2025屆哈三中數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆哈三中數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.由曲線圍成的封閉圖形的面積為()A. B. C. D.2.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),則的最大值為A.2 B. C. D.3.某地區(qū)教育主管部門(mén)為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析,隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績(jī),并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績(jī)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖,如圖所示,則成績(jī)?cè)?,?nèi)的學(xué)生人數(shù)為()A.800 B.1000 C.1200 D.16004.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,將此圖象分別作以下變換,那么變換后的圖象可以與原圖象重合的變換方式有()①繞著軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn);②沿軸正方向平移;③以軸為軸作軸對(duì)稱(chēng);④以軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱(chēng).A.①③ B.③④ C.②③ D.②④5.已知雙曲線的焦距為,過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.7.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M,若、M是線段AB的三等分點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.9.的展開(kāi)式中,滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.10.一個(gè)陶瓷圓盤(pán)的半徑為,中間有一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形花紋,向盤(pán)中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計(jì)圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.14711.已知函數(shù),則的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202012.等腰直角三角形BCD與等邊三角形ABD中,,,現(xiàn)將沿BD折起,則當(dāng)直線AD與平面BCD所成角為時(shí),直線AC與平面ABD所成角的正弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開(kāi)式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則______.14.“今有女善織,日益功疾,初日織五尺,今一月共織九匹三丈.”其白話意譯為:“現(xiàn)有一善織布的女子,從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織相同數(shù)量的布,第一天織了5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天增加的數(shù)量為_(kāi)___尺,設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為,則______.15.在《九章算術(shù)》中,將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬.如圖,若四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,內(nèi)切球半徑為,則__________.16.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,為橢圓上兩點(diǎn),圓.(1)若軸,且滿(mǎn)足直線與圓相切,求圓的方程;(2)若圓的半徑為,點(diǎn)滿(mǎn)足,求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.18.(12分)在中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且向量與向量共線.(1)求B;(2)若,,且,求BD的長(zhǎng)度.19.(12分)已知點(diǎn)P在拋物線上,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,以P為圓心,為半徑的圓(O為原點(diǎn)),與拋物線C的準(zhǔn)線交于M,N兩點(diǎn),且.(1)求拋物線C的方程;(2)若拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為H.過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A,B,且,求的值.20.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且點(diǎn)在函數(shù)的圖像上;(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足:,,求的通項(xiàng)公式;(3)在第(2)問(wèn)的條件下,若對(duì)于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;21.(12分)等差數(shù)列中,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),記為數(shù)列前項(xiàng)的和,若,求.22.(10分)等差數(shù)列的公差為2,分別等于等比數(shù)列的第2項(xiàng),第3項(xiàng),第4項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先計(jì)算出兩個(gè)圖像的交點(diǎn)分別為,再利用定積分算兩個(gè)圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點(diǎn)睛】本題考察定積分的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解題時(shí)注意積分區(qū)間和被積函數(shù)的選取.2、C【解析】

設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長(zhǎng)|AB|=4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問(wèn)題的突破口.3、B【解析】

由圖可列方程算得a,然后求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1,得,解得,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的頻率,所以成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生人數(shù).故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題.4、D【解析】

計(jì)算得到,,故函數(shù)是周期函數(shù),軸對(duì)稱(chēng)圖形,故②④正確,根據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】,,,當(dāng)沿軸正方向平移個(gè)單位時(shí),重合,故②正確;,,故,函數(shù)關(guān)于對(duì)稱(chēng),故④正確;根據(jù)圖像知:①③不正確;故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.5、C【解析】

設(shè)線段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線的定義,求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,由于直線的斜率是,而圓,所以.由于是線段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、D【解析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?,,?又,故.因?yàn)楫?dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因?yàn)闉榕己瘮?shù),故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時(shí)注意選擇合適的中間數(shù)來(lái)傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.7、D【解析】

連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.8、D【解析】

根據(jù)題意,求得的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足橢圓方程,即可求得結(jié)果.【詳解】由已知可知,點(diǎn)為中點(diǎn),為中點(diǎn),故可得,故可得;代入橢圓方程可得,解得,不妨取,故可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,易知點(diǎn)坐標(biāo),將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得,所以離心率為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,難點(diǎn)在于根據(jù)題意求得點(diǎn)的坐標(biāo),屬中檔題.9、B【解析】

,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時(shí),的展開(kāi)式中的系數(shù)為.當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;故滿(mǎn)足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.10、B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型,屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】

首先,根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,根據(jù)所求函數(shù)的周期性,得到其周期為4,然后借助于三角函數(shù)的周期性確定其值即可.【詳解】解:.,,的周期為,,,,,..故選:C【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換等知識(shí),掌握輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、A【解析】

設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,過(guò)A作于點(diǎn)O,連接DO,得到即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,根據(jù)題中條件求得相應(yīng)的量,分析得到即為直線AC與平面ABD所成角,進(jìn)而求得其正弦值,得到結(jié)果.【詳解】設(shè)E為BD中點(diǎn),連接AE、CE,由題可知,,所以平面,過(guò)A作于點(diǎn)O,連接DO,則平面,所以即為直線AD與平面BCD所成角的平面角,所以,可得,在中可得,又,即點(diǎn)O與點(diǎn)C重合,此時(shí)有平面,過(guò)C作與點(diǎn)F,又,所以,所以平面,從而角即為直線AC與平面ABD所成角,,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)平面圖形翻折問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面角的正弦值的求解,在解題的過(guò)程中,注意空間角的平面角的定義,屬于中檔題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的,利用題意,得出不等式組,求得結(jié)果.【詳解】觀察式子可知,,故答案為:4.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)和,屬于基礎(chǔ)題目.14、52【解析】

設(shè)從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織尺布,由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出.【詳解】設(shè)從第2天開(kāi)始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數(shù)量為,

,故答案為,52.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式,意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.15、【解析】

該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,由此能求出,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,從而內(nèi)切球半徑為,由此能求出.【詳解】四棱錐為陽(yáng)馬,側(cè)棱底面,且,,設(shè)該陽(yáng)馬的外接球半徑為,該陽(yáng)馬補(bǔ)形所得到的長(zhǎng)方體的對(duì)角線為外接球的直徑,,,側(cè)棱底面,且底面為正方形,內(nèi)切球在側(cè)面內(nèi)的正視圖是的內(nèi)切圓,內(nèi)切球半徑為,故.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球和內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題,補(bǔ)形法的運(yùn)用,以及數(shù)學(xué)文化,考查了空間想象能力,是中檔題.解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠確定球心位置,以及選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌茸龀鼋孛?球心位置的確定的方法有很多,主要有兩種:(1)補(bǔ)形法(構(gòu)造法),通過(guò)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體(正方體),球心位置即為體對(duì)角線的中點(diǎn);(2)外心垂線法,先找出幾何體中不共線三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心,再找出過(guò)外心且與不共線三點(diǎn)確定的平面垂直的垂線,則球心一定在垂線上.16、18【解析】

先由,可得,再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】解:因?yàn)椋裕?故答案為:18.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列基本量的運(yùn)算,重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)確定圓的方程,就是確定半徑的值,因?yàn)橹本€與圓相切,所以先確定直線方程,即確定點(diǎn)坐標(biāo):因?yàn)檩S,所以,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,可取,則直線的方程為,根據(jù)圓心到切線距離等于半徑得(2)根據(jù)垂徑定理,求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值,就是求圓心到直線的距離的最小值.設(shè)直線的方程為,則圓心到直線的距離,利用得,化簡(jiǎn)得,利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并結(jié)合韋達(dá)定理得,因此,當(dāng)時(shí),取最小值,取最大值為.試題解析:解:(1)因?yàn)闄E圓的方程為,所以,.因?yàn)檩S,所以,而直線與圓相切,根據(jù)對(duì)稱(chēng)性,可取,則直線的方程為,即.由圓與直線相切,得,所以圓的方程為.(2)易知,圓的方程為.①當(dāng)軸時(shí),,所以,此時(shí)得直線被圓截得的弦長(zhǎng)為.②當(dāng)與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,,首先由,得,即,所以(*).聯(lián)立,消去,得,將代入(*)式,得.由于圓心到直線的距離為,所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為,故當(dāng)時(shí),有最大值為.綜上,因?yàn)?,所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為.考點(diǎn):直線與圓位置關(guān)系18、(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)共線得到,利用正弦定理化簡(jiǎn)得到答案.(2)根據(jù)余弦定理得到,,再利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵與共線,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定理得:,∴.則或(舍去).∴,∵∴.在中,由余弦定理得:,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線,正弦定理,余弦定理,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.19、(1)(2)4【解析】

(1)將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入拋物線中求得點(diǎn)P的坐標(biāo),利用點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d和勾股定理列方程求出p的值即可;(2)設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)以及直線AB的方程,代入拋物線方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,以及垂直關(guān)系,得出關(guān)系式,計(jì)算的值即可.【詳解】(1)將點(diǎn)P橫坐標(biāo)代入中,求得,∴P(2,),,點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為,∴,∴,解得,∴,∴拋物線C的方程為:;(2)拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為,;設(shè),直線AB的方程為,代入拋物線方程可得,∴,…①由,可得,又,,∴,∴,即,∴,…②把①代入②得,,則.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,以及拋物線與圓的方程應(yīng)用問(wèn)題,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.20、(1)(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.(3)【解析】

(1)根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由(1)利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項(xiàng)公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.(3)分類(lèi)討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí),分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)由題意可知,.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿(mǎn)足上式.所以.(2)解法一:由(1)可知,即.當(dāng)時(shí),,①當(dāng)時(shí),,所以,②當(dāng)時(shí),,③當(dāng)時(shí),,所以,④……當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)當(dāng)時(shí),n為偶數(shù)所以以上個(gè)式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.解法二:猜測(cè):當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.猜測(cè):當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:,命題成立;假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,當(dāng)時(shí),n為偶數(shù),由得故,時(shí),命題也成

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