上海市徐匯區(qū)市級名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

上海市徐匯區(qū)市級名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，E為AD的中點(diǎn)，，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（）A. B.C. D.2．“”是“函數(shù)在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A B.C. D.4．《萊茵德紙草書》（RhindPapyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把93個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得面包個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是（）個(gè)A.12 B.24C.36 D.485．已知直線在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是（）A或1 B.或C. D.16．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為（）A. B.C. D.7．在直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則AN與BM所成角的余弦值為（）A. B.C. D.8．已知，，，，則下列不等關(guān)系正確的是()A. B.C. D.9．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定10．展開式的第項(xiàng)為（）A. B.C. D.11．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于（）A.0 B.3C. D.0或3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若不等式的解集為，則________14．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最大值為_____15．寫出一個(gè)離心率且焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程________,并寫出該雙曲線的漸近線方程________16．已知四面體中，，分別在，上，且，，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,是平行四邊形，已知，,平面平面.（1）證明：；（2）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值18．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)數(shù)；（2）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程.20．（12分）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且滿足（1）求證：平面；（2）已知，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小21．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前項(xiàng)和，求使成立的的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)異面直線的定義找出角即為所求，再利用余弦定理解三角形即可得出.【詳解】分別取BC，PB的中點(diǎn)F，G，連接DF，F(xiàn)G，DG，如圖，因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，所以，所以（其補(bǔ)角）是異面直線PC與BE所成的角因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為4菱形，且，，由余弦定理可知，所以，所以，所以異面直線PC與BE所成角的余弦值為，故選：B2、B【解析】對求導(dǎo)，取得函數(shù)在上有極值的等價(jià)條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值，若函數(shù)在上有極值，則，，因?yàn)椋怯赏撇怀?，因此是函?shù)在上有極值的必要不充分條件故選：B3、D【解析】根據(jù)，解不等式即可求解.【詳解】由方程表示圓，則，解得.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：D4、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，根據(jù)題意，由求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比，由題意得：，即，解得，所以，故選：D5、A【解析】分截距都為零和都不為零討論即可.【詳解】當(dāng)截距都為零時(shí)，直線過原點(diǎn)，；當(dāng)截距不為零時(shí)，，.綜上：或.故選：A.6、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿足的概率為.故選：.7、D【解析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求AN與BM對應(yīng)的方向向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求AN與BM所成角的余弦值.【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，∴，所以AN與BM所成角的余弦值為.故選：D8、C【解析】不等式性質(zhì)相關(guān)的題型，可以通過舉反例的方式判斷正誤.【詳解】若、均為負(fù)數(shù)，因?yàn)?，則，故A錯(cuò).若、，則，故B錯(cuò).由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，故C對.若，因?yàn)?，所以，故D錯(cuò).故選：C.9、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動點(diǎn)，所以，，，故選：A10、B【解析】由展開式的通項(xiàng)公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以展開式的第項(xiàng)為，故選：B11、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時(shí)，不等式為，顯然成立；時(shí)，應(yīng)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A12、D【解析】根據(jù)，且構(gòu)成等比數(shù)列，利用“”求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，且?gòu)成等比數(shù)列，所以，解得，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、11【解析】根據(jù)題意得到2與3是方程的兩個(gè)根，再根據(jù)兩根之和與兩根之積求出，進(jìn)而求出答案.【詳解】由題意得：2與3是方程的兩個(gè)根，則，，所以.故答案為：1114、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時(shí)，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.15、①.(答案不唯一)②.(答案不唯一)【解析】令雙曲線為，根據(jù)離心率可得，結(jié)合雙曲線參數(shù)關(guān)系寫出一個(gè)符合要求的雙曲線方程，進(jìn)而寫出對應(yīng)的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，可令雙曲線為且，∴，則，故為其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)漸近線方程為.故答案為：，(答案不唯一).16、【解析】連接，根據(jù)題意，結(jié)合空間向量加減法運(yùn)算求解即可.【詳解】解：連接∵四面體中，，分別在，上，且，∴∴∴.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】（1）推導(dǎo)出，取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，可推出，從而平面，進(jìn)而，由此得到平面，從而；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成二面角的余弦值【詳解】（1）∵是平行四邊形，且∴，故，即取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵∴又∵平面平面∴平面∵平面∴∵平面∴平面，∵平面∴（2）∵,由（Ⅰ）得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則∴設(shè)平面的法向量為，則，即得平面一個(gè)法向量為由（1）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】用空間向量求解立體幾何問題的注意點(diǎn)（1）建立坐標(biāo)系時(shí)要確保條件具備，即要證明得到兩兩垂直的三條直線，建系后要準(zhǔn)確求得所需點(diǎn)的坐標(biāo)（2）用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，要注意向量的夾角與二面角大小間的關(guān)系，這點(diǎn)需要通過觀察圖形來判斷二面角是銳角還是鈍角，然后作出正確的結(jié)論18、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意：，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處有極值，所以.【小問2詳解】由(1)知：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.19、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則直接計(jì)算作答.(2)求出，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，所以函?shù).【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）分別證明出和，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)，所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且滿足．所以，所以.因?yàn)?，所以，?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面，∴直線與底面所成角為，即.因?yàn)椋杂桑?）知，，因，所以，.如圖示，以C為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以，設(shè)，由得，，即.則.設(shè)平面BDC1的一個(gè)法向量為，則，不妨令，則.因?yàn)槊?，所以面的一個(gè)法向量為記二面角的平面角為，由圖知，為銳角.所以,即.所以二面角的大小為.21、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個(gè)法向量=(，1，1)，設(shè)平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個(gè)法向量為=(-，1，0)，∴設(shè)平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】假設(shè)在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，設(shè)(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個(gè)法向量由∥，得，此方程無解.