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文檔簡介
2025屆遼寧省阜新市第二高級中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.2.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.13.函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是()A. B. C. D.4.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是A. B.C. D.5.設(shè)函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.6.根據(jù)如圖所示的程序框圖,當(dāng)輸入的值為3時,輸出的值等于()A.1 B. C. D.7.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},則?R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)8.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長最多的年份是年9.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)是()A. B. C. D.10.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.11.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或12.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運(yùn)算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.19二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.14.如圖是一個算法的偽代碼,運(yùn)行后輸出的值為___________.15.已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長時,則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.16.在的二項(xiàng)展開式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則_______,項(xiàng)的系數(shù)等于________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,正方體的棱長為2,為棱的中點(diǎn).(1)面出過點(diǎn)且與直線垂直的平面,標(biāo)出該平面與正方體各個面的交線(不必說明畫法及理由);(2)求與該平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若滿足,,,求.19.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù),直線是曲線在處的切線.(1)求證:無論實(shí)數(shù)取何值,直線恒過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線經(jīng)過點(diǎn),試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)并證明.21.(12分)已知函數(shù),設(shè)的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得,?并說明理由.22.(10分)已知橢圓,上、下頂點(diǎn)分別是、,上、下焦點(diǎn)分別是、,焦距為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若為橢圓上異于、的動點(diǎn),過作與軸平行的直線,直線與交于點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),判斷是否為定值,說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點(diǎn),則由點(diǎn)到直線距離公式可得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點(diǎn)到直線距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先求導(dǎo)函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減則恒成立,對導(dǎo)函數(shù)不等式換元成二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象,列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,則,故在上恒成立;結(jié)合圖象可知,,解得故.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法:(1)代換法:就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角(或),利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解;(2)圖象法:畫出三角函數(shù)的正、余弦曲線,結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.4、B【解析】
方法一:令,則,,當(dāng),時,,單調(diào)遞減,∴時,,,且,∴,即在上單調(diào)遞增,時,,,且,∴,即在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時,存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.故選B.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時,與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得,故選B.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計(jì)算排除得到答案.【詳解】定義域?yàn)椋海瘮?shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項(xiàng)是常用的技巧.6、C【解析】
根據(jù)程序圖,當(dāng)x<0時結(jié)束對x的計(jì)算,可得y值.【詳解】由題x=3,x=x-2=3-1,此時x>0繼續(xù)運(yùn)行,x=1-2=-1<0,程序運(yùn)行結(jié)束,得,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,是基礎(chǔ)題.7、D【解析】
求函數(shù)的值域得集合,求定義域得集合,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義寫出運(yùn)算結(jié)果.【詳解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴?R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題,涉及到的知識點(diǎn)有函數(shù)的定義域,函數(shù)的值域,集合的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題目.8、C【解析】
觀察圖表,判斷四個選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項(xiàng)錯誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識圖表是解題基礎(chǔ).9、D【解析】
畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個,2個解,故方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)是3+2=5個故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.10、B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計(jì)算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,模擬程序的運(yùn)行過程,代入四個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項(xiàng)驗(yàn)證的方法進(jìn)行解答.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、40【解析】
先求出的展開式的通項(xiàng),再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項(xiàng)為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù),意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14、13【解析】根據(jù)題意得到:a=0,b=1,i=2A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件,故得到此時輸出的b值為13.故答案為13.15、90°【解析】
易得平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動,顯然,PA是圓的直徑時,PA最長;將四棱錐補(bǔ)形為長方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動,易知,當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時,PA達(dá)到最長,此時,PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時可將四棱錐補(bǔ)形為長方體,其體對角線為,底面邊長為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.16、81【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)可得n,再利用展開式的通項(xiàng)公式求含項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由于所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,,故的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為,令,求得,可得含x項(xiàng)的系數(shù)等于,故答案為:8;1.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2).【解析】
(1)與平面垂直,過點(diǎn)作與平面平行的平面即可(2)建立空間直角坐標(biāo)系求線面角正弦值【詳解】解:(1)截面如下圖所示:其中,,,,分別為邊,,,,的中點(diǎn),則垂直于平面.(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,所以,,.設(shè)平面的一個法向量為,則.不妨取,則,所以與該平面所成角的正弦值為.(若將作為該平面法向量,需證明與該平面垂直)【點(diǎn)睛】考查確定平面的方法以及線面角的求法,中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)化簡得到,取,解得答案.(2),解得,根據(jù)余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【詳解】(1).取,解得.(2),因?yàn)椋剩?根據(jù)余弦定理:,..【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,余弦定理,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時,化為,當(dāng)時,不等式化為,無解;當(dāng)時,不等式化為,解得;當(dāng)時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為20、(1)見解析,(2)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【解析】
(1)首先求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率,利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程,根據(jù)方程即可求出定點(diǎn).(2)由(1)求出函數(shù),令方程可轉(zhuǎn)化為記,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù),由零點(diǎn)存在性定理即可求出零點(diǎn)個數(shù).【詳解】所以直線方程為即,恒過點(diǎn)將代入直線方程,得考慮方程即,等價于記,則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增,又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn),即函數(shù)存在唯一零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線過定點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理,屬于難題.21、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】
(1)將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式,從而可求得函數(shù)的最小值,進(jìn)而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號,,不成立;或,異號,,不成立;故不存在實(shí)數(shù),,使得,.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)
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