2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解一、復(fù)習(xí)鞏固1．已知函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)，下列說(shuō)法不正確的是()A．f(0)＝0B．方程f(x)＝0有實(shí)根C．函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)D．函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程f(x)＝0的根答案：A2．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝lnx，那么函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．肯定是2 B．肯定是3C．可能是2也可能是3 D．可能是0解析：x>0時(shí)，f(x)＝lnx，依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以在(－∞，0)上也有一個(gè)零點(diǎn)，而f(0)可能為0也可能不為0，所以零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是2也可能是3.答案：C3．函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點(diǎn)是()A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1解析：方程2x2－3x＋1＝0的兩根為x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，∴函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點(diǎn)是eq\f(1,2)，1.答案：B4．若y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象為連綿不斷的一條曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是()A．若f(a)·f(b)<0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)<0，存在且只存在一個(gè)實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)>0，不存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)>0，有可能存在實(shí)數(shù)c∈(a，b)，使得f(c)＝0解析：由零點(diǎn)存在性定理可知選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，可通過(guò)反例“f(x)＝x(x－1)(x＋1)在區(qū)間[－2,2]上滿(mǎn)意f(－2)·f(2)<0，但其存在三個(gè)零點(diǎn)：－1,0,1”推翻；選項(xiàng)C可通過(guò)反例“f(x)＝(x－1)·(x＋1)在區(qū)間[－2,2]上滿(mǎn)意f(－2)·f(2)>0，但其存在兩個(gè)零點(diǎn)：－1,1”推翻．答案：D5．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象是連綿不斷的一條曲線(xiàn)，又f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(0)·f(1)<0.故函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)．答案：C6．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)()A．至少有一個(gè) B．至多有一個(gè)C．有且只有一個(gè) D．可能有多數(shù)個(gè)解析：在R上單調(diào)的函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)．答案：B7．若關(guān)于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以Δ＝m2－4>0，解得m>2或m<－2.答案：C8．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點(diǎn)，則()A．f(0)＞0，f(2)＜0B．f(0)·f(2)＜0C．在區(qū)間(0,2)內(nèi)，存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0D．以上說(shuō)法都不正確解析：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點(diǎn)，我們并不肯定能找到x1，x2∈(a，b)，滿(mǎn)意f(x1)·f(x2)＜0，故A、B、C都是錯(cuò)誤的，故選D.答案：D9．函數(shù)f(x)＝2－eq\r(4－x2)(x∈[－1,1])的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：令2－eq\r(4－x2)＝0，解得x＝0，所以函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)．答案：110．二次函數(shù)y＝x2－2ax＋a－1有一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)大于0可得函數(shù)圖象開(kāi)口向上，要滿(mǎn)意一個(gè)零點(diǎn)大于1，一個(gè)零點(diǎn)小于1，只需f(1)<0即可．答案：a>0二、綜合應(yīng)用11．已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有交點(diǎn)，則該函數(shù)的全部零點(diǎn)之和是()A．0 B．1C．3 D．無(wú)法確定解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)f(x)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(xn,0)時(shí)(xn≠0)，必有另一個(gè)交點(diǎn)(－xn,0)，明顯全部零點(diǎn)之和為0.答案：A12．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則三個(gè)零點(diǎn)之和等于()A．0 B．1C．－1 D．不能確定解析：∵奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴若f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則其和必為0.答案：A13．下列說(shuō)法正確的有________：①對(duì)于函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)肯定沒(méi)有零點(diǎn)；②函數(shù)f(x)＝2x－x2有兩個(gè)零點(diǎn)；③若奇函數(shù)、偶函數(shù)有零點(diǎn)，其和為0；④當(dāng)a＝1時(shí)，函數(shù)f(x)＝|x2－2x|－a有三個(gè)零點(diǎn)．解析：①錯(cuò)，如圖．②錯(cuò)，應(yīng)有三個(gè)零點(diǎn)．③對(duì)，奇、偶函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其和為0.④對(duì)，設(shè)u(x)＝|x2－2x|＝|(x－1)2－1|，如圖向下平移1個(gè)單位，頂點(diǎn)與x軸相切，圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)．∴a＝1.答案：③④14．求函數(shù)f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解析：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2>0，由零點(diǎn)存在性定理，f(x)在(0,2)上存在實(shí)根又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)為增函數(shù)，故f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．法二：(數(shù)形結(jié)合)在同一坐標(biāo)系中作出g(x)＝2－2x和h(x)＝lg(x＋1)的圖象(如圖所示)，由圖象可知有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．15．已知函數(shù)f(x)＝4x＋m·2x＋1僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出零點(diǎn)．解析：令2x＝t(t>0)，則在方程t2＋mt＋1＝0中，(1)Δ＝0，即m2－4＝0，m＝±2時(shí)，t＝1或t＝－1(舍