2024-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷及答案解析

-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷考試時間：120分鐘試卷總分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.2.已知集合，，則（）A.B.C. D.3.已知直線和兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4.某單位職工參加某APP推出的“二十大知識問答競賽”活動，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對得5分，答錯得0分，該單位從職工中隨機抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計該單位職工答題情況，則下列說法正確的是（）A.該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差D.該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差5.設(shè)x，y∈R，向量，且，則（）A B. C.3 D.6.魏晉南北期時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才給打破.已知的近似值還可以表示成，則的值為（）A. B. C.8 D.167.奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過點，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點，與分別為線和上的動點（不包括端點），若、則線段長度的取值范圍為（）A.[) B.[] C.[) D.[]二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設(shè)事件“點數(shù)為4”，事件“點數(shù)為奇數(shù)”，事件“點數(shù)小于4”，事件“點數(shù)大于3”，則（）A.與互斥 B.與互斥C.與對立 D.與對立10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點對稱11.已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（）A.三棱錐外接球表面積為B.三棱錐外接球的表面積為C.三棱錐內(nèi)切球的半徑為D.三棱錐內(nèi)切球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正方形邊長為，以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為_______．13.已知，則的最小值為____________．14.如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，，．若方向上的單位向量為，則在向量方向上的投影向量為______．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．15.如圖，在三棱柱中，D，E分別為和AB的中點，設(shè)，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.16.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，．（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離．17.在中，角的對邊分別為，且.（1）求角：（2）若，角的平分線交于點，且滿足，求的面積.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點M，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．19.設(shè)函數(shù)的定義域為，對于區(qū)間，若滿足以下兩條性質(zhì)之一，則稱為的一個“Ω區(qū)間”.性質(zhì)1：對任意，均有；性質(zhì)2：對任意，均有.（1）分別判斷說明區(qū)間是否為下列兩函數(shù)的“Ω區(qū)間”；；.若是函數(shù)“Ω區(qū)間”，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年大理州民族中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試卷考試時間：120分鐘試卷總分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡已知等式，再由共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的關(guān)系求出共軛復(fù)數(shù)的模長即可.【詳解】由已知可得，所以，所以，故選：A.2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式確定集合的元素，再利用集合的并集運算即可求解.【詳解】由，解得，所以，因為，得，所以，故.故選:C．3.已知直線和兩個不同的平面，則下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A選項，若，則可能與平行，故A錯誤；對于B選項，若，則可能與平行或者在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C選項，若，則可能平行或者相交，則C錯誤；對于D選項，由面面平行以及線面垂直的性質(zhì)可知，D正確；故選：D【點睛】本題主要考查了直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.4.某單位職工參加某APP推出“二十大知識問答競賽”活動，參與者每人每天可以作答三次，每次作答20題，每題答對得5分，答錯得0分，該單位從職工中隨機抽取了10位，他們一天中三次作答的得分情況如圖：根據(jù)圖，估計該單位職工答題情況，則下列說法正確的是（）A.該單位職工一天中各次作答的平均分保持一致B.該單位職工一天中各次作答的正確率保持一致C.該單位職工一天中第三次作答得分的極差小于第二次的極差D.該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給出統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)，分別計算出三次作答的平均分、正確率、極差、標準差，即可作出判斷．【詳解】由題可得，該單位抽取的10位員工三次作答的得分分別為：1號員工2號員工3號員工4號員工5號員工6號員工7號員工8號員工9號員工10號員工第一次作答65808580909090859090第二次作答80859090959095909595第三次作答8590959510010010095100100對于A：第一次作答的平均分為：，第二次作答的平均分：，第三次作答的平均分：，故該單位職工一天中各次作答的平均分不一致，故A錯誤；對于B：第一次作答的正確率：，第二次作答的正確率：，第三次作答的正確率：，故該單位職工一天中各次作答的正確率不一致，故B錯誤；對于C：該單位職工一天中第三次作答得分的極差：，該單位職工一天中第二次作答得分的極差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的極差等于第二次的極差，故C錯誤；對于D：該單位職工一天中第三次作答得分的標準差：，該單位職工一天中第一次作答得分的標準差：，故該單位職工一天中第三次作答得分的標準差小于第一次的標準差，故D正確，故選：D．5.設(shè)x，y∈R，向量，且，則（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由向量的關(guān)系列等式求解x，y的值，再運用向量的數(shù)乘及加法的坐標表示公式，結(jié)合向量的模計算得出結(jié)果.【詳解】解：向量，且，∴，解得∴，∴，選項B正確.故選：B．6.魏晉南北期時期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，誤差小于八億分之一，這個記錄在一千年后才給打破.已知的近似值還可以表示成，則的值為（）A. B. C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】利用的近似值是代入化簡，即得結(jié)果.【詳解】由已知的近似值是代入得，.故選：B.7.奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過點，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得：，解不等式即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，且，所以；又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，有，即，解得.故選：D8.如圖，在直三棱柱中，，已知與分別為和的中點，與分別為線和上的動點（不包括端點），若、則線段長度的取值范圍為（）A.[) B.[] C.[) D.[]【答案】A【解析】【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)出的坐標，根據(jù)已知條件求得參數(shù)之間的關(guān)系，并建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，求其值域即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)點坐標為，，故，因為，故可得，則，由可得，又，故,故當(dāng)時，取得最小值；又當(dāng)時，，但無法取到，則無法取到；綜上，線段DF長度的取值范圍為.故選：A二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數(shù)，設(shè)事件“點數(shù)為4”，事件“點數(shù)為奇數(shù)”，事件“點數(shù)小于4”，事件“點數(shù)大于3”，則（）A.與互斥 B.與互斥C.與對立 D.與對立【答案】ABD【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件的概念求解.【詳解】事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)為奇數(shù)”不能同時發(fā)生，所以與互斥，A正確.事件“點數(shù)為4”與“點數(shù)小于4”不能同時發(fā)生，所以與互斥，B正確.事件“點數(shù)為奇數(shù)”的對立事件是“點數(shù)為偶數(shù)”，不是“點數(shù)大于3”，C錯誤.事件“點數(shù)小于4”的對立事件是“點數(shù)不小于4”，即“點數(shù)大于3”，與對立，D正確.故選：ABD.10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小正周期為B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.圖像關(guān)于原點對稱【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得出，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項；計算的值可判斷B選項；由，在的單調(diào)性可判斷C選項；利用奇函數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】將函數(shù)圖象向右平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象.對于A選項，函數(shù)的最小正周期為，A選項正確；對于B選項，，B選項錯誤；對于C選項，，則，，在上單調(diào)遞增，C選項正確；對于D選項，函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，D選項正確.故選：ACD.11.已知三棱錐的底面是直角三角形，平面，，則（）A.三棱錐外接球的表面積為B.三棱錐外接球的表面積為C.三棱錐內(nèi)切球的半徑為D.三棱錐內(nèi)切球的半徑為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三棱錐特征構(gòu)造長方體求出外接球半徑，求得表面積，再由等體積法求出內(nèi)切球半徑.【詳解】由題意可知，，兩兩垂直，則三棱錐外接球的半徑滿足，從而三棱錐外接球的表面積為，故A正確，B錯誤.由題意可得三棱錐的體積，三棱錐的表面積.設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，因為V=1所以，則C正確，D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.正方形邊長為，以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積為_______．【答案】【分析】得到的幾何體為圓柱，從而可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，則所得幾何體的側(cè)面積為：，故答案：.13.已知，則的最小值為____________．【答案】3【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立故答案為：314.如圖，在三棱錐中，平面，平面平面，，，．若方向上的單位向量為，則在向量方向上的投影向量為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合垂直關(guān)系可得，，結(jié)合投影向量的定義分析求解.【詳解】因為平面平面，平面平面，平面，，可得平面，且平面，則，又因為平面，平面，則，故在方向上的投影向量為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟．15.如圖，在三棱柱中，D，E分別為和AB的中點，設(shè)，，.（1）用表示向量；（2）若，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用空間向量的運算法則即可求解；（2）由空間向量數(shù)量積的運算律計算可得結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)題意可得；【小問2詳解】易知，且，顯然，；所以.16.已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，．（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）以所在直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，求出相關(guān)向量的坐標，利用向量數(shù)量積證明線面垂直，繼而可證明結(jié)論.（2）利用向量法求得平面的法向量，根據(jù)距離的向量求法求點到平面的距離．【小問1詳解】證明：平面，為正方形，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系．由已知可得，，，，為的中點，，所以，，，所以，所以，又點為中點，，所以，，平面，平面，又因為平面,故平面平面．【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，則令，則，，，設(shè)點到平面的距離為d，,點到平面的距離為．17.在中，角的對邊分別為，且.（1）求角：（2）若，角的平分線交于點，且滿足，求的面積.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合正弦定理、三角恒等變換分析求解；（2）由角平分線性質(zhì)可得，利用余弦定理解得，，結(jié)合面積公式運算求解.【小問1詳解】因為，整理得，由正弦定理可得：，且，則，可得，即，且，可得.【小問2詳解】因為為角的角平分線，則，即，由余弦定理可得，即，解得或（舍去），則，所以的面積.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）求證：；（2）在線段上，是否存在一點M，使得二面角的大小為，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)求出，的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出，由平面得出，故平面，于是；（2）假設(shè)存在點，做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出到平面的距離從而確定的位置，利用棱錐的體積求出到平面的距離，根據(jù)勾股定理計算，則即為所求角的正弦值．【小問1詳解】證明：如圖，由已知得四邊形ABCD是直角梯形，由，，可得是等腰直角三角形，即，∵平面，∴，又平面PAC,∴平面，∴．【小問2詳解】(方法1)過點M作交于點N，則，∵平面，∴平面