安徽省黃山市徽州一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

安徽省黃山市徽州一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個數(shù)為（）①②③A.0 B.1C.2 D.32．下列問題中是古典概型的是A.種下一粒楊樹種子，求其能長成大樹的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求出現(xiàn)1點的概率C.在區(qū)間[1，4]上任取一數(shù)，求這個數(shù)大于1.5概率D.同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點數(shù)之和是5的概率3．已知向量，若，則（）A. B.5C.4 D.4．關(guān)于x的方程在內(nèi)有解，則實數(shù)m的取值范圍（）A. B.C. D.5．已知為偶函數(shù)，且當時，，其中為的導數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.6．數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.287．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.8．設等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.9．記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.810．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，直線BF與橢圓C的另一個交點為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.11．已知隨機變量，，則的值為（）A.0.24 B.0.26C.0.68 D.0.7612．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、大寒、雨水的日影長的和為36.3尺，小寒、驚蟄、立夏的日影長的和為18.3尺，則冬至的日影長為（）A4尺 B.8.5尺C.16.1尺 D.18.1尺二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某甲、乙兩人練習跳繩，每人練習10組，每組不間斷跳繩計數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結(jié)論中所有正確的序號是___________.①甲比乙的極差大；②乙的中位數(shù)是18；③甲的平均數(shù)比乙的大；④乙的眾數(shù)是21.14．某天上午只排語文、數(shù)學、體育三節(jié)課，則體育不排在第一節(jié)課的概率為_________15．不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機取出3張．設X為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)（例如：若取出卡片的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3、4和4、5，此時X的值是2）．則隨機變量X的數(shù)學期望______16．兩姐妹同時推銷某一商品，現(xiàn)抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，底面ABCD，，M為BC中點，且.（1）求BC；（2）求二面角A-PM-B的正弦值.18．（12分）已知橢圓的上一點處的切線方程為，橢圓C上的點與其右焦點F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若點P為直線上任一點，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點為A，B，求證：19．（12分）已知圓與直線（1）若，直線與圓相交與，求弦長（2）若直線與圓無公共點求的取值范圍20．（12分）在公差為的等差數(shù)列中,已知，且成等比數(shù)列.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.21．（12分）如圖，在棱長為3的正方體中，分別是上的點且（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值22．（10分）已知點在橢圓：上，橢圓E的離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若不平行于坐標軸且不過原點O的直線l與橢圓E交于B，C兩點，判斷是否可能為等邊三角形，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷【詳解】設的公差為，則，是等差數(shù)列，，是常數(shù)列，也是等差數(shù)列，若，則不是等差數(shù)列，故選：C2、D【解析】A、B兩項中的基本事件的發(fā)生不是等可能的；C項中基本事件的個數(shù)是無限多個；D項中基本事件的發(fā)生是等可能的，且是有限個．故選D【考點】古典概型的判斷3、B【解析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得.【詳解】由于，所以.故選：B4、A【解析】當時，顯然不成立，當時，分離變量，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】當時，可得顯然不成立；當時，由于方程可轉(zhuǎn)化為，令，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取唯一的極大值，也是最大值，所以，所以，即，所以實數(shù)m的取值范圍.故選：A.5、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當時，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.6、C【解析】根據(jù)通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則數(shù)列的前8項和為.故選：C7、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎題.8、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設，，當時，，，所以，所以.故選：C9、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.10、A【解析】設，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設橢圓方程，所以，設，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A11、A【解析】根據(jù)給定條件利用正態(tài)分布的對稱性計算作答.【詳解】因隨機變，，有P(ξ<4)=P(ξ≤4)=0.76，由正態(tài)分布的對稱性得：，所以的值為0.24.故選：A12、C【解析】設等差數(shù)列，用基本量代換列方程組，即可求解.【詳解】由題意，從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，記為數(shù)列，公差為d，則有，即，解得：，即冬至的日影長為16.1尺.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①③④【解析】根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)求出相應的極差、中位數(shù)、均值、眾數(shù)再判斷【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37－8＝29，乙的極差是23－9＝14，甲極差大，①正確；乙中位數(shù)是，②錯；甲平均數(shù)是：，乙的平均數(shù)為：16.9，③正確；乙的眾數(shù)是21，④正確故答案為：①③④14、【解析】寫出語文、數(shù)學、體育的所有可能排列，找出其中體育不排在第一節(jié)課的情況，利用概率公式計算即可.【詳解】所有可能結(jié)果如下：（語文，數(shù)學，體育）；（語文，體育，數(shù)學）；（數(shù)學，語文，體育）：（數(shù)學，體育，語文）；（體育，語文，數(shù)學）；（體育，數(shù)學，語文）,其中體育不排在第一節(jié)課的情況有四種，則體育不排在第一節(jié)課的概率15、##【解析】設為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的數(shù)學期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機取出3張，共有種，設為這3張卡片的標號相鄰的組數(shù)，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個，，的情況有：取，另外一個數(shù)有5種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有4種取法；取，另外一個數(shù)有5種取法的情況一共有：，，，隨機變量的數(shù)學期望：故答案為：16、13【解析】先根據(jù)妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，求得y,進而得到其眾數(shù)，然后再根據(jù)姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，得到姐姐的銷售量的中位數(shù).【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數(shù)為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數(shù)是14，因為姐姐的銷售量的中位數(shù)比妹妹的銷售量的眾數(shù)大2，所以姐姐的銷售量的中位數(shù)是16，所以，解得，所以，故答案為：13三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件推導證得，再借助直角三角形中銳角的正切列式求解作答.(2)由給定條件建立空間直角坐標系，借助空間向量求解面面角作答【小問1詳解】連結(jié)BD，如圖，因底面ABCD，且平面ABCD，則，又，，平面PBD，于是得平面PBD，又平面PBD，則，有，又，則有，有，則，解得，所以.【小問2詳解】依題意，DA，DC，DP兩兩垂直，以點D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，由(1)知，，，，，，，，設平面AMP的法向量為，則，令，得，設平面BMP的法向量為，則，令，得，設二面角A-PM-B的平面角為，則，因此，，所以二面角A-PM-B的正弦值為.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設為橢圓上的點，為橢圓的右焦點，因為，所以，又，所以當且僅當時，，因為，所以，，因為，所以，故橢圓的標準方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設，，，，，所以，由題知，以為切點的橢圓切線方程為，以為切點的橢圓切線方程為，又點在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當時，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當時，，所以，所以，綜上可得；19、（1）；（2）或.【解析】（1）求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理求弦長；（2）由圓心到直線的距離大于半徑列式求解的范圍【詳解】解：（1）圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長（2）若直線與圓無公共點，則圓心到直線的距離大于半徑解得或20、(Ⅰ)或(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由題意求得數(shù)列的公差后可得通項公式．(Ⅱ)結(jié)合條件可得，分和兩種情況去掉中的絕對值后，利用數(shù)列的前n項和公式求解試題解析：（Ⅰ）∵成等比數(shù)列，∴，整理得，解得或，當時，;當時，所以或（Ⅱ）設數(shù)列前項和為，∵，∴，當時，，∴；當時，綜上21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系后得到相關(guān)向量，再運用數(shù)量積證明；（2）求出相關(guān)平面的法向量，再運用夾角公式計算即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標系：，，，，，∴，故.【小問2詳解】，，，設平面的一個法向量為，由，令，則，取平面的一個