2025屆遠(yuǎn)程授課山西省大同市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2025屆遠(yuǎn)程授課山西省大同市第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A.0 B.1C. D.22．直線的斜率是方程的兩根，則與的位置關(guān)系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直3．設(shè)，則有（）A. B.C. D.4．為了調(diào)查修水縣2019年高考數(shù)學(xué)成績(jī)，在高考后對(duì)我縣6000名考生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本，這項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣法5．已知，是圓上的兩點(diǎn)，是直線上一點(diǎn)，若存在點(diǎn)，，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.7．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則的值為（）A. B.C. D.8．己知命題；命題，則下列命題中為假命題的是（）A. B.C. D.9．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或710．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過(guò)且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，、不在軸上，那么△的周長(zhǎng)（）A.是定值B.是定值C.不是定值，與直線的傾斜角大小有關(guān)D.不是定值，與取值大小有關(guān)11．已知，是球的球面上兩點(diǎn)，，為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為（）A. B.C. D.12．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________14．直線的傾斜角為_(kāi)______________.15．拋物線的準(zhǔn)線方程是______16．已知球的半徑為3，則該球的體積為_(kāi)________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線，直線，直線（1）若與的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形18．（12分）已知圓C過(guò)點(diǎn)，，它與x軸的交點(diǎn)為，，與y軸的交點(diǎn)為，，且.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線，從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.19．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.（1）求角的大小；（2）已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線段的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20．（12分）已知圓C經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與圓C相切，求直線的方程21．（12分）已知橢圓：，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作的外角的平分線的垂線，垂足為，且（1）求橢圓方程：（2）設(shè)直線：與橢圓交于，兩點(diǎn)，且直線，，的斜率之和為0（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）①求證：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)：②求面積的最大值22．（10分）已知圓M經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D2、C【解析】由韋達(dá)定理可得方程的兩根之積為，從而可知直線、的斜率之積為，進(jìn)而可判斷兩直線的位置關(guān)系【詳解】設(shè)方程的兩根為、，則直線、的斜率，故與相交但不垂直故選：C3、A【解析】利用作差法計(jì)算與比較大小即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故選：A.4、B【解析】考生分為幾個(gè)不同的類型或?qū)哟危纱丝梢源_定抽樣方法；【詳解】6000名考生進(jìn)行抽樣調(diào)查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術(shù)和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)作為一個(gè)樣本又文科考生、理科考生、藝術(shù)和體育類考生會(huì)存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】確定在以為直徑的圓上，，根據(jù)均值不等式得到圓上的點(diǎn)到的最大距離為，得到，解得答案.【詳解】，故在以為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)為，則，圓上的點(diǎn)到的最大距離為，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.直線到原點(diǎn)的距離為，故.故選：B.6、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.7、D【解析】將用基底表示，然后利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，則為的中點(diǎn)，，則.故選：D8、A【解析】根據(jù)或且非命題的真假進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng),故命題是真命題，，故命題是真命題.因此可知是假命題，是真命題，，均為真命題.故選:A9、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D10、B【解析】由直線過(guò)且與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，且，為橢圓兩焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義即可得△的周長(zhǎng)為，則答案可求【詳解】橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，∴△的周長(zhǎng)為故選：B11、C【解析】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，根據(jù)棱長(zhǎng)與球半徑關(guān)系即可求出球半徑，從而求出表面積.【詳解】當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.又，則三棱錐體積，解得；故表面積.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐與球的組合體的綜合問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是判斷當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大.12、D【解析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.14、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問(wèn)題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意可得p=4,所以準(zhǔn)線方程,填16、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）0，，.【解析】（1）根據(jù)題意得，進(jìn)而求解得答案；（2）根據(jù)題意，分別討論與垂直，與垂直，與垂直求解，并檢驗(yàn)即可得答案【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)榕c的傾斜角互補(bǔ)，所以，直線變形為，故所以，解得【小問(wèn)2詳解】解：由題意，若和垂直可得：，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，，構(gòu)不成三角形，當(dāng)時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故；同理，若和垂直可得：，解得，舍去；若和垂直可得：，解得或，經(jīng)驗(yàn)證符合題意；故m的值為：0，，.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F(xiàn)的值即可得到圓的方程；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過(guò)點(diǎn)，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，所以有，解之得，故點(diǎn)，∴反射光線所在直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.19、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡(jiǎn)，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡(jiǎn)可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問(wèn)1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；【小問(wèn)2詳解】如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.20、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平分線上，先求出弦的垂直平分線的方程與聯(lián)立可求得圓心坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑，進(jìn)而求得圓的方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與圓相切，方程為；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解出的值.試題解析：（1）依題意知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線的斜率為，故線段的中垂線方程是即，解方程組得，即圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，故圓的方程是（2）若直線斜率不存在，則直線方程是，與圓相離，不合題意；若直線斜率存在，可設(shè)直線方程是，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以有，解得或所以直線的方程是或.21、（1）；（2）①證明見(jiàn)解析，；②.【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及角平分線的性質(zhì)可得，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，以及即可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程.（2）①設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程，求得，，利用斜率之和等于得出關(guān)于的方程，解得即可得所過(guò)的定點(diǎn)，②由弦長(zhǎng)公式求出，點(diǎn)到直線的距離公式求得高，由面積公式表示三角形的面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】（1）如圖，由題意可知，由橢圓定義知，則，連接，所以，所以又在橢圓上則，解得：，，所以橢圓的方程為：；（2）①證明：設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，所以，可得，，，設(shè)直線，，的斜率為，，，因?yàn)橹本€，，的斜率之和為0，所以，即所以，由，所以，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)；②由①可得：，原點(diǎn)到直線的距離，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最大值為1【點(diǎn)睛】