選擇性必修第一冊(cè)第1章 1.1　1.1.2　空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

PAGE1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法．(重點(diǎn))3.掌握投影向量的概念．(重點(diǎn))4.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題．(難點(diǎn))1.通過(guò)學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).2.借助投影向量概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生直觀(guān)想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).3.借助利用空間向量數(shù)量積證明垂直關(guān)系、求夾角和距離運(yùn)算，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).已知兩個(gè)非零向量a與b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．如果a與b的夾角為90°，則稱(chēng)a與b垂直，記作a⊥b.已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，把a(bǔ)·b＝|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)類(lèi)比探究一下：兩個(gè)空間向量的夾角以及它們的數(shù)量積能否像平面向量那樣來(lái)定義呢？1．空間向量的夾角(1)夾角的定義已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)夾角的范圍空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量同向共線(xiàn)；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量反向共線(xiàn)，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，兩向量垂直，記作a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c思考：(1)若a·b＝0，則一定有a⊥b嗎？(2)若a·b>0，則〈a，b〉一定是銳角嗎？[提示](1)若a·b＝0，則不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0.(2)當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，也有a·b>0，故當(dāng)a·b>0時(shí)，〈a·b〉不一定是銳角．3．投影向量(1)投影向量在空間，向量a向向量b投影，可以先將它們平移到同一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線(xiàn)的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，則向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉eq\f(a,|a|).(2)向量a在平面β上的投影向量向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))，則向量eq\o(A′B′,\s\up8(→))稱(chēng)為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up8(→))的夾角就是向量a所在直線(xiàn)與平面β所成的角．[提醒](1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿(mǎn)足消去律、作商和乘法的結(jié)合律，即a·b＝a·c?b＝c，a·b＝k?b＝eq\f(k,a)，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)于非零向量a，b，〈a，b〉與〈a，－b〉相等． ()(2)對(duì)于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)． ()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，則a＝c． ()(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2． ()[提示](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材P8練習(xí)T1改編)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與BC1所成角的余弦值為()A．eq\f(3,8)B．eq\f(1,4)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,8)B[令底面邊長(zhǎng)為1，則高也為1，eq\o(AB1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))，eq\o(BC1,\s\up8(→))＝Beq\o(C,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))，∴eq\o(AB1,\s\up8(→))·eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→)))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BB1,\s\up8(→))·eq\o(CC1,\s\up8(→))＝1×1×cos120°＋12＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AB1,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC1,\s\up8(→))|＝eq\r(2).∴cos〈AB1，BC1〉＝eq\f(\f(1,2),\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4).故選B.]3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝()A．1B．2C．3D．4A[由題意知，p·q＝0，p2＝q2＝1.所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3－2＝1.]4．設(shè)a⊥b，〈a，c〉＝eq\f(π,3)，〈b，c〉＝eq\f(π,6)，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，則向量a＋b＋c的模是________．eq\r(17＋6\r(3))[因?yàn)閨a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋1×3×\f(1,2)＋2×3×\f(\r(3),2)))＝17＋6eq\r(3)，所以|a＋b＋c|＝eq\r(17＋6\r(3)).]空間向量數(shù)量積的運(yùn)算【例1】(1)如圖，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，則eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))等于()A．－2B．2C．－2eq\r(3)D．2eq\r(3)(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，求eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))的值．(1)A[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0－2×2×cos60°＝－2.](2)[解]eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))＋(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→)).∴eq\o(OG,\s\up8(→))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(OB,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OC,\s\up8(→))＋\f(1,3)\o(OA,\s\up8(→))))·(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))2＝eq\f(1,3)×22＋eq\f(1,3)×32＋eq\f(1,3)×12＝eq\f(14,3).在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟1首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.2利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.3根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.4代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，求下列向量的數(shù)量積：(1)eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(ED1,\s\up8(→))；(2)eq\o(BF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→)).[解]如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(ED1,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))·(eq\o(EA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→)))＝b·eq\f(1,2)(c－a)＋b＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝(eq\o(BA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1F,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝c－a＋eq\f(1,2)b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系【例2】已知空間四邊形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC.[思路探究]首先把向量eq\o(OG,\s\up8(→))和eq\o(BC,\s\up8(→))均用eq\o(OA,\s\up8(→))、eq\o(OB,\s\up8(→))、eq\o(OC,\s\up8(→))表示出來(lái)，通過(guò)證明eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0來(lái)證得OG⊥BC.[證明]連接ON，設(shè)∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又設(shè)eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|.又eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OM,\s\up8(→))＋eq\o(ON,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OA,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up8(→))＋\o(OC,\s\up8(→))))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝c－b.∴eq\o(OG,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)＝eq\f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝eq\f(1,4)(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.∴eq\o(OG,\s\up8(→))⊥eq\o(BC,\s\up8(→))，即OG⊥BC.用向量法證明垂直關(guān)系的步驟(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)用已知向量表示所證向量；(3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.證明：PA⊥BD.[證明]由底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD知，DA⊥BD，則eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝0.由PD⊥底面ABCD知，PD⊥BD，則eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(PD,\s\up8(→))＝0.又eq\o(PA,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))，∴eq\o(PA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝(eq\o(PD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→)))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(PD,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，即PA⊥BD.夾角問(wèn)題【例3】(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，則向量a與b之間的夾角〈a，b〉為()A．30° B．45°C．60° D．以上都不對(duì)(2)如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求異面直線(xiàn)OA與BC的夾角的余弦值．[思路探究](1)根據(jù)題意，構(gòu)造△ABC，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，根據(jù)△ABC三邊之長(zhǎng)，利用余弦定理求出向量a與b之間的夾角即可．(2)求異面直線(xiàn)OA與BC所成的角，首先來(lái)求eq\o(OA,\s\up8(→))與eq\o(BC,\s\up8(→))的夾角，但要注意異面直線(xiàn)所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的取值范圍為[0，π]，注意角度的轉(zhuǎn)化．(1)D[∵a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，∴以這三個(gè)向量首尾相連組成△ABC；令eq\o(AB,\s\up8(→))＝c，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝a，則△ABC三邊之長(zhǎng)分別為BC＝2，CA＝3，AB＝4；由余弦定理，得：cos∠BCA＝eq\f(BC2＋CA2－AB2,2BC·CA)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)＝－eq\f(1,4)，又向量eq\o(BC,\s\up8(→))和eq\o(CA,\s\up8(→))是首尾相連，∴這兩個(gè)向量的夾角是180°－∠BCA，∴cos〈a，b〉＝eq\f(1,4)，即向量a與b之間的夾角〈a，b〉不是特殊角．](2)[解]∵eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，∴eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉－|eq\o(OA,\s\up8(→))|·|eq\o(AB,\s\up8(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2).∴cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(OA,\s\up8(→))·\o(BC,\s\up8(→)),|\o(OA,\s\up8(→))|·|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(24－16\r(2),8×5)＝eq\f(3－2\r(2),5)，∴異面直線(xiàn)OA與BC的夾角的余弦值為eq\f(3－2\r(2),5).利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路(1)求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求出cos〈a，b〉的值，最后確定〈a，b〉的值．(2)求兩條異面直線(xiàn)所成的角，步驟如下：①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線(xiàn)上取兩個(gè)向量(即直線(xiàn)的方向向量)；②將異面直線(xiàn)所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小；④異面直線(xiàn)所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，從而求出異面直線(xiàn)所成的角的大小．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求eq\o(BC1,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))夾角的大?。甗解]不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則eq\o(BC1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0＋eq\o(AD2,\s\up8(→))＋0＋0＝eq\o(AD2,\s\up8(→))＝1，又∵|eq\o(BC1,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，∴cos〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(BC1,\s\up8(→))·\o(AC,\s\up8(→)),|\o(BC1,\s\up8(→))||\o(AC,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉∈[0，π]，∴〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,3).即eq\o(BC1,\s\up8(→))與eq\o(AC,\s\up8(→))夾角的大小為eq\f(π,3).距離問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．用數(shù)量積解決的距離問(wèn)題一般有哪幾種？[提示]線(xiàn)段長(zhǎng)度即點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線(xiàn)距、點(diǎn)面距．2．求模的大小常用哪些公式？[提示]由公式|a|＝eq\r(a·a)可以推廣為|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).3.如圖，已知線(xiàn)段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在平面α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，試求A，D兩點(diǎn)間的距離．[提示]∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→)))2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋|eq\o(BC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·CD＋2eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝12＋2(2·2·cos90°＋2·2·cos120°＋2·2·cos90°)＝8，∴|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2eq\r(2)，即A，D兩點(diǎn)間的距離為2eq\r(2).【例4】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對(duì)角線(xiàn)AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D間的距離．[思路探究]eq\x(\o(BD,\s\up8(→))＝\o(BA,\s\up8(→))＋\o(AC,\s\up8(→))＋\o(CD,\s\up8(→)))→eq\x(|\o(BD,\s\up8(→))|2)注意對(duì)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉的討論，再求出B，D間距離．[解]∵∠ACD＝90°，∴eq\o(AC,\s\up8(→))·CD＝0，同理可得eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°或〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°.又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))，∴|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up8(→))|2＋|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋2eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＝3＋2×1×1×cos〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉．∴當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝60°時(shí)，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2；當(dāng)〈eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(CD,\s\up8(→))〉＝120°時(shí)，|eq\o(BD,\s\up8(→))|2＝2，此時(shí)B，D間的距離為eq\r(2).求兩點(diǎn)間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)的方法(1)將相應(yīng)線(xiàn)段用向量表示，通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)求對(duì)應(yīng)向量的模．(2)因?yàn)閍·a＝|a|2，所以|a|＝eq\r(a·a)，這是利用向量解決距離問(wèn)題的基本公式．另外，該公式還可以推廣為|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).(3)可用|a·e|＝|a||cosθ|(e為單位向量，θ為a，e的夾角)來(lái)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量所在直線(xiàn)上的投影．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4.如圖所示，在平面角為120°的二面角α-AB-β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)．[解]∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.∵二面角α-AB-β的平面角為120°，∴〈eq\o(CA,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))〉＝180°－120°＝60°.∴eq\o(CD,\s\up8(→))2＝(eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))2＝eq\o(CA,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BD,\s\up8(→))2＋2eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＋2eq\o(BD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝3×62＋2×62×cos60°＝144，∴CD＝12.1．空間兩向量的數(shù)量積與平面向量的數(shù)量積類(lèi)似，由于數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律，因此在進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，一次、二次式與實(shí)數(shù)運(yùn)算相同，運(yùn)算公式也相同，三次及以上必須按式中的運(yùn)算順序依次進(jìn)行運(yùn)算．2．空間向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法(1)利用定義：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找?jiàn)A角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算．3．在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．4．空間向量中求兩向量夾角與平面向量中的求法完全相同，都是應(yīng)用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，解題的關(guān)鍵就是求a·b和|a|、|b|.求模時(shí)注意|a|2＝a·a的應(yīng)用．1.如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于1，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則eq\o(FG,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝()A．eq\f(\r(3),4)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)B[由題意可得eq\o(FG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(FG,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4).]2．已知兩異面直線(xiàn)的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則兩直線(xiàn)的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°B[設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°，則兩個(gè)方向向量對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)的夾角為180°－120°＝60°.]3．在空間四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝________.0[原式＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))·(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CA,\s\up8(→)))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0.]4.如圖所示，在一個(gè)直二面角α-AB-β的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于A(yíng)B的線(xiàn)段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．2eq\r(29)[∵eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→)))2＝eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(AC,\s\up8(→))2＋eq\o(BD,\s\up8(→))2－2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋2eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))－2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝16＋36＋64＝116，∴|eq\o(CD,\s\up8(→))|＝2eq\r(29).]5.如圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是邊AB，CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN為AB和CD的公垂線(xiàn)；(2)求MN的長(zhǎng)；(3)求異面直線(xiàn)AN與MC所成角的余弦值．[解]設(shè)eq\o(AB,\s\up8(→))＝p，eq\o(AC,\s\up8(→))＝q，eq\o(AD,\s\up8(→))＝r.由題意，可知|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.(1)證明：eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AM,