＝20，則每個直角三角形的面積為

?.96

(第7題)1234567891011【點撥】由題意可得

a2＋

b2＝

c2，∴

a2＋

b2＝202，即(

a

－

b

)2＋2

ab

＝400.∴2

ab

＝400－(

a

－

b

)2＝400－42＝384.∴

ab

＝192.

1234567891011易錯點

三角形高的位置不明確時，因考慮問題不全面而導致

出錯8.

[新考法·分類討論思想]在△

ABC

中，

AB

＝20，

AC

＝

13，高

AD

＝12，則△

ABC

的面積為(

D

)A.66B.126C.55或44D.126或661234567891011Ⅰ.如圖①，高

AD

在△

ABC

內(nèi)部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

CD

＋

DB

＝5＋16＝21.

【點撥】由題意知，分兩種情況求解：1234567891011Ⅱ.如圖②，高

AD

在△

ABC

外部.在Rt△

ACD

中，由勾股定理得

CD

＝5，在Rt△

ABD

中，由勾股定理得

DB

＝16，∴

CB

＝

BD

－

CD

＝16－5＝11.

綜上所述，△

ABC

的面積為66或126.【答案】D1234567891011

利用勾股定理求圖形面積

【解】如圖，

AP

即為所求.1234567891011(2)在(1)所作圖形中，求△

ABP

的面積.

1234567891011

1234567891011

利用勾股定理求線段長10.

[新考向·傳承數(shù)學文化]《西江月》中描述：平地秋千未

起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾

記……翻譯成現(xiàn)代文如下：如圖，秋千

OA

靜止的時

候，踏板離地高一尺(

AC

＝1尺)，將它往前推進兩步(

EB

＝10尺)，此時踏板升高，離地五尺(

BD

＝5尺)，求秋千繩索

OB

的長度.1234567891011【解】設

OA

＝

OB

＝

x

尺.易知

EC

＝

BD

＝5尺，∴

EA

＝

EC

－

AC

＝5－1＝4(尺).∴

OE

＝

OA

－

AE

＝(

x

－4)尺.在Rt△

OEB

中，

OE

＝(

x

－4)尺，

OB

＝

x

尺，

EB

＝10尺，根據(jù)勾股定理，得

x2＝(

x

－4)2＋102，整理，得8

x

＝116，解得

x

＝14.5.∴秋千繩索

OB

的長度為14.5尺.1234567891011

利用作差法探究圖形中線段關系11.

[新考法·猜想驗證法]在△

ABC

中，

BC

＝

a

，

AC

＝

b

，

AB

＝

c

.若∠

C

＝90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，有

a2

＋

b2＝

c2；若△

ABC

不是直角三角形，而是如圖②③所

示的銳角三角形和鈍角三角形.1234567891011(1)請你類比勾股定理，猜想

a2＋

b2與

c2的關系：圖②

中，

a2＋

b2

c2；圖③中，

a2＋

b2

c2.(填

“＞”“＜”或“＝”)＞

＜

1234567891011【解】如圖①，過點

A

作

BC

邊上的高

AD

，則∠

ADC

＝∠

ADB

＝90°.(2)說明你在(1)中猜想的結(jié)論的正確性.設

CD

＝

m

.在Rt△

ACD

和Rt△

ABD

中，有

b2－

m2＝

AD2，

c2－(

a

－

m

)2＝

AD2，∴

b2－

m2＝

c2－(

a

－

m

)2，整理，得

a2＋

b2－

c2＝2

am

.∵2

am

＞0，∴

a2＋

b2＞

c2.1234567891011如圖②，過點

B

作

AC

邊上的高

BD

，則∠

D

＝90°.

設

CD

＝

n

.在Rt△

ABD

和Rt