2024-2025學(xué)年湖州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷及答案解析

-2025學(xué)年湖州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）2024.10一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已如點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．3．直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或4．在四面體中，，點(diǎn)在上，且,為中點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．5．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程是()A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝16．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

）A． B． C． D．7．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法中，正確的有（

）A．過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為B．直線在軸的截距是2C．直線的傾斜角為30°D．過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為10．已知點(diǎn)圓上，點(diǎn)、，則（）A.點(diǎn)到直線的距離小于B.點(diǎn)到直線的距離大于C.當(dāng)最小時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，11．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.13．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是___________.14．為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取兩點(diǎn)，且，到直線的距離，到直線的距離，，則該斜坡的坡度是.四．解答題：本小題共5題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本題滿分13分）已知直線的方程為：．（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．16．（本題滿分15分）記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．17．（本題滿分15分）如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．（1）求證：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．18.（本題滿分17分）已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)在(1)的條件下，求的取值范圍；(3)若，求圓的面積．19.（本題滿分17分）已知函數(shù)，（，為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)記，若與在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，且，求證：2024-2025學(xué)年湖州市高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷（試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘）2024.10一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，則，.故選：D.2．已如點(diǎn)，，都在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，，，得，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即,取，則，故，則與共線的向量也是法向量，經(jīng)驗(yàn)證，只有A正確.故選：A．3．直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】依題意，直線與直線平行或重合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線重合，當(dāng)時(shí)，直線與直線平行，所以的值為.故選：C4．在四面體中，，點(diǎn)在上，且,為中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)在線段上，且，為中點(diǎn)，，，．故選：B．5．已知圓C與圓(x－1)2＋y2＝1關(guān)于直線y＝－x對(duì)稱，則圓C的方程是()A．x2＋(y＋1)2＝1 B．x2＋y2＝1C．(x＋1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，則(1,0)關(guān)于y＝－x對(duì)稱的點(diǎn)為(0，－1)，故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝1.故選A．答案A6．已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則a取值的范圍是（

B

）A． B． C． D．【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.7．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線過點(diǎn).如圖，由題意，直線與線段總有公共點(diǎn)，即直線以直線為起始位置，繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.8．若直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得：為恒過定點(diǎn)的直線，曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意得為恒過定點(diǎn)的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為的上半圓，如圖所示，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，解得（舍去）或，把代入得，解得，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖可得，即的取值范圍是．故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法中，正確的有（

）A．過點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為B．直線在軸的截距是2C．直線的傾斜角為30°D．過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為【答案】CD【解析】A選項(xiàng)，直線過點(diǎn)且在軸，軸截距相等，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，直線在軸上的截距是，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，直線的斜率為，傾斜角為，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，過點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為，D選項(xiàng)正確.故選：CD10．已知點(diǎn)圓上，點(diǎn)，，則（）A.點(diǎn)到直線的距離小于B.點(diǎn)到直線的距離大于C.當(dāng)最小時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【解析】【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；如下圖所示：當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，，分別是的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）

A．B．存在點(diǎn)，使平面C．存在點(diǎn)，使直線與所成的角為D．點(diǎn)到平面與平面的距離和為定值【答案】ABD【解析】依題意可知兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，設(shè)，，所以，所以，A選項(xiàng)正確.點(diǎn)到平面與平面的距離和為為定值，D選項(xiàng)正確.，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，要使平面，平面，則，解得，所以存在點(diǎn)，使平面，B選項(xiàng)正確.若直線與直線所成角為，則，，無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為.【答案】【解析】直線斜率為，故與之垂直的直線斜率為，故過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故答案為：13．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是___________.【答案】【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值，點(diǎn)P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：14．為了測(cè)量一斜坡的坡度，小明設(shè)計(jì)如下的方案：如圖，設(shè)斜坡面與水平面的交線為，小明分別在水平面和斜坡面選取兩點(diǎn)，且，到直線的距離，到直線的距離，，則該斜坡的坡度是.【答案】【解析】設(shè)斜坡的坡角為，由題意知與的夾角為，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)槭卿J角，所以.故答案為：四．解答題：本小題共5題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知直線的方程為：．（1）求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；（2）過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：直線的方程為：提參整理可得：．令，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn).（2）設(shè)直線的方程為．令則，令．則，直線與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。藭r(shí)的方程為．16．記內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)椋?，從而，又因?yàn)椋?，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.17．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．（1）求證：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面平面，所以平面ABC．（2）由（1）的過程可知，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．不妨設(shè)，由題可知，，，，．由，可得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有,取，得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有，取，得．設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．18.已知O為原點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)在(1)的條件下，求的取值范圍；(3)若，求圓的面積．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：圓的圓心為，半徑，其中，圓心到直線的距離，，解得；（2）（3）解：設(shè)，聯(lián)立，消得，，則，又，因?yàn)椋?，即，即，所以，解得滿足，此時(shí)圓的半徑，所以圓的面積為.19.已知函數(shù)，（，為常數(shù)）．(1)若函數(shù)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)記，若與在有兩個(gè)互異的交點(diǎn)，且，求證：．【答案】(1)(2)或(3)證明見解析【詳解】（1）因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，解得，當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，所以是偶函?shù)，故.（2）因?yàn)?，?dāng)，即時(shí)，，此時(shí)開口向下，對(duì)