線性代數(shù)-線性方程組與矩陣課件

線性方程組與矩陣01目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.1矩陣的概念及運算一、矩陣的定義二、矩陣的線性運算三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置一、矩陣的定義一、矩陣的定義定義1元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣本書除特別指明外，都是指實矩陣.稱為復矩陣.一、矩陣的定義01OPTION02OPTION03OPTION一、矩陣的定義一、矩陣的定義一、矩陣的定義定義21.矩陣的加法矩陣的加法滿足如下的運算規(guī)律：二、矩陣的線性運算123定義31.矩陣的加法矩陣的數(shù)乘運算滿足如下的運算規(guī)律：矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.2.矩陣的數(shù)乘123456定義42.矩陣的數(shù)乘例1解三、矩陣的乘法定義5三、矩陣的乘法例2解三、矩陣的乘法注意：例3解三、矩陣的乘法54321三、矩陣的乘法證明三、矩陣的乘法例4三、矩陣的乘法三、矩陣的乘法例5四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義61234四、矩陣的轉(zhuǎn)置例6四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義7AB四、矩陣的轉(zhuǎn)置例7證明目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.2分塊矩陣一、分塊矩陣的概念二、分塊矩陣的運算一、分塊矩陣的概念一、分塊矩陣的概念矩陣的按列分塊一、分塊矩陣的概念按列分塊按列分塊一、分塊矩陣的概念二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例1解二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例2解二、矩陣的線性運算二、矩陣的線性運算例3二、矩陣的線性運算例4證明目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.3線性方程組與矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換二、求解線性方程組求解線性方程組例1解線性方程組對應的增廣矩陣一、矩陣的初等變換交換方程組的第一個方程和第二個方程對應的增廣矩陣正好是交換第一行和第二行1把方程組的第一個方程乘以-2加到第二個方程和第三個方程上對應的增廣矩陣正好是把第一行的每個元素乘以

-2分別加到第二行、第三行對應位置的元素上2一、矩陣的初等變換第二個方程乘以-1加到第三個方程上，第三個方程乘以-1對應的增廣矩陣正好是把第二行的每個元素乘以-1加到第三行對應位置的元素上，第三行每個元素乘以-13第三個方程乘以2

加到第二個方程上，第二個方程乘以

4對應的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以2加到第二行對應位置的元素上，第二行每個元素乘以行階梯形矩陣一、矩陣的初等變換第三個方程乘以-1加到第一個方程上，第二個方程乘以1加到第一個方程上對應的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以-1，第二行的每個元素乘以

1，都加到第一行對應位置的元素上5

最后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

,,,行最簡形矩陣一、矩陣的初等變換上面解方程組的過程中，我們主要用到了下列三種方程之間的變換：（1）交換兩個方程；（2）一個方程乘上一個非零數(shù)；（3）一個方程乘上一個非零數(shù)加到另一個方程上.而從此例看到，對方程組實施上面三種變換，等價于對方程組的增廣矩陣的行實施了類似地三種變換，即交換兩行、某一行乘以一個非零數(shù)（即某一行的每個元素都乘以同一個數(shù)）、某一行的倍加到另一行上（即某一行的每個元素都乘以數(shù)，再加到另一行的對應元素上）.一、矩陣的初等變換由此可見，對矩陣實施這些變換是十分必要的，為此，我們引入如下定義：將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行，用

表示將矩陣第

行的

倍加到第

行.稱為矩陣的初等行變換定義1下面三種矩陣的變換：一、矩陣的初等變換321交換矩陣的某兩行，我們用表示交換矩陣的第、兩行；矩陣的某一行乘以非零數(shù)，用

表示矩陣的第

行元素乘以非零數(shù)

；將上面定義中的“行”換成“列”（記號由“r”換成“c”，就得到了矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.變換的逆變換就是其本身；變換的逆變換是；變換的逆變換是.顯然，三種初等行（列）變換都是可逆的（簡單的說，就是變換可以還原的），它們的逆變換分別為：一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換例201OPTION02OPTION03OPTION04OPTION試用矩陣的初等行變換將矩陣

先化為行階梯形矩陣，再進一步化為行最簡形矩陣.例3解行階梯形矩陣一、矩陣的初等變換行最簡形矩陣

對于行最簡形矩陣再實施初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣.

例如，將上面的行最簡形矩陣再實施初等列變換最后一個矩陣

稱為矩陣

的標準形，寫成分塊矩陣的形式，則有一、矩陣的初等變換一、矩陣的初等變換01OPTION02OPTION03OPTION04OPTION一、矩陣的初等變換123二、求解線性方程組04OPTION以首元為系數(shù)的未知量作為固定未知量，留在等號的左邊，其余的未知量作為自由未知量，移到等號右邊，并令自由未知量為任意常數(shù)，從而求得線性方程組的解.寫出線性方程組的增廣矩陣

；01OPTION02OPTION對

實施初等行變換，化為行最簡形矩陣

；03OPTION寫出以

為增廣矩陣的線性方程組；二、求解線性方程組解方程組例4解對該線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換，二、求解線性方程組從而原方程組等價于令

，移項，得原方程組的解為：，其中

為任意常數(shù)二、求解線性方程組二、求解線性方程組例5解二、求解線性方程組01OPTION02OPTION03OPTION二、求解線性方程組證明二、求解線性方程組二、求解線性方程組二、求解線性方程組例6解二、求解線性方程組解方程組例7解二、求解線性方程組目錄/Contents1.11.21.31.4矩陣的概念及運算分塊矩陣線性方程組與矩陣的初等變換初等矩陣與矩陣的逆矩陣目錄/Contents1.4初等矩陣與矩陣的逆矩陣一、方陣的逆矩陣二、初等矩陣二、初等矩陣與逆矩陣的應用一、方陣的逆矩陣定義1一、方陣的逆矩陣1234一、方陣的逆矩陣例1一、方陣的逆矩陣例2定義2對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的矩陣稱為

階初等矩陣.由于初等變換有三種,對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的初等矩陣也有三類：交換單位陣

的第

行和第

行，或交換

的第

列和第

列，得到的初等矩陣記為

.

即（1）二、初等矩陣（2）（3）將單位陣

的第

行乘以

加到第

行（或?qū)挝魂?/p>

的第

列乘以

加到第

列）得到的矩陣記為

.即用非零的數(shù)

乘單位陣

的第

行或第

列得到的初等矩陣記為

.

即二、初等矩陣初等矩陣都是可逆的，并且初等矩陣的逆矩陣仍為同一類型的初等矩陣，

即：命題1，，二、初等矩陣命題2設

是一個

矩陣，對

施行一次初等行變換，相當于在

的左邊乘以相應的

階初等矩陣；對

施行一次初等列變換，相當于在

的右邊乘以相應的

階初等矩陣.二、初等矩陣二、初等矩陣例3解二、初等矩陣例3解三、初等矩陣與逆矩陣的應用定理1123證明三、初等矩陣與逆矩陣的應用三、初等矩陣與逆矩陣的應用三、初等矩陣與逆矩陣的應用首先構造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；03OPTION

如果

不能行等價于

，則矩陣

不可逆；若

能行等價于

，則

可逆，且

就行等價于

.判別矩陣是否可逆，并在可逆時求的具體步驟為：三、初等矩陣與逆矩陣的應用例4解（1）判斷下列矩陣是否可逆？若可逆則求其逆矩陣.三、初等矩陣與逆矩陣的應用解（2）例4判斷下列矩陣是否可逆？若可逆則求其逆矩陣.三、初等矩陣與逆矩陣的應用所以矩陣可逆,并且三、初等矩陣與逆矩陣的應用三、初等矩陣與逆矩陣的應用首先構造分塊矩陣

；01OPTION02OPTION對矩陣

實施初等行變換，將

化為行最簡形矩陣；具體步驟為：03OPTION

若

能行等價于

，則

可逆，且

就變成了

.三、初等矩陣與逆矩陣的