專題02整式的加減

專題02整式的加減知識點1代數(shù)式1.定義：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.2.代數(shù)式的書寫格式：①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如vt；②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；③帶分數(shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，如應(yīng)寫作；④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略；⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般寫成分數(shù)的形式，如4÷（a4）應(yīng)寫作；注意：分數(shù)線具有除號和括號的雙重作用；⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如平方米.知識點2：單項式1.單項式定義由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式（單獨的一個數(shù)或者單獨的一個字母也是單項式）.2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫這個單項式的系數(shù).3.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).說明：（1）計算單項式的次數(shù)時，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況.如單項式的次數(shù)是字母z，y，x的指數(shù)和，即4＋3＋1=8，而不是7次，應(yīng)注意字母的指數(shù)是1而不是0；（2）單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).如單項式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是13次；（3）單項式是一個單獨字母時，它的指數(shù)是1，如單項式m的指數(shù)是1，單項式是單獨的一個常數(shù)時，一般不討論它的次數(shù)；（4）在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號，通常將乘號寫作“·”或者省略不寫。例如：可以寫成或.（5）在書寫單項式時，數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分數(shù)時轉(zhuǎn)化成假分數(shù).知識點3：多項式（1）定義：幾個單項式的和叫多項式.（2）多項式的項：多項式中的每個單項式叫做多項式的項.（3）多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù).（4）多項式的項數(shù)：多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù).（5）常數(shù)項：多項式里，不含字母的項叫做常數(shù)項.知識點4：整式（1）單項式和多項式統(tǒng)稱為整式.（2）單項式或多項式都是整式.（3）整式不一定是單項式.（4）整式不一定是多項式.（5）分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學習的分式.知識點5：同類項1.定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.2.合并同類項：（1）合并同類項的概念：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項.（2）合并同類項的法則：同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變.（3）合并同類項步驟：a．準確的找出同類項.b．逆用分配律，把同類項的系數(shù)加在一起（用小括號），字母和字母的指數(shù)不變.c．寫出合并后的結(jié)果.（4）在掌握合并同類項時注意：a.如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項后，結(jié)果為0.b.不要漏掉不能合并的項.c.只要不再有同類項，就是結(jié)果（可能是單項式，也可能是多項式）.說明：合并同類項的關(guān)鍵是正確判斷同類項.知識點6：去括號（1）如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；（2）如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.知識點7：整式的加減幾個整式相加減的一般步驟：（1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接；（2）按去括號法則去括號；（3）合并同類項.考點剖析考點一：代數(shù)式及列代數(shù)式【典例1】下列各式中，符合代數(shù)式書寫規(guī)則的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．不符合代數(shù)式的書寫要求，應(yīng)為，故此選項不符合題意；B．符合代數(shù)式的書寫要求，故此選項符合題意；C．不符合代數(shù)式的書寫要求，應(yīng)為，故此選項不符合題意；D．不符合代數(shù)式的書寫要求，應(yīng)為，故此選項不符合題意．故選：B．【變式11】下列各式中，符合代數(shù)式書寫要求的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】應(yīng)表示為：，故選項A不符合要求；應(yīng)表示為：，故選項B不符合要求；應(yīng)表示為：，故選項C不符合要求；的書寫規(guī)范，故選項D符合題意，故選：D．【典例2】蘋果原價是每千克a元，現(xiàn)在按八折出售，假如現(xiàn)在要買1千克，那么需要付費（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】A【解析】蘋果原價是每千克a元，現(xiàn)在按八折出售，那么現(xiàn)價為，∴根據(jù)“質(zhì)量×單價=支付費用”可知需要付費為（元）．故選A．【變式21】一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，那么這個兩位數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵一個兩位數(shù)，它的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，∴根據(jù)兩位數(shù)的表示方法，這個兩位數(shù)表示為：．故選：D．考點二：單項式及多項式的概念【典例3】下列說法中，正確的是（

）A．單項式的系數(shù)是，次數(shù)是3B．關(guān)于的多項式是三次二項式C．都是單項式，也都是整式D．是多項式的項【答案】C【解析】單項式的系數(shù)是，次數(shù)是3，故A不符合題意；關(guān)于的多項式不是三次二項式，故B不符合題意；都是單項式，也都是整式，故C符合題意；是多項式的項，故D不符合題意．故選C．【變式31】單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是（

）A．3，3 B． C．3，4 D．【答案】D【解析】單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是，4．故選：D．【變式32】對于多項式的描述正確的是（

）A．此多項式的次數(shù)為2 B．是該多項式的一項C．它是三次三項式 D．它是三次四項式【答案】D【解析】多項式是三次四項式，該多項式的項分別是，所以A，B，C不正確，D正確．故選：D．【變式33】多項式中不含的項，則k的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】，∵多項式中不含的項，∴，∴，故選：C．【變式34】若多項式是關(guān)于a的二次二項式，則的值是（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【解析】多項式是關(guān)于a的二次二項式，，，，，故選B．考點三：同類項及合并同類項【典例4】計算：(1)；(2)．【解析】（1）原式．（2）原式．【變式41】下列運算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A．，故本選項不符合題意；B．，故本選項符合題意；C．與不是同類項，所以不能合并，故本選項不符合題意；D．與不是同類項，所以不能合并，故本選項不符合題意．故選：B．【變式42】下列各式中，與是同類項的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A．與所含字母不同，故錯誤；B．符合同類項的定義，故正確；C．與所含相同字母的指數(shù)不同，故錯誤；D．與所含字母不同，故錯誤．故選：B．考點四：整式的加減化簡（求值）【典例5】先化簡再求值：(1)，其中；(2)，其中，．【解析】（1），當時，原式；（2），當，時，原式．【變式51】先化簡，再求值：，其中．【解析】，當時，原式；【變式52】先合并同類項，再求值：(1)，其中；(2)，其中，；【解析】（1）原式，當時，原式．（2）原式．當，時,原式．考點五：代數(shù)式求值整體法【典例6】若，則的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】∵∴故選：B．【變式61】已知的值為，則代數(shù)式的值為（

）A．0 B． C． D．3【答案】B【解析】由題意得：∵的值為，∴，∴．故選：B．【變式62】代數(shù)式的值是1，則的值．【答案】【解析】由題意知，，即，∴，故答案為：考點六：代數(shù)式求值面積問題【典例7】【知識學習】學習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題：“代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，求的值”．通常的解題方法是：把，看作字母，看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，所以含項的系數(shù)為0，即原式，所以，則．(1)【理解應(yīng)用】若關(guān)于的多項式的值與的取值無關(guān)，求的值；(2)已知，，且的值與的取值無關(guān)，求的值．(3)【能力提升】有7張如圖1的小長方形，長為，寬為，按照如圖2的方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分（圖中陰影部分），設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，設(shè)，當?shù)拈L變化時，的值始終保持不變，求與的數(shù)量關(guān)系．

【解析】（1）依題意得，，∵關(guān)于的多項式的值與的取值無關(guān)，∴，∴．（2）依題意得，∵，∴，∵的值與的取值無關(guān)，所以，則．（3）依題意，由圖形可知：，，∴，∵當?shù)拈L變化時，的值始終保持不變，∴．即．【變式71】小明家的房屋平面結(jié)構(gòu)如圖，這家房子的主人打算把臥室以外的部分全部都鋪上地磚．(1)用含x，y的代數(shù)式表示房屋地面的總面積；(2)如果米，米，并且每平方米地磚的造價至少需要200元，你能幫小明算算至少要準備多少錢嗎？【解析】（1）依題意得：，答：房屋地面的總面積為．（2），（元），答：至少要準備37800元．【變式72】為培養(yǎng)良好衛(wèi)生習慣，營造良好寢室文化環(huán)境，展現(xiàn)宿舍團結(jié)精神，這個學期學校開展“最美寢室”評比活動，小林寢室窗戶的窗簾如圖1所示，它是由兩個半徑相同的四分之一圓組成的．(1)用代數(shù)式表示窗戶能射進陽光的面積（即空白面積）．（結(jié)果保留）(2)出于美觀考慮，小林寢室的同學們重新將房間的窗簾設(shè)計成如圖2所示（由兩個半徑相同的四分之一圓和一個半圓組成），請用代數(shù)式表示該種設(shè)計下窗戶能射進陽光的面積．（結(jié)果保留）(3)當時，比較哪種設(shè)計射進陽光的面積更大，大多少．（取3）【解析】（1）窗戶能射進陽光的面積為：；（2）重新設(shè)計后窗戶能射進陽光的面積為：；（3）當時，原來窗戶能射進陽光的面積為：；重新設(shè)計后窗戶能射進陽光的面積為：；重新設(shè)計后窗戶能射進陽光的面積原來窗戶能射進陽光的面積，重新設(shè)計后射進陽光的面積更大，大6．考點七：代數(shù)式求值方案設(shè)計問題【典例8】某商場銷售一種西裝和領(lǐng)帶，西裝每套定價元，領(lǐng)帶每條定價元．國慶節(jié)期間商場決定開展促銷活動．方案一：買一套西裝送一條領(lǐng)帶；方案二：西裝和領(lǐng)帶都按定價的付款．現(xiàn)某客戶要到該商場購買西裝套，領(lǐng)帶條．(1)若該客戶按方式一購買，需付款_____元（用含的式子表示）；若該客戶按方式二購買，需付款_____元．（用含的式子表示）(2)若，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？(3)當時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？請寫出你的購買方案，并計算出所需費用．【解析】（1）根據(jù)題意得：客戶要到該商場購買西裝套，領(lǐng)帶條．方案一費用：元；方案二費用：；故答案為：，．（2）當時，方案一：（元），方案二：（元），所以，按方案二購買較合算；（3）先按方案一購買套西裝獲贈送條領(lǐng)帶，再按方案二購買條領(lǐng)帶．所需費用為：（元），是最省錢的購買方案．【變式81】為發(fā)展校園籃球運動，某城區(qū)四個校區(qū)決定聯(lián)合購買一批籃球運動裝備，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的籃球服和籃球，已知每套籃球服元，每個籃球元，經(jīng)洽談，甲商場的優(yōu)惠方案是：每購買套籃球服，送一個籃球；乙商場的優(yōu)惠方案是：若購買籃球服超過套，則購買籃球打八折．(1)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球，則到甲商場購買所花的費用為元，到乙商場購買所花的費用為元；(2)若該城區(qū)四校聯(lián)合購買套籃球服和個籃球，請用含的代數(shù)式分別表示出到甲商場和乙商場購買所花的費用；(3)在（2）的條件下，當時，在哪家商場購買籃球服和籃球更優(yōu)惠？【解析】（1）甲商場的優(yōu)惠方案是：每購買10套籃球服，送一個籃球，到甲商場購買所花的費用為：（元），乙商場的優(yōu)惠方案是：若購買籃球服超過套，則購買籃球打八折，實際購買的籃球服不超過套，故不能打折，到乙商場購買所花的費用為：（元），故答案為：，；（2）到甲商場購買所花的費用為：（元），到乙商場購買所花的費用為：（元）；（3）當時，到甲商場購買所花的費用為：（元），到乙商場購買所花的費用為：（元），，到甲商場購買籃球服和籃球更優(yōu)惠．考點八：代數(shù)式求值分段計費問題【典例9】某超市在春節(jié)期間對顧客實行優(yōu)惠，規(guī)定如下：一次性購物優(yōu)惠辦法少于200元不予優(yōu)惠低于500元但不低于200元八折優(yōu)惠500元或超過500元其中500元部分給予八折優(yōu)惠，超過500元部分給予七折優(yōu)惠(1)周老師一次性購物400元，他實際付款_______元；(2)若周老師在該超市一次性購物x元，當x小于500但不小于200時，他實際付款_______元；當大于或等于500時，他實際付款_______元（用含的式子表示）；(3)如果周老師兩次購物貨款合計880元，其中第一次購物的貨款為a元，請用含的式子表示兩次購物周老師實際一共付款多少元．【解析】（1）因為（元），所以周老師一次性購物400元，他實際付款元，故答案為：；（2）當x小于500但不小于200時，整體按照八折付款，則付款為元；當大于或等于500時，其中500元部分給予八折優(yōu)惠，超過500元部分給予七折優(yōu)惠，付款為：元，故答案為：；；（3）由題意得：第一次購物貨款為元，且，所以第一次付款為：元，第二次購物貨款為：元，且，所以第二次付款為：（元），所以兩次購物王老師實際付款為：（元），答：兩次購物王老師實際付款為元．【變式91】杭州市2023年自來水收費標準如下表：月用水量不超過216米的部分超過216米不超過300米的部分超過300米的部分收費標準（元/米）2.93.836.7備注：①每月居民用水繳費包括實際用水的水費和污水處理費兩部分；②以上表中的價格均已包括1元/米的污水處理費，(1)某用戶9月份用水220米，則該用戶需繳水費多少元？(2)某用戶月用水量為米，請用含的代數(shù)式表示該用戶月所繳的水費．【解析】（1）該用戶9月份應(yīng)繳水費是（元），所以該用戶需繳水費元；（2）①時，所繳水費為元，②時，所繳水費為元，③時，所繳水費為元．過關(guān)檢測一、選擇題1．下列各式中，符合代數(shù)式書寫格式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A、應(yīng)書寫為，故不符合題意；B、應(yīng)寫為，故不符合題意；C、應(yīng)寫為，故不符合題意；D、應(yīng)寫為，故該選項符合題意．故選：D．2．下列去括號正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，故A不符合題意；∵，故B不符合題意；∵，故C不符合題意；∵，故D符合題意．故選：D．3．下列各組式子中，是同類項的是（

）A．2023與2024 B．與 C．與 D．與【答案】A【解析】A、2023與2024是同類項，符合題意；B、與，相同字母的指數(shù)不同，不是同類項，不符合題意；C、與，所含字母不相同，不是同類項，不符合題意；D、與，所含字母不相同，不是同類項，不符合題意．故選A．4．已知單項式與的和為單項式，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵單項式與的和為單項式，∴與是同類項，即：，，解得：，，∴，故選：B．5．在一次數(shù)學考試中，七年級（）班名男生平均得分，名女生平均得分，則這個班全體同學的平均分是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由名男生平均得分，名女生平均得分，則全體同學的總分：，∵全體同學的人數(shù)：，∴全體同學的平均分：，故選：．6．下列說法正確的是（）A．單項式的系數(shù)是3B．的次數(shù)是5C．與是同類項D．是五次三項式【答案】C【解析】．單項式的系數(shù)是，原說法錯誤，故本選項不符合題意；．的次數(shù)是，原說法錯誤，故本選項不符合題意；．與是同類項，原說法正確，故本選項符合題意；．是三次三項式，原說法錯誤，故本選項不符合題意．故選：C．7．若，則的值為（

）A．1 B．4 C．9 D．25【答案】D【解析】，，，，，，故選D．8．周長為的長方形教具，其中一邊長為，則另一邊長為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵鄰邊之和為：，∴另一邊長：，故選：A．9．若關(guān)于x的多項式與的和不含二次項，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【解析】==令，∴，故選：A．10．單項式的系數(shù)和次數(shù)分別是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】單項式的系數(shù)是，次數(shù)是，故選D．11．如圖，觀察圖中的圖形，則第n個圖形中三角形的個數(shù)y與n之間的關(guān)系式是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】第一個圖形中三角形的個數(shù)為4；第二個圖形中三角形的個數(shù)為8；第三個圖形中三角形的個數(shù)為12；從而可知第n個圖形中三角形的個數(shù)y與n之間的關(guān)系式是：．故選：D．二、填空題12．某種桔子的售價是每千克x元，用面值為100元的人民幣購買了6千克，應(yīng)找回元．【答案】（1006x）【解析】應(yīng)找回（1006x）元，故答案為：（1006x）．13．單項式的系數(shù)是，次數(shù)是．【答案】；5【解析】=，∴系數(shù)是，次數(shù)是，故答案為：；5．14．已知是關(guān)于的三次二項式，則，．【答案】3；【解析】∵是關(guān)于的三次二項式，∴，，解得：，，故答案為：3；．15．若多項式中不含項，則k的值為．【答案】【解析】∵多項式中不含項，∴，∴，故答案為：．16．若，則代數(shù)式．【答案】【解析】∵，故將代入原式得：，故答案為：．三、解答題17．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）．18．化簡或求值：(1)化簡：；(2)先化簡，再求值：，其中，．【解析】（1）；（2），當，時，原式．19．先化