2024學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷及答案解析

學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷考生須知：1．本卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.已知，，則在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為（）A. B. C. D.4.圓：與圓：的公切線有且僅有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條5.如圖，在正四棱錐中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.6.已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）A. B. C. D.7.已知球與正方體的各個(gè)面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長(zhǎng)為（）A. B. C.1 D.28.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過(guò)M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間中三點(diǎn)，則正確的有（）A.與是共線向量 B.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是C.與夾角的余弦值是 D.與同向的單位向量是10.已知線段是圓一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.弦的中點(diǎn)軌跡是圓B.直線分別過(guò)定點(diǎn)和C.直線的交點(diǎn)在定圓上D.線段的最小值為11.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O：于M，N兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A實(shí)數(shù)a越小，橢圓C越圓B.若，且，則C.當(dāng)時(shí)，過(guò)的直線交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方）且，則的斜率D.若，則非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是__________（填“平行”，“異面”，“相交”）．13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，如果的中點(diǎn)在y軸上，那么是的________倍14.已知圓，過(guò)圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，則最小值為_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，（1）求橢圓方程；（2）斜率為的直線與曲線相交于點(diǎn)D，E，弦長(zhǎng)，求直線的方程．16已知圓過(guò)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若四棱錐體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．18.已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo).19.如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，（1）求證：平面（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說(shuō)明理由2024學(xué)年麗水市五校高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月聯(lián)考試卷考生須知：1．本卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先求得直線的斜率，進(jìn)而求得直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為，對(duì)應(yīng)傾斜角為.故選：B2.已知直線：和直線：，則“”是“∥”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)直線平行求得，然后根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，符合題意，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為符合題意，所以“”是“∥”的充分不必要條件故選：B3.已知，，則在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的知識(shí)求得正確答案.【詳解】在方向上的投影向量的模長(zhǎng)為.故選：D4.圓：與圓：的公切線有且僅有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】B【分析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，通過(guò)兩圓的圓心距及半徑關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：圓，則圓心，半徑，圓，則圓心，半徑，得兩圓的圓心距為：，則，得兩圓相交，得兩圓的公切線有且僅有2條．故選：B5.如圖，在正四棱錐中，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法求，則得線線角.【詳解】連接交于，連接，由四棱錐是正四棱錐，則平面，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，不妨設(shè)，則，在中，，則，則，，則，由異面直線與所成角為銳角，所求余弦值為.故選：B.【點(diǎn)睛】6.已知是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于的方程可得【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知，此時(shí)直線被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)在軸上，而已知是線段AB的中點(diǎn)，不在軸上，不滿足題意.故直線斜率存在，可設(shè)斜率為，則直線的方程為，即，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)得，所以，解得，故直線方程為，即.故選：B.7.已知球與正方體各個(gè)面相切，平面截球所得的截面的面積為，則正方體棱長(zhǎng)為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【分析】解法1：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，利用截面圓的半徑、到平面的距離、球的半徑構(gòu)成的直角三角形可得答案；解法2：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，利用的面積相等解得可得答案．【詳解】解法1：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則球的半徑為，∵平面截此球所得的截面的面積為，∴截面圓的半徑為，由題意，球心與的距離為，設(shè)到平面的距離為，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，由得，可得，，由平面，所以球心到平面的距離為，∴，∴，即正方體棱長(zhǎng)為；解法2：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球與正方體各面的切點(diǎn)，恰好為等邊三角形各邊的中點(diǎn)，截面圓為等邊三角形的內(nèi)切圓，又因?yàn)槠矫娼卮饲蛩玫慕孛娴拿娣e為，所以截面圓的半徑為，，所以，整理得，故截面圓的半徑，解得，即正方體棱長(zhǎng)為．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在方法1中關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)勾股定理求出.8.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過(guò)M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】由題意可得相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合題意可得切線與直線的斜率，列式求解即可.【詳解】由題意可知：，令代入橢圓方程可得，不妨設(shè)，則切線，即，可知直線的斜率，切線的斜率，由題意可知：，即.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由根據(jù)題意可得切線，即可得切線斜率.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知空間中三點(diǎn)，則正確的有（）A.與是共線向量 B.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是C.與夾角的余弦值是 D.與同向的單位向量是【答案】BCD【分析】根據(jù)向量共線、點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、向量夾角、單位向量等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】.A選項(xiàng)，由于，所以與是不是共線向量，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，即縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相反，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，與夾角的余弦值是,C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，與同向的單位向量是,D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.已知線段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.弦的中點(diǎn)軌跡是圓B.直線分別過(guò)定點(diǎn)和C.直線的交點(diǎn)在定圓上D.線段的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡、直線的定點(diǎn)、直線的交點(diǎn)、圓和圓的位置關(guān)系等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，由于且為弦的中點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，直線即，由解得，所以直線過(guò)定點(diǎn).直線即，由解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由于，所以，所以在以為直徑的圓上，線段的中點(diǎn)為，，所以在圓上，整理得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由上述分析可知，在圓上，在圓上，兩個(gè)圓的圓心分別為、，圓心距為，兩圓外離，所以的最小值為，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O：于M，N兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.實(shí)數(shù)a越小，橢圓C越圓B.若，且，則C.當(dāng)時(shí)，過(guò)的直線交C于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸的上方）且，則的斜率D.若，則【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)離心率得到越大，越大，橢圓C越扁；B選項(xiàng)，根據(jù)，得到，又因?yàn)?，得到方程，求出，，得到離心率；C選項(xiàng)：設(shè)出的方程，聯(lián)立橢圓方程得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出的值，從而求出直線斜率；D選項(xiàng)，表達(dá)出，，從而得到方程，求出，進(jìn)而表達(dá)出，即可判斷D；【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，此時(shí)，故橢圓的離心率為，越大，越大，橢圓C越扁，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：因?yàn)?，則，又因?yàn)?，則，故，又因?yàn)?，解得，，故，B正確；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，橢圓C：且，當(dāng)過(guò)的直線斜率為0時(shí)，此時(shí)A在軸上，不符合要求，舍去，設(shè)過(guò)的直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A在軸的上方，且，所以直線的斜率大于0，聯(lián)立得，，設(shè)，，則，，所以，解得，負(fù)值舍去，所以直線的方程的斜率為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：設(shè)，則，所以，則，同理可得，由，得，故，則，又因?yàn)?，，故，D正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】橢圓的焦半徑公式：（1）橢圓上一點(diǎn)，其中橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，則，.（2）橢圓上一點(diǎn)，其中橢圓上下焦點(diǎn)分別為，，則，.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知E，F(xiàn)分別為三棱錐的棱的中點(diǎn)，則直線與的位置關(guān)系是__________（填“平行”，“異面”，“相交”）．【答案】異面【分析】假設(shè)共面推出矛盾.【詳解】假設(shè)直線共面，平面，由，則平面，同理，平面，故共面，這與是三棱錐矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故直線異面.故答案為：異面.13.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在橢圓上，如果的中點(diǎn)在y軸上，那么是的________倍【答案】5【分析】求出,即得解.【詳解】由題得，由題得軸，當(dāng)時(shí)，，所以,所以,所以是的5倍.故答案為：5【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的問(wèn)題，看到焦半徑時(shí)要馬上聯(lián)想到圓錐曲線的定義解題.14.已知圓，過(guò)圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，則最小值為_____．【答案】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算、圓切線的幾何性質(zhì)、基本不等式等知識(shí)求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，根據(jù)切線長(zhǎng)的知識(shí)可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的幾何性質(zhì)與切線的相關(guān)知識(shí)，尤其是對(duì)圓外點(diǎn)向圓引切線的性質(zhì)進(jìn)行分析.題目難度適中，內(nèi)容涉及向量運(yùn)算、三角函數(shù)以及幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用，具有較強(qiáng)的綜合性和代表性，能夠有效地考查學(xué)生對(duì)圓與直線關(guān)系的掌握情況.在解法中，通過(guò)利用向量數(shù)量積運(yùn)算和圓的切線性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，推導(dǎo)出最小值的條件.解答過(guò)程邏輯清晰，運(yùn)用了圓切線長(zhǎng)度的公式，并結(jié)合向量的相關(guān)知識(shí)來(lái)求解，使整個(gè)過(guò)程具有較強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)推理的層次感.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，（1）求橢圓的方程；（2）斜率為的直線與曲線相交于點(diǎn)D，E，弦長(zhǎng)，求直線的方程．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)求得直線的方程.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，，橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線：，，聯(lián)立并整理得，，，，解得，符合，直線方程為，即．16.已知圓過(guò)點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知，直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）4【分析】（1）設(shè)圓的一般式方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算，即可求解，然后化為標(biāo)準(zhǔn)式即可；（2）將代入直線方程，可得直線過(guò)定點(diǎn)，即可得到當(dāng)時(shí)，AB最小，代入計(jì)算，即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，代入各點(diǎn)得：，所求圓的一般方程為：標(biāo)準(zhǔn)方程為：.小問(wèn)2詳解】把代入直線方程得：，即，令，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn)．又，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，AB最小，此時(shí)，，則.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若四棱錐的體積為1，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】由三垂直建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)坐標(biāo)后，得到向量坐標(biāo)，從而求出線段長(zhǎng)度；計(jì)算出兩個(gè)面的法向量，然后解出面面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，即，以分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由為的中點(diǎn)，得，，所以，所以，所以【小問(wèn)2詳解】由四棱錐的體積為，梯形的面積為，所以所以，可得，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，平面與平面夾角的余弦值為．18.已知曲線是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡.（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得曲線方程.（2）設(shè)出直線的方程并與曲線的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系關(guān)系，求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由橢圓定義可知軌跡為橢圓，設(shè)曲線的方程，則，，，，，曲線的方程；【小問(wèn)2詳解】方法一：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得3+4k2，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.方法二：直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，整理得，，設(shè)Ax1,y1直線交直線于，則，所以直線的方程為，，令，解得，則，同理可得，，所以線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)