數(shù)學(xué)課后導(dǎo)練雙曲線的幾何性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1。雙曲線與橢圓=1有相同的焦點(diǎn),它的一條漸近線為y=-x,則雙曲線方程為（）A。x2—y2=96 B.y2—x2=160C.x2—y2=80 D。y2-x2=24解析：由橢圓=1得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,—4）、（0，4）。∴雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上。∵雙曲線的一條漸近線為y=-x,∴a=b,而c=4?！郺2+b2=(4）2,2a2=48.∴a2=24，b2=24.∴雙曲線的方程為y2—x2=24。答案：D2。實(shí)軸長為45且過點(diǎn)A(2,-5）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.=1 B。=1C。=1 D.=1解析：∵2a=4，∴a=2?！唠p曲線的焦點(diǎn)在x軸上時,雙曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x應(yīng)滿足｜x｜≥2，而A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，不滿足|x｜≥2.∴雙曲線的焦點(diǎn)應(yīng)在y軸上.設(shè)雙曲線的方程為∵點(diǎn)A（2，-5）在雙曲線上，∴.∴b2=16?！嚯p曲線的方程為答案：B3.中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D。y=±x解析：∵∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.∴所求雙曲線的漸近線方程為y=±x.答案：D4.焦點(diǎn)為(0，6)且與雙曲線—y2=1有相同漸近線的雙曲線方程是（）A.=1 B。=1C。=1 D。=1解析：設(shè)所求雙曲線的方程為∵雙曲線的一個焦點(diǎn)為(0，6)在y軸上，∴λ<0。∴-λ-2λ=36,λ=-12.∴所求雙曲線方程是答案:B5。若雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率e等于()A. B。C。 D。解析：焦點(diǎn)F(c，0）到漸近線bx-ay=0的距離d=，則b=2ac2-a2=4a2e=答案:C6.雙曲線5y2—4x2=-20的實(shí)軸長為_________，虛軸長為_________，漸近線方程為_________，離心率為_________.解析:∵a2=5,b2=4,∴2a=2，2b=4,c=a2+b2=3.∴e=又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,∴雙曲線的漸近線方程為y=±答案：254y=±7.準(zhǔn)線方程為x+y=1,相應(yīng)的焦點(diǎn)為（1,1)的等軸雙曲線方程是_________。解析：等軸雙曲線的離心率e=2，由雙曲線的第二定義，得方程為，化簡得xy=.答案:xy=8。已知雙曲線x2—3y2=3上一點(diǎn)P到左、右焦點(diǎn)的距離之比為1∶2,則P點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為_________。解析：設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)。則有解得又設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，則∴d=6,即點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為6.答案:69.雙曲線=1與直線y=kx-1只有一個公共點(diǎn)，求k的值.解：直線y=kx—1過（0,—1)點(diǎn),若使直線與雙曲線只有一個公共點(diǎn)，必須直線與雙曲線的漸近線平行或直線與雙曲線相切。當(dāng)直線與漸近線平行時,雙曲線的漸近線方程是y=±x.∴k=±。10.雙曲線與圓x2+y2=17有公共點(diǎn)A(4，—1）,圓在A點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線平行，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：∵點(diǎn)A與圓心O的連線的斜率為—，∴過A的切線的斜率為4。∴雙曲線的漸近線方程為y=±4x。設(shè)雙曲線方程為x2-=λ.∵點(diǎn)A（4，—1）在雙曲線上,∴16—=λ，λ=。∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為綜合運(yùn)用11。已知雙曲線=1（a＞0,b＞0),F1、F2為雙曲線的兩個焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上，求｜PF1｜·｜PF2｜的最小值。解析：設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則x0≥a或x0≤—a。由焦半徑公式得|PF1|·|PF2｜=｜a-ex0｜|a+ex0|=｜a2-∵|x0｜≥a,∴x≥a2.∴|PF1｜·｜PF2｜≥·a2-a2=b2。當(dāng)｜x0｜=a時，上式“="成立?！啵黀F1｜·｜PF2｜的最小值為b2.12。在雙曲線=-1的上支上有不同的三點(diǎn)A（x1,y1）、B（x2，6）、C(x3，y3），與焦點(diǎn)F（0，5)的距離成等差數(shù)列.(1）求y1+y3的值；(2）求證：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。(1)解：∵=e,∴|PF｜=ey—a。又A、B、C到F的距離成等差數(shù)列，∴2（ey2-a)=(ey1-a)+(ey3-a）。∴y1+y3=2y2=12。（2）證明:由題意，得①—②,得(y1—y3)(y1+y3)—（x1—x3）·(x1+x3)=0。∴若x1+x3=0.則kAC=0，y1=y3=y2=6，A、B、C三點(diǎn)共線，這是不可能的?！鄕1+x3≠0.則AC的中垂線方程為y—6=即y=。因此，AC的中垂線過定點(diǎn)（0，).13。雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為4，一條準(zhǔn)線方程是x=，求雙曲線的方程。解：∵雙曲線的中心在原點(diǎn)，準(zhǔn)線和x軸垂直，∴雙曲線的方程是標(biāo)準(zhǔn)的且焦點(diǎn)在x軸上?！摺郺=2，c=8.∴b2=82—22=60.∴雙曲線的方程是拓展探究14。已知雙曲線=1，F(xiàn)為其右焦點(diǎn),A（4，1)為平面上一點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，求｜PA｜+｜PF｜的最小值(如右圖)。解:由雙曲線的第二定義可知=e,其中d為P到右準(zhǔn)線l：x=的距離，e=。∴｜PF｜=ed=d。∴|PA|+｜PF|=|PA｜+×d?！鄚PA|+|PF|=｜PA｜+d，則求｜PA｜+｜PF｜的最小值，就是在雙曲線上求一點(diǎn)P，使P到A的距離與到右準(zhǔn)線l：x=的距離之和最小(如題圖)，由平面幾何的知識知道，從直線外一點(diǎn)向該直線所引的線段中，垂線段最短，從而過點(diǎn)A向右準(zhǔn)線l:x=作垂線AB,交雙曲線于P點(diǎn)，此時|PA|+d最小，即|PA|+|PE|最小，最小值為垂線段AB的長，易求|AB|=，故｜PA｜+｜PF｜的最小值為。15.已知點(diǎn)M(—2，0）、N（2，0)，動點(diǎn)P滿足條件｜PM|—|PN|=22.記動點(diǎn)P的軌跡為W。(1）求W的方程；（2)若A、B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求·的最小值。解：（1）由｜PM|-|PN｜=2知動點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，實(shí)半軸長a=。又半焦距c=2,故虛半軸長b=所以W的方程為=1，x≥。(2）設(shè)A、B坐標(biāo)分別為（x1，y1）,(x2，y2）。當(dāng)AB⊥x軸時,x1=x2,y1=-y2.從而·=x1x2+y1y2=x—y=2.當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，與W的方程聯(lián)立，消