安徽省江南十校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題含解析_第1頁
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文檔簡介

安徽省江南十校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.以原點(diǎn)為對稱中心的橢圓焦點(diǎn)分別在軸,軸,離心率分別為,直線交所得的弦中點(diǎn)分別為,,若,,則直線的斜率為()A. B.C. D.2.設(shè)函數(shù),則()A.4 B.5C.6 D.73.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,角終邊上有一點(diǎn)(1,2),為銳角,且,則()A.-18 B.-6C. D.4.直線的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.5.若過點(diǎn)(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線的距離為()A. B.C. D.6.已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為,若雙曲線上有一點(diǎn),使,則雙曲線的焦點(diǎn)()A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上 D.當(dāng)時(shí)在軸上7.一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號碼為1,2,3小球,每次取出一個(gè),記下它的標(biāo)號后再放回盒子中,共取2次,則在兩次取得小球中,標(biāo)號最大值是3的概率為()A. B.C. D.8.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo),當(dāng)取得最小值時(shí)圓C:上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,則實(shí)數(shù)r的取值范圍為()A. B.C. D.9.為了解一片大約一萬株樹木的生長情況,隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長(單位:㎝).根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出的樣本頻率分布直方圖如圖,那么在這片樹木中,底部周長小于110㎝的株樹大約是()A.3000 B.6000C.7000 D.800010.已知圓和圓恰有三條公共切線,則的最小值為()A.6 B.36C.10 D.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,則下列說法正確的是()A.是函數(shù)的極大值點(diǎn)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.是函數(shù)的最小值點(diǎn)D.曲線在處切線的斜率小于零12.在數(shù)列中,,則的值為()A. B.C. D.以上都不對二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競賽的名同學(xué)的成績:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.則這人成績的第百分位數(shù)可以是______14.已知正方體的棱長為2,E、F分別是棱、的中點(diǎn),點(diǎn)P為底面ABCD內(nèi)(包括邊界)的一動點(diǎn),若直線與平面BEF無公共點(diǎn),則點(diǎn)P的軌跡長度為______.15.阿波羅尼斯與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠.“阿波羅尼斯圓”是他的代表成果之一:平面上動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A,B的距離之比滿足(且,t為常數(shù)),則點(diǎn)的軌跡為圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中,,,動點(diǎn)P滿足,則P點(diǎn)的軌跡為圓,該圓方程為_________;過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn),且,則_________16.直線被圓截得的弦長為_______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若存在,使得不等式成立,求m的取值范圍18.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,其中P為E的準(zhǔn)線上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且(1)求拋物線E的方程;(2)過的直線與E交于C,D兩點(diǎn),在x軸上是否存在定點(diǎn),使得x軸平分?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由19.(12分)已知動點(diǎn)在橢圓:()上,,為橢圓左、右焦點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,點(diǎn)滿足,且點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的圓(1)求橢圓方程;(2)過點(diǎn),分別作平行直線和,設(shè)交橢圓于點(diǎn),,交橢圓于點(diǎn),,求四邊形的面積的最大值20.(12分)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且雙曲線C過點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn),是否存在直線AB,使得成立,若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請說明理由.21.(12分)2021年11月初某市出現(xiàn)新冠病毒感染者,該市教育局部署了“停課不停學(xué)”的行動,老師們立即開展了線上教學(xué).某中學(xué)為了解教學(xué)效果,于11月30日復(fù)課第一天安排了測試,數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高二年級學(xué)生這次測試的數(shù)學(xué)成績與每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系,對在校高二學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查,了解到其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí),并得到如下的統(tǒng)計(jì)圖:(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫下面列聯(lián)表,是否有95%的把握認(rèn)為“高二學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成績與其每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長有關(guān)”;數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計(jì)每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)25每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)總計(jì)45(2)從被抽查的,且這次數(shù)學(xué)成績超過120分的學(xué)生中,按分層抽樣的方法抽取5名,再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名,求這兩名同學(xué)中至多有一名每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)的概率附:,其中.參考數(shù)據(jù):0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82822.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的極值;(2)若對恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分類討論直線的斜率存在與不存在兩種情況,聯(lián)立直線與曲線方程,再根據(jù),求解.【詳解】設(shè)橢圓的方程分別為,,由可知,直線的斜率一定存在,故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得,故,;聯(lián)立得,則,.因?yàn)?,所以,所?又,所以,所以,所以,.故選:A.【點(diǎn)睛】此題利用設(shè)而不求的方法,找出、、、之間的關(guān)系,化簡即可得到的值.此題的難點(diǎn)在于計(jì)算量較大,且容易計(jì)算出錯(cuò).2、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故,故選:D.3、A【解析】由終邊上的點(diǎn)可得,由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關(guān)系有,再應(yīng)用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設(shè),,,則,又,,所以.故選:A4、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍,再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,,設(shè)直線的傾斜角為,則,解得.故選:A.5、B【解析】由題意可知圓心在第一象限,設(shè)圓心的坐標(biāo)為,可得圓的半徑為,寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用點(diǎn)在圓上,求得實(shí)數(shù)的值,利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點(diǎn)在第一象限,若圓心不在第一象限,則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交,不合乎題意,所以圓心必在第一象限,設(shè)圓心的坐標(biāo)為,則圓的半徑為,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得,可得,解得或,所以圓心的坐標(biāo)為或,圓心到直線的距離均為;圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為;所以,圓心到直線的距離為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查圓心到直線距離的計(jì)算,求出圓的方程是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.6、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程,利用題設(shè)不等式,令二者平方,整理求得的,進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線方程為,,平方,兩邊除,,,雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程,考查對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用,求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn),考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力7、C【解析】求出兩次取球都沒有取到3的概率,再利用對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意,每次取到標(biāo)號為3的球的事件為A,則,且每次取球是相互獨(dú)立的,在兩次取得小球中,標(biāo)號最大值是3的事件M,其對立事件是兩次都沒有取到標(biāo)號為3的球的事件,,則有,所以在兩次取得小球中,標(biāo)號最大值是3的概率為.故選:C8、C【解析】先求出代表的是以為圓心,2為半徑的圓的位于x軸下方部分(包含x軸上的部分),數(shù)形結(jié)合得到取得最小值時(shí)a的值,得到圓心C,利用點(diǎn)到直線距離求出圓心C到直線的距離,數(shù)形結(jié)合求出半徑r的取值范圍.【詳解】,兩邊平方得:,即點(diǎn)P在以為圓心,2為半徑的圓的位于x軸下方部分(包含x軸上的部分),如圖所示:因?yàn)镼的坐標(biāo)為,則在直線,過點(diǎn)A作⊥l于點(diǎn),與半圓交于點(diǎn),此時(shí)長為的最小值,則,所以直線:,與聯(lián)立得:,所以,解得:,則圓C:,則,圓心到直線的距離為,要想圓C上恰有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,則.故選:C9、C【解析】先由頻率分布直方圖得到抽取的樣本中底部周長小于110㎝的概率,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖可得,樣本中底部周長小于110㎝的概率為,因此在這片樹木中,底部周長小于110㎝的株樹大約是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切,由此可得的關(guān)系,從而點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,由求得的最小值,平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,兩圓有三條公切線,則兩圓外切,所以,即,點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,4為半徑的圓上,記,,所以,所以的最小值為故選:B11、B【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn),即可判斷;【詳解】解:由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在處取得極小值即最小值,所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)與最小值點(diǎn),因?yàn)?,所以曲線在處切線的斜率大于零,故選:B12、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng),從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn),進(jìn)而可求.【詳解】解:,數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng),解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】利用百分位數(shù)的求法直接求解即可.【詳解】解:將所給數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.數(shù)據(jù)量,∵是整數(shù),∴故答案為:.14、【解析】取BC中點(diǎn)G,證明平面平面確定點(diǎn)P的軌跡,再計(jì)算作答.【詳解】在正方體中,取BC中點(diǎn)G,連接,如圖,因E、F分別是棱、的中點(diǎn),則,而平面,平面,則有平面,因,則,而,則有四邊形為平行四邊形,有,又平面,平面,于是得平面,而,平面,因此,平面平面,即線段AG是點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡,,所以點(diǎn)P的軌跡長度為.故答案為:15、①.②.【解析】設(shè),根據(jù)可得圓的方程,利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè),則,整理得到,即.因?yàn)?,故為的中點(diǎn),過圓心作的垂線,垂足為,則為的中點(diǎn),則,故,解得,故答案為:,.16、【解析】求出圓心到直線的距離,結(jié)合半徑,利用勾股定理可得答案.【詳解】的圓心坐標(biāo)為,,圓心到直線的距離,則直線被圓截得的弦長為:故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求出切線方程;(2)把題意轉(zhuǎn)化為:存在,使得不等式成立,構(gòu)造新函數(shù),對m進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)求,解不等式,即可求出m的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)镽,.所以,.所以曲線在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為:,即.【小問2詳解】不等式可化為:,即存在,使得不等式成立.構(gòu)造函數(shù),則.①當(dāng)時(shí),恒成立,故在上單調(diào)遞增,故,解得:,故;②當(dāng)時(shí),令,解得:令,解得:故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又,故,解得:,這與相矛盾,舍去;③當(dāng)時(shí),恒成立,故在上單調(diào)遞減,故,不符合題意,應(yīng)舍去.綜上所述:m的取值范圍為:.18、(1)(2)存在;【解析】(1)設(shè),利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出p即可;(2)設(shè)直線MC,MD的斜率分別為,,利用坐標(biāo)計(jì)算恒成立,即可求解.【小問1詳解】拋物線的焦點(diǎn)為,設(shè),則,因?yàn)?,所以,得所以拋物線E的方程為【小問2詳解】假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn),使得x軸平分設(shè)直線的方程為,設(shè)點(diǎn),,聯(lián)立,可得∵恒成立,∴,設(shè)直線MC,MD的斜率分別為,,則由定點(diǎn),使得x軸平分,則,所以把根與系數(shù)的關(guān)系代入可得,得故存在滿足題意.綜上所述,在x軸上存在定點(diǎn),使得x軸平分19、(1);(2)【解析】(1)設(shè)點(diǎn)和,由題意可得點(diǎn)的軌跡方程,將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入T的方程計(jì)算出即可;(2)設(shè)的方程,和,聯(lián)立橢圓方程并消元得到關(guān)于y的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到,進(jìn)而求出和,根據(jù)平行線間的距離公式可得與的距離,得出所求四邊形面積的表達(dá)式,結(jié)合換元法和基本不等式化簡求值即可.【詳解】解:(1)設(shè)點(diǎn),,則點(diǎn),,,∵,∴,∴,∵點(diǎn)在橢圓上,∴,即為點(diǎn)的軌跡方程又∵點(diǎn)的軌跡是過的圓,∴,解得,所以橢圓的方程為(2)由題意,可設(shè)的方程為,聯(lián)立方程,得設(shè),,則,且,所以,同理,又與的距離為,所以,四邊形的面積為,令,則,且,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立所以,四邊形的面積最大值為20、(1);(2)存在,直線AB的方程為:或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點(diǎn)列式計(jì)算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB,設(shè)出其方程,借助弦長公式計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】依題意,,解得:,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB,使得成立,顯然不垂直于y軸,否則,設(shè)直線:,由消去x并整理得:,因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn),設(shè),于是得,則有,即或,因此,,解得,所以存在直線AB,使得成立,此時(shí),直線AB的方程為:或.21、(1)表格見解析,有(2)【解析】(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算填表即可;(2)根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可.【小問1詳解】根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可得:每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長不超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績不超過120分的有人,每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長超過1小時(shí)數(shù)學(xué)成績超過120分的有人,可得列聯(lián)表如下:數(shù)學(xué)成績不超過120分?jǐn)?shù)學(xué)成績超過120分總計(jì)每天在線

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