北京市首師附2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測模擬試題含解析

北京市首師附2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達標(biāo)檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知M、N為橢圓上關(guān)于短軸對稱的兩點,A、B分別為橢圓的上下頂點,設(shè)、分別為直線的斜率,則的最小值為()A. B.C. D.2．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.463．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.4．函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是A. B.C. D.5．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.6．已知點P(5，3，6)，直線l過點A(2，3，1)，且一個方向向量為，則點P到直線l的距離為()A. B.C. D.7．某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當(dāng)廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元（殘差=真實值-預(yù)測值）A.40 B.30C.20 D.108．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.9．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.810．已知圓，為圓外的任意一點，過點引圓的兩條切線、，使得，其中、為切點．在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為（）A. B.C. D.11．若傾斜角為的直線過兩點，則實數(shù)（）A. B.C. D.12．在棱長為2的正方體中，為線段的中點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P是雙曲線右支上的一點，且以點P及焦點為定點的三角形的面積為4，則點P的坐標(biāo)是_____________14．點為橢圓上的一動點，則點到直線的距離的最小值為___________.15．已知函數(shù)，，對一切，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.16．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在時的最大值和最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間存在極小值，求a的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實數(shù)的值；（3）當(dāng)時，在上有兩個極值點且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）拋物線的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點（1）若，求直線AB的斜率；（2）設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值20．（12分）已知橢圓的上、下頂點分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點與其右焦點F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過定點，若過定點，求出該定點坐標(biāo)；否則，請說明理由.21．（12分）給出以下三個條件：①；②，，成等比數(shù)列；③．請從這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并完成作答．若選擇多個條件分別作答，以第一個作答計分已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項和為，，______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知函數(shù)（1）當(dāng)在處取得極值時，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)臉O大值不小于時，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用為定值即可獲解.【詳解】設(shè)則又,所以所以當(dāng)且僅當(dāng),即,取等故選:A2、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C3、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實數(shù)的等式，由此可解得實數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.4、D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，由導(dǎo)函數(shù)的正負，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間5、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B6、B【解析】根據(jù)向量和直線l的方向向量的關(guān)系即可求出點P到直線l的距離.【詳解】由題意，，，，，，到直線的距離為.故選：B.7、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應(yīng)的銷售額，這是一個預(yù)測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當(dāng)時，50，當(dāng)廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應(yīng)（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應(yīng)用，考查求線性回歸方程，考查預(yù)測y的值，是一個綜合題8、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標(biāo)，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，設(shè)，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B9、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標(biāo)為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】連接、、，分析可知四邊形為正方形，求出點的軌跡方程，分析可知線段所掃過圖形為是夾在圓和圓的圓環(huán)，利用圓的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、、，由圓的幾何性質(zhì)可知，，又因為且，故四邊形為正方形，圓心，半徑為，則，故點的軌跡方程為，所以，線段掃過的圖形是夾在圓和圓的圓環(huán)，故在點運動的過程中，線段所掃過圖形的面積為.故選：D.11、A【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.故選：A12、D【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，在直角△中應(yīng)用等面積法求到直線的距離.【詳解】由正方體的性質(zhì)：面，又面，故，直角△中，若到上的高為，∴，而，，，∴.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點坐標(biāo)為故答案為：14、【解析】設(shè)與平行的直線與相切，求解出此時的方程，則點到直線距離的最大值可根據(jù)平行直線間的距離公式求解出.【詳解】設(shè)與平行的直線，當(dāng)與橢圓相切時有：，所以，所以，所以，由題意取時，到直線的距離較小此時與（即）的距離為，所以點到直線距離的最小值為，故答案為：.15、【解析】通過分離參數(shù)，得到關(guān)于x的不等式；再構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，進而求得a的取值范圍【詳解】因為，代入解析式可得分離參數(shù)a可得令（）則，令解得所以當(dāng)0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減當(dāng)1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點睛】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分離參數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題16、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）最大值為9，最小值為；（2）.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而確定在的極值、端點值，比較它們的大小即可知最值.（2）討論參數(shù)a的符號，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，結(jié)合已知區(qū)間的極值情況求參數(shù)a的范圍即可.【小問1詳解】由題，時，，則，令，得或1，則時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在時取極大值，在時取極小值，又，，綜上，在區(qū)間上取得的最大值為9，最小值為.小問2詳解】，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，函數(shù)沒有極值；當(dāng)時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，則；當(dāng)時，時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增.∴在取得極大值，在取得極小值，由得：.綜上，函數(shù)在區(qū)間存在極小值時a的取值范圍是.18、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點為則結(jié)合，得令通過求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個不同零點.結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個極值點為是在上的兩個不同零點可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個不同零點.則，因為函數(shù)的兩個極值點為，則和是在上的兩個不同零點.所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19、（1）；（2）面積最小值是4【解析】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力．第一問，依題意F（1,0），設(shè)直線AB的方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，得，由此能夠求出直線AB的斜率；第二問，由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC的中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于，由此能求出四邊形OACB的面積的最小值試題解析：（1）依題意知F（1,0），設(shè)直線AB方程為．將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得．設(shè)，，所以，．①因為，所以．②聯(lián)立①和②，消去，得所以直線AB的斜率是（2）由點C與原點O關(guān)于點M對稱，得M是線段OC中點，從而點O與點C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于因為，所以當(dāng)m＝0時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4考點：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、直線的斜率20、（1）（2）恒過點【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點，根據(jù)橢圓的性質(zhì)得到，再根據(jù)的取值范圍，得到，再根據(jù)離心率求出、，最后根據(jù)，求出，即可得解；（2）設(shè)、，表示出、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，由，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而得到，再將、代入計算可得；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，所以，因為，所以，又，所以、，因為，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：設(shè)、，依題意可得、，所以、，聯(lián)立得，則即，所以、，因為，所以，即，由得，即，所以，即，，整理得，所以，即，即，解得或，當(dāng)時直線過點，故舍去，所以，則直線恒過點；21、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選②，則根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;若選③，則根據(jù)，列出方程，結(jié)合，求得公差，可得答案;（2）由（1）可得的表達式，利用錯位相減法，求得答案.【小問1詳解】