2023-2024學(xué)年河南省洛陽市偃師實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

九年級(jí)數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分共30分）1．二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞12．下列各式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．無實(shí)數(shù)解4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠05．如果，那么x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥36．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．40107．下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD?AC（7題）8．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或129．已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．10．如圖，銳角△ABC的邊AB、AC上的高線BD、CE交于點(diǎn)O，連接ED，則圖中相似的三角形有（）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)二．填空題（每題分共15分）11．規(guī)定用符號(hào)[m]表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為．12．若兩個(gè)最簡二次根式和是同類二次根式，則n＝．13．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為．14．已知，點(diǎn)P、Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，若AB＝8，則PQ的長是．15．在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1，小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)p，得到方程的兩個(gè)根是5，﹣4，則原來的方程是．三．解答題（共8小題75分）16．計(jì)算下列各式：（每題4分共8分）（1）；（2）．17．解方程：（每題4分共16分）（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．（3）x2﹣2x﹣99＝0；（4）2x2+2x﹣1＝0．18．定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．（6分）（1）若a與是關(guān)于4的因子二次根式，則a＝；（2分）（2）若﹣1與m﹣是關(guān)于﹣2的因子二次根式，求m的值．（6分）19．已知a＝2+，b＝2﹣．（8分）（1）填空：a+b＝，ab＝；（4分）（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．（8分）20．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？（8分）21．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（9分）（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．22．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元．（10分）（1）連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？23．已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．特例解析：（10分）（1）如圖1，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證：；類比探究：（2）如圖2，若四邊形ABCD是平行四邊形，且∠B+∠EGC＝180°，求證：．參考答案與試題解析一．選擇題（共30分）1．二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)1﹣a≥0，解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意，得1﹣a≥0，解得a≤1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．2．下列各式中，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．【解答】解：A.，不是最簡二次根式；B.，是最簡二次根式；C.，不是最簡二次根式；D.，不是最簡二次根式．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．3．一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（）A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．無實(shí)數(shù)解【分析】方程移項(xiàng)后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+1）＝0，分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0，可得x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．4．若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式即可判斷．【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有實(shí)數(shù)根，∴（﹣6）2﹣4×9k≥0，且k≠0，解得k≤1且k≠0，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握一元二次方程的定義及根的判別式是解題的關(guān)鍵．5．如果，那么x的取值范圍是（）A．x＜3 B．x≤3 C．x＞3 D．x≥3【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：∵，∴3﹣x≥0，解得x≤3，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．6．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+β的值為（）A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，得到α+β＝﹣2，α?β＝﹣2024，由方程的根可得α2+2α＝2024，然后代入變形后的式子求值，即可得到答案．【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α+β＝﹣2，α2+2α＝2024，∴原式＝α2+2α+α+β＝2024+（﹣2）＝2022．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．7．下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD?AC【分析】根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，以及根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，分別判斷得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵AB2＝AD?AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，利用了有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．8．已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長為（）A．9 B．12 C．2或5 D．9或12【分析】用因式分解法求出方程的兩個(gè)根分別是2和5，有三角形的三邊關(guān)系，2為底，5為腰，可以求出三角形的周長．【解答】解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0∴x1＝2，x2＝5．∵三角形是等腰三角形，必須滿足三角形三邊的關(guān)系，∴腰長是5，底邊是2，周長為：5+5+2＝12．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用因式分解法解一元二次方程，求出方程的兩個(gè)根，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，確定三角形的周長．9．已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積．對(duì)選項(xiàng)一一分析，選出正確答案．【解答】解：A、兩邊同時(shí)乘以最簡公分母pn得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；B、兩邊同時(shí)乘以最簡公分母mq得mn＝pq，與原式相等，正確，不符合題意；C、兩邊同時(shí)乘以最簡公分母qm得pq＝mn，與原式相等，正確，不符合題意；D、兩邊同時(shí)乘以最簡公分母qn得mq＝pn，與原式不相等，錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段等知識(shí)點(diǎn)，解答此題應(yīng)把每一個(gè)選項(xiàng)乘以最簡公分母后與原式相比較看是否相同．10．如圖，銳角△ABC的邊AB、AC上的高線BD、CE交于點(diǎn)O，連接ED，則圖中相似的三角形有（）A．5對(duì) B．6對(duì) C．7對(duì) D．8對(duì)【分析】由∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACE，可證△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對(duì)相似三角形，由相似三角形的判定方法可證△ADE∽△ABC，△BOC∽△EOD，可得結(jié)論．【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC＝∠AEC＝∠BDC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE∽△BOE∽△COD，即有6對(duì)相似三角形，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∵，∠DOE＝∠BOC，∴△BOC∽△EOD，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共15分）11．規(guī)定用符號(hào)[m]表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3，按此規(guī)定[7﹣]的值為4．【分析】直接估算的取值范圍，進(jìn)而結(jié)合符號(hào)[m]表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴[7﹣]＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的加減，正確估算無理數(shù)的大小是解題關(guān)鍵．12．若兩個(gè)最簡二次根式和是同類二次根式，則n＝﹣1．【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列出方程，解方程求出n，根據(jù)最簡二次根式的概念判斷，得到答案．【解答】解：∵最簡二次根式和是同類二次根式，∴n2﹣2n＝n+4，解得，n1＝﹣1，n2＝4，當(dāng)n＝4時(shí)，＝，不是最簡二次根式，∴n＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是同類二次根式的概念、最簡二次根式的概念，掌握把幾個(gè)二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式是解題的關(guān)鍵．13．已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為6+．【分析】先利用直接開平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它們代入2a+b中計(jì)算即可．【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，解得x1＝2+．x2＝2﹣，∵方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，∴a＝2+，b＝2﹣，∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．故答案為：6+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了解一元二次方程．14．已知，點(diǎn)P、Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，若AB＝8，則PQ的長是．【分析】先由黃金分割的比值求出，再由PQ＝AQ+BP﹣AB進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)P、Q是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB＝8，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．15．在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小紅看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)q，得到方程的兩個(gè)根是﹣3，1，小明看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)p，得到方程的兩個(gè)根是5，﹣4，則原來的方程是x2+2x﹣20＝0．【分析】先設(shè)這個(gè)方程的兩根是α、β，根據(jù)兩個(gè)根是﹣3，1和兩個(gè)根是5，﹣4，得出α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，從而得出符合題意的方程．【解答】解：設(shè)此方程的兩個(gè)根是α、β，根據(jù)題意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20，則以α、β為根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0．故答案為：x2+2x﹣20＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．三．解答題（共75分）16．計(jì)算下列各式：（1）；（2）．【分析】（1）先利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算，然后化簡各二次根式后合并即可；（2）先根據(jù)完全平方公式計(jì)算，然后把各二次根式化簡后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3++3﹣＝3+；（2）原式＝3﹣4+4+2﹣+＝7﹣2﹣+．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．17．解方程：（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．（3）x2﹣2x﹣99＝0；（4）2x2+2x﹣1＝0．【解答】解：（1）x2+8x﹣9＝0，x2+8x＝9，x2+8x+16＝9+16，即（x+4）2＝25，∴x+4＝±5，∴x1＝﹣9，x2＝1；（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，∴x+3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣3，x2＝1．（3）∵x2﹣2x﹣99＝0，∴（x﹣11）（x+9）＝0，則x﹣11＝0或x+9＝0，解得x1＝11，x2＝﹣9；（4）∵a＝2，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0，則x＝＝，∴，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．18．定義：若兩個(gè)二次根式a，b滿足a?b＝c，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．（1）若a與是關(guān)于4的因子二次根式，則a＝2；（2）若﹣1與m﹣是關(guān)于﹣2的因子二次根式，求m的值．【分析】（1）根據(jù)新定義得到a×＝4，然后解方程即可；（2）根據(jù)新定義得到（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，然后解方程即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得a×＝4，解得a＝2，故答案為：2；（2）根據(jù)題意得（﹣1）×（m﹣）＝﹣2，所以m﹣＝﹣＝﹣（+1），解得m＝﹣1，即m的值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的定義：正確理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．19．已知a＝2+，b＝2﹣．（1）填空：a+b＝4，ab＝﹣2；（2）求a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）的值．【分析】（1）根據(jù)二次根式的加法法則、乘法法則計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則把原式變形，代入計(jì)算，得到答案．【解答】解：（1）∵a＝2+，b＝2﹣，∴a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣6＝﹣2，故答案為：4；﹣2；（2）a2﹣3ab+b2+（a+1）（b+1）＝a2﹣3ab+b2+ab+a+b+1＝a2+2ab+b2﹣4ab+a+b+1＝（a+b）2﹣4ab+a+b+1＝42﹣4×（﹣2）+4+1＝16+8+4+1＝29．20．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么何時(shí)△QBP與△ABC相似？【分析】設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，利用兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行分類討論：＝時(shí)，△BPQ∽△BAC，即＝；當(dāng)＝時(shí)，△BPQ∽△BCA，即＝，然后方程解方程即可．【解答】解：設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以△QBP與△ABC相似，則AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴當(dāng)＝時(shí)，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；當(dāng)＝時(shí)，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即經(jīng)過2秒或0.8秒時(shí)，△QBP與△ABC相似．21．已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得a＝b＝c，方程化為x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，則a＝b，所以△ABC為等腰三角形；（2）△ABC為直角三角形；理由：根據(jù)題意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC為直角三角形；（3）∵△ABC為等邊三角形，∴a＝b＝c，∴方程化為x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．22．某水果商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價(jià)每千克50元．（1）連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【分析】（1）設(shè)每次下降的百分率