專題4.5 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及應(yīng)用（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復(fù)習專練（新高考專用）

專題4.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】 2【題型2由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】 3【題型3圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 5【題型4函數(shù)的零點（方程的根）問題】 6【題型5三角函數(shù)模型】 7【題型6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 91、函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應(yīng)用考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω,φ,A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響

(2)會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型2023年全國甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第10題，5分函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容，也是高考的熱點內(nèi)容，從近幾年的高考情況來看，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換以及由部分圖象求函數(shù)的解析式是高考考察的主要方向，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，難度不高.【知識點1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的作法作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象常用如下兩種方法：(1)五點法作圖：用“五點法”作y=Asin(ωx+φ)的簡圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=ωx+φ，由z取來求出相應(yīng)的x，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象；(2)圖象的變換法：由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象有兩種途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.2．三角函數(shù)的圖象變換問題的求解方法解決三角函數(shù)圖象變換問題的兩種方法分別為先平移后伸縮和先伸縮后平移.破解此類題的關(guān)鍵如下：(1)定函數(shù)：一定要看準是將哪個函數(shù)的圖象變換得到另一個函數(shù)的圖象；(2)變同名：函數(shù)的名稱要變得一樣；(3)選方法：即選擇變換方法.【知識點2由部分圖象確定函數(shù)解析式的解題方法】1．由部分圖象確定函數(shù)解析式的方法由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段圖象求其解析式時，A比較容易由圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)如果圖象明確指出了周期T的大小和“零點”坐標，那么由即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的零點的橫坐標，則令即可求出φ.(2)代入點的坐標.利用一些已知點(最高點、最低點或零點)坐標代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或φ的范圍有所需求，可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【知識點3三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用的解題策略】1．研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的技巧研究y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)時可將ωx+φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進行解題.2．函數(shù)的零點（方程的根）的問題的解題策略函數(shù)的零點（方程的根）的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，據(jù)此進行求解即可.3．三角函數(shù)模型三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題.【方法技巧與總結(jié)】1．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.2．由y=sinωx到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的變換：向左平移個單位長度而非φ個單位長度.【題型1函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及變換】【例1】（2024·河北保定·三模）將函數(shù)fx=sin2x?π3的圖象向左平移π3個單位長度，得到函數(shù)gx的圖象，則gx=（

）A．sin2x B．?sin2x C．sin【變式1-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=sin2x?π12的圖象向左平移π8個單位長度后，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)gxA．π6,7C．7π24,【變式1-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=cos2x?π6圖象上的所有點向左平移A．gx=cos2x?2πC．gx在0,π3上的最小值為32 D．直線【變式1-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，即可得到函數(shù)g(x)的圖象．若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于A．12 B．?12 C．3【題型2由部分圖象確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式】【例2】（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）函數(shù)fx=AsinA．fB．fC．fx的圖象向右平移3D．fx的圖象向右平移3【變式2-1】（2024·重慶·三模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,?π2<φ<πA．?29 B．29 C．?【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=cosωx+φω>0,φ<A．ω=2 B．φ=?C．直線x=5π12是fx圖象的一條對稱軸 D．【變式2-3】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx的圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），然后再向左平移π12個單位長度，得到函數(shù)gx=AsinA．fx=3sinC．fx=3sin【題型3圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例3】（2024·重慶·三模）如圖，函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|≤π2的圖像與x軸的其中兩個交點分別為A，B，與y軸交于點C，D為線段BC的中點，OB

A．f(x)的最小正周期為12π B．f(x)的圖象關(guān)于直線x=8C．f(2)=f(?4) D．f(?x+2)為偶函數(shù)【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)fx的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)

A．π6,π3 B．3π2【變式3-2】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=Asin①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點π②函數(shù)fx的解析式可以為f③函數(shù)fx在π12,④若把fx圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的23倍，縱坐標不變，再向右平移π12A．①③ B．②③ C．③④ D．①④【變式3-3】（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)fx=AsinA．函數(shù)fx的振幅是2，初相是B．若函數(shù)fx的圖象上的所有點向左平移π12C．若函數(shù)fx在π3,πD．若函數(shù)fx的圖象關(guān)于7π12,0中心對稱，則函數(shù)f【題型4函數(shù)的零點（方程的根）問題】【例4】（2024·山西晉城·二模）將函數(shù)f(x)=2sin3x+π4的圖象向右平移φ（φ>0）個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,φ)上恰有兩個零點，則A．5π12,3π4 B．3【變式4-1】（2024·山西長治·一模）已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，若方程f(x)=m在[?A．[?2,?3] B．(?2,?【變式4-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移π6個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍，縱坐標不變，得到函數(shù)gx的圖象，若函數(shù)A．1718,2318 B．1718,【變式4-3】（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)f(x)的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移π3單位，得到函數(shù)g(x)=sin(2x+φ)0<φ<π2的部分圖象（如圖所示）．對于?x1，x2

A．g(x)=B．f(x)=C．g(x)在π,D．函數(shù)f(x)在0,4π3的零點為【題型5三角函數(shù)模型】【例5】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近位置進倉，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（

）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．55【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測）某質(zhì)點的位移ycm與運動時間xs的關(guān)系式為y=sinωx+φω>0,φ∈?π,π，其圖象如圖所示，圖象與y軸交點坐標為0,?32A．ω=4B．φ=?C．質(zhì)點在1,3D．質(zhì)點在0,7π【變式5-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）隨著電力的發(fā)展與石油的消耗，風力發(fā)電越來越受到重視.預(yù)計到2025年全球風電新增裝機量達到111.2GW，中國的裝機量占比達到世界第一.已知風速穩(wěn)定時風力發(fā)電機葉片圍繞轉(zhuǎn)軸中心做勻速圓周運動，現(xiàn)有兩個風力發(fā)電機，A和B分別為兩個風力發(fā)電機葉片邊緣一點，A和B到各自轉(zhuǎn)軸中心距離均為20米，初始時刻A處于所在的發(fā)電機轉(zhuǎn)軸中心正上方，B處于所在的發(fā)電機轉(zhuǎn)軸中心正下方，且A和B圍繞各自發(fā)電機轉(zhuǎn)軸中心做勻速圓周運動.由于兩個發(fā)電機所處位置風速不同，A點轉(zhuǎn)速為5πm/s，B點轉(zhuǎn)速為8πm/s，以時間t（單位：秒）為自變量，A和B與各自發(fā)電機轉(zhuǎn)軸中心高度差為應(yīng)變量，分別得三角函數(shù)ft與gt，下列哪種方式可以使ftA．將ft圖象上所有點向右平移π個單位長度，再將橫坐標擴大到原來的8B．將ft圖象上所有點向左平移π個單位長度，再將橫坐標縮小到原來的5C．將ft圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的85倍，再向左平移D．將ft圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的58倍，再向右平移【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉(zhuǎn)動．設(shè)筒車上的某個盛水筒W到水面的距離為d（單位：米）（在水面下，則d為負數(shù)）．若以盛水筒W剛浮出水面時開始計算時間，d與時間t（單位：分鐘）之間的關(guān)系為d=4sin2t?π6+2．某時刻t0（單位：分鐘）時，盛水筒W在過點O（O為筒車的軸心）的豎直直線的左側(cè)，且到水面的距離為5米，則再經(jīng)過A．在水面下 B．在水面上C．恰好開始入水 D．恰好開始出水【題型6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例6】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移π12個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變?橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數(shù)y=gx的圖象，求y=g【變式6-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若x∈0,π4時，m<f(2)將函數(shù)fx的圖象的橫坐標縮小為原來的12，縱坐標不變，再將其向右平移π6個單位，得到函數(shù)gx的圖象.若x∈0,t【變式6-2】（2024·山西臨汾·三模）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<(1)求f7(2)求函數(shù)gx【變式6-3】（2023·黑龍江哈爾濱·三模）已知函數(shù)f(x)=2sinωxcosφ+2sinφ?4sin2ωx2sinφω>0,φ<π，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標相差(1)求函數(shù)fx(2)將函數(shù)fx圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?tt>0倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=gx的圖象，若函數(shù)y=gx一、單選題1．（2024·山東青島·三模）為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象，只要把A．向右平行移動π8個單位長度 B．向左平行移動πC．向右平行移動π4個單位長度 D．向左平行移動π2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φ個單位后在區(qū)間0,A．π3 B．π2 C．π63．（2024·四川自貢·三模）函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|<π2）的部分圖象如圖所示，f(x)的圖象與y軸交于M點，與x軸交于C點，點N在f(x)圖象上，點M、N關(guān)于點A．函數(shù)f(x)的最小正周期是πB．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點5πC．函數(shù)f(x)在?πD．函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)fx=22A．函數(shù)fx的最小正周期是B．函數(shù)fx在區(qū)間πC．函數(shù)fx的圖象關(guān)于點?D．函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x5．（2024·四川成都·三模）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.在平面直角坐標系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，①函數(shù)fx的圖象關(guān)于點π②函數(shù)fx的解析式可以為f③函數(shù)fx在π12,④若把fx圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的23倍，縱坐標不變，再向右平移πA．①③ B．②③ C．③④ D．①④6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=sinx的圖象向左平移π6個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?ω(ω>0)倍，可以得到函數(shù)gx的圖象，若A．0,53 B．53,3 C．7．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測）如圖所示的音樂噴泉曲線，我們叫葫蘆曲線（像湖面上高低起伏的小島在水中的倒影與自身形成的圖形，也可以形象地稱它為倒影曲線），每過相同的間隔，它的振幅就變化一次，且過點M3π4,32，其對應(yīng)的方程為y=2?122xπsinωx（x≥0，A．±1 B．±22 C．±18．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=sinωx?π6(0<ω<6)的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數(shù)A．fx的最小正周期為π B．函數(shù)FC．fx在π2,2π3上單調(diào)遞減二、多選題9．（2024·新疆喀什·三模）已知函數(shù)fx=3A．fB．函數(shù)fx的最小正周期為C．x=π3是函數(shù)D．函數(shù)fx的圖象可由y=sin2x10．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<A．gx的一個對稱中心B．gx的對稱軸方程為C．gx在0,πD．gx的單調(diào)遞減區(qū)間為11．（2024·廣西南寧·一模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為110米，轉(zhuǎn)盤直徑為100米，摩天輪的圓周上均勻地安裝了36個座艙，游客甲從距離地面最近的位置進艙，開啟后摩天輪按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，開始轉(zhuǎn)動t分鐘后距離地面的高度為H米，當t=15時，游客甲隨艙第一次轉(zhuǎn)至距離地面最遠處．如圖，以摩天輪的軸心O為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，則Ht=AsinA．H關(guān)于t的函數(shù)HtB．若在t1,tC．摩天輪旋轉(zhuǎn)一周的過程中，游客甲距離地面的高度不低于85米的時長為10分鐘D．若甲、乙兩游客分別坐在P,Q兩個座艙里，且兩人相隔5個座艙（將座艙視為圓周上的點），則劣弧PQ的弧長l=50三、填空題12．（2024·湖南邵陽·三模）宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點水的情形，蜻蜓點水會使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似于用函數(shù)fx=Asinωx+φ13．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測）筒車亦稱為“水轉(zhuǎn)筒車”，一種以流水為動力，取水灌田的工具，筒車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史.如圖，假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個半徑為3米的筒車按逆時針方向做每6分鐘轉(zhuǎn)一圈的勻速圓周運動，筒車的軸心O距離水面BC的高度為1.5米，設(shè)筒車上的某個盛水筒P的初始位置為點D（水面與筒車右側(cè)的交點），從此處開始計時，t分鐘時，該盛水筒距水面距離為H=ft=Asinωt+φ14．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）將函數(shù)fx=sinωx?π6(0<ω<6)的圖象向右平移π12個單位長度后得到函數(shù)g