浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第二學(xué)期期中杭州地區(qū)（含周邊）重點中學(xué)高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：臨平中學(xué)朱華峰、林威審校：臨安中學(xué)陳偉軍、盛可淳淳安中學(xué)余建平考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、考試號和姓名；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，下列能正確表示圖中陰影部分的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定陰影部分表示的集合為，再根據(jù)補集與交集定義求解.【詳解】全集，集合，，圖中陰影部分的集合是.故選：D.2.用一個平面截長方體，如果截面形狀三角形，則該截面三角形不可能是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.銳角三角形 D.直角三角形【答案】D【解析】【分析】畫出用一個平面去截正方體得到的幾何體的圖形，結(jié)合正方體的性質(zhì)，即可判斷.【詳解】如圖1，在正方體中，易知為正三角形，于是答案都有可能，如圖2，若為直角三角形，根據(jù)正方體的對稱性，不妨假設(shè)，由正方體的性質(zhì)可知：，，所以平面，而平面，于是過同一點作出了一個平面的兩條垂線，顯然不成立，D錯誤.故選：D.3.已知，為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算計算可得，再由共軛復(fù)數(shù)概念計算可得結(jié)果.【詳解】由可得，所以，則.故選：C.4.已知平面向量，，且，則（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】因為，所以兩邊平方即可得到關(guān)于的一元二次方程，解出即可.【詳解】，，，，兩邊平方得：，化簡得到，，則.故選：B.5.下列說法正確的是（）A.過空間中的任意三點有且只有一個平面B.四棱柱各面所在平面將空間分成27部分C.空間中的三條直線a，b，c，如果a與b異面，b與c異面，那么a與c異面D.若直線a在平面外，則平面內(nèi)一定存在直線與a平行【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本事實可判斷A錯誤，由四棱柱的空間結(jié)構(gòu)可判斷B正確；利用異面直線定義可得C錯誤；當(dāng)直線和平面相交時可知D錯誤.【詳解】對于A，若空間中的三點共線，可以有無數(shù)個平面，即A錯誤；對于B，如下圖所示，四棱柱的上下底面所在平面將空間分成了三層，每一層又被四個側(cè)面分成了9個小部分，所以四棱柱各面所在平面將空間分成27部分,即B正確；對于C，如選項B中圖所示，與異面，與異面，但與在同一平面內(nèi)，即C錯誤；對于D，若直線a在平面外，當(dāng)直線a在平面相交時，如下圖所示：則平面內(nèi)不存在直線與a平行，即D錯誤.故選：B6.若平面向量，，均是非零向量，則“”是“向量與共線”的（）A.充要條件 B.充分且不必要條件C.必要且不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算率和向量共線的條件，對充分性和必要性進行判斷.【詳解】若平面向量，，均是非零向量，①充分性：當(dāng)時，若，則，有且，所以向量與共線，若，則有，有與共線，充分性成立；②必要性：當(dāng)向量與共線時，設(shè)向量方向上的單位向量為，，若向量與方向相同，有，，，則，，滿足，若向量與方向相反，有，，，則，，滿足，必要性成立；所以“”是“向量與共線”的充要條件.故選：A.7.雷峰塔是“西湖十景”之一，中國九大名塔之一，為中國首座彩色銅雕寶塔．如圖，某同學(xué)為了測量雷峰塔的高度，在地面C處時測得塔頂A在東偏北45°的方向上，向正東方向行走50米后到達D處，測得塔頂A在東偏北75°的方向上，仰角為45°，則可得雷峰塔離地面的高度值為（）A.米 B.50米C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】由題意畫出簡圖，運用正弦定理和銳角的正切函數(shù)的定義，可得所求值.【詳解】由題可得，，，則，，由正弦定理可得：，即，解得，在中，.故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個不同的零點，則實數(shù)a的取值可以是（）A B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)以及二次函數(shù)根的分布情況，可求得.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知，令，令，則可得方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設(shè)；所以，解得或；若函數(shù)有6個不同的零點，根據(jù)圖象可知當(dāng)時符合題意，此時無解；當(dāng)時，滿足函數(shù)有6個不同的零點，根據(jù)二次函數(shù)根的分布可知此時需滿足，解得，因此實數(shù)a的取值可以是.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)解析式畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象交點個數(shù)分類討論確定零點分布情況，即可求得實數(shù)a的取值范圍.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于，有如下說法，其中正確的是（）A.滿足條件，，的三角形共有兩個B.若，則是直角三角形C.若，則為銳角三角形D.若是銳角三角形，則不等式恒成立【答案】AD【解析】【分析】利用正弦定理解三角形可判斷A；根據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)即可判斷B；利用平方關(guān)系化為正弦，再由正弦定理角化邊，然后利用余弦定理只能判斷角C，可判斷C；根據(jù)，結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷D.【詳解】對A，中，，，，由正弦定理有，則，，則或，即滿足條件的三角形共有兩個，A選項正確；對B，中，，有或，則是直角三角形或鈍角三角形，B選項錯誤；對C，中，，則，由正弦定理可得，則，即為銳角，角與角的大小未知，則不一定為銳角三角形，C選項錯誤；對D，是銳角三角形，則，，有，則，即化為恒成立，D選項正確.故選：AD.10.已知圓臺的軸截面如圖所示，其上底面半徑為1、下底面半徑為2，母線長為2，為母線中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓臺的高為2B.圓臺的側(cè)面積為C.圓臺外接球的體積是D.在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑的長度為5【答案】BCD【解析】【分析】在圓臺軸截面利用勾股定理計算判斷A選項；利用圓臺的側(cè)面積公式計算判斷B選項；利用軸截面計算圓臺外接球的半徑，再利用球的體積公式計算得出結(jié)果判斷C選項；在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑，在計算求得判斷D選項；【詳解】對于A,如圖所示，過作交于點，過作交于點,根據(jù)題意在中，,故A錯誤；對于B，圓臺的側(cè)面積為，故B正確；對于C，設(shè)圓臺外接球的球心為，半徑.由題意可得：.設(shè)，則，由，即，解得：.即重合，所以.圓臺外接球的體積是.故C正確；對于D，如圖示，在圓臺的側(cè)面上，從到的最短路徑的長度為.由題意可得：.由為中點，所以，所以.故D正確.故選：BCD.11.關(guān)于函數(shù)（），如下結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)的值域是D.函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】A選項，由可得的最小正周期不是；B選項，計算出，B正確；C選項，是的一個正周期，且關(guān)于直線對稱，分和，求出；D選項，時，，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】A選項，，故函數(shù)的最小正周期不是，A錯誤；B選項，，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，B正確；C選項，，故是的一個正周期，又的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，因為，故，當(dāng)時，，因為，故，故當(dāng)時，，結(jié)合函數(shù)對稱性可得，C錯誤；D選項，時，，由于在上單調(diào)遞減，且，而在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖所示，長方形的邊長，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是______________．【答案】16【解析】【分析】根據(jù)直觀圖中線段長度和位置關(guān)系，還原出原圖形即可求出對應(yīng)的原圖周長.【詳解】由直觀圖可知，所以可得，由勾股定理可知，且在原圖中，根據(jù)直觀圖畫法步驟還原原圖如下：其中，則，因此原圖形的周長為故答案為：1613.在中，角所對的邊分別為，，的角平分線交于點D，且，則的最小值為_____．【答案】36【解析】【分析】由余弦定理得，利用三角形面積關(guān)系建立方程關(guān)系得，結(jié)合基本不等式“1”的代換進行求解即可.【詳解】由題意，如圖所示，中，由余弦定理得，因為，所以.因為為的角平分線，所以的面積為，即，故，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.故的最小值為.故答案為：.14.已知正三角形ABC的邊長為1，P是平面ABC上一點，若，則PA的最大值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，得到點P的軌跡為圓，進而利用點與圓的位置關(guān)系算出PA的最大值.【詳解】以BC所在直線為軸，BC中點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，整理得，即因此，點P的軌跡是以為圓心，半徑的圓，PA長的最大值等于.故答案為：.【點睛】方法點睛：由正三角形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點軌跡，由軌跡為圓，PA長的最大值為點到圓心距離加上半徑.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上、下底面圓的圓心，且，現(xiàn)有一箱這種的陀螺共重（不包含箱子的質(zhì)量），陀螺的密度為（取3）（1）試問該箱中有多少個這樣的陀螺？（2）如果要給這箱陀螺的每個表面涂上一種特殊的顏料，試問共需涂多少的顏料？【答案】（1）個；（2）.【解析】【分析】（1）求出一個陀螺的體積，再求出其質(zhì)量，然后可解；（2）利用圓錐和圓柱的表面積公式求出一個陀螺的表面積，然后可得.【小問1詳解】因為，所以，圓錐部分的體積為，圓柱部分的體積為，所以一個陀螺的體積為，質(zhì)量為，所以該箱中共有陀螺個.【小問2詳解】易知，則圓錐的側(cè)面積為，圓柱側(cè)面積為，底面面積為，所以一個陀螺的表面積為，所以，所以，給這箱陀螺的每個表面涂上顏料共需涂多少的顏料.16.已知復(fù)數(shù)，是方程的解，復(fù)平面內(nèi)表示的點A在第四象限，O是原點．（1）點A關(guān)于虛軸的對稱點為點B，求向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）將復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，求的值；【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）解方程得到，，然后根據(jù)對稱性求對應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘方和除法運算法則計算.【小問1詳解】對于方程，，所以，方程有兩個不等的虛根，因為復(fù)數(shù)、是方程的解，復(fù)平面內(nèi)表示的點在第四象限，所以z1，z2，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為；【小問2詳解】，．因此，，，．．17.如圖，在△ABC中，已知，，，且．（1）若，求的值（2）求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由條件結(jié)合向量線性運算法則可得，得到，.（2）法一：由（1）知，平方得,同理得，利用即可得到答案；法二：以為軸，為原點，建立直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，得出答案.【小問1詳解】由題意知，，則與的夾角為60°，，如圖，，，，∴，，．【小問2詳解】由（1）同理可得，，∴，，∴，.法二：以為軸，為原點，建立直角坐標(biāo)系，則，，，，．∴．18.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且滿足，如圖．（ⅰ）若，求的面積；（ⅱ）若，，，求的值．【答案】（1）最小正周期，增區(qū)間為，；（2）（?。唬áⅲ窘馕觥俊痉治觥浚?）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，利用降冪公式和輔助角公式化簡解析式，公式法求最小正周期，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2），得，面積公式求的面積；設(shè)，和中利用正弦定理列方程組求出即可.【小問1詳解】，∴最小正周期為，由，，得，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，；【小問2詳解】（?。?，在中，因為，所以．．（ⅱ）設(shè)，則，，．中，由，得在中，由，得．聯(lián)立上式，并由，得，整理得，所以，因為，所以，所以，解得，即的值為．19.若是定義在上增函數(shù)，其中，存在函數(shù)，，且函數(shù)圖像上存在兩點，圖像上存在兩點，其中兩點橫坐標(biāo)相等，兩點橫坐標(biāo)相等，且，則稱在上可以對進行“型平行追逐”，即是在上的“型平行追逐函數(shù)”.已知是定義在上的奇函數(shù)，是定義在上的偶函數(shù)．（1）求滿足的的值；（2）設(shè)函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)是在上的“型平行追逐函數(shù)”，求正數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先確定的表達式，再解方程得到結(jié)果；（2）計算的表達式，然后對分類討論即可；（3）將命題轉(zhuǎn)化為在上不是單調(diào)函數(shù)，再通過對換元并分析單調(diào)性得到答案.【小問1詳解】由于是奇函數(shù)，故，即恒成立，所以；由于是偶函數(shù)，故，即恒成立，所以.故