《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

3/23選修1-12.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（張遠(yuǎn)建）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）類比橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，了解它的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、實軸長、虛軸長等）．（2）理解漸近線和離心率的定義、范圍，掌握參數(shù)間的關(guān)系（3）能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題．（4）了解直線與雙曲線的位置關(guān)系3.學(xué)習(xí)重點雙曲線的幾何性質(zhì)．4.學(xué)習(xí)難點雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線的理解．二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材，類比橢圓幾何性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)該研究雙曲線的哪些性質(zhì)?如何研究這些性質(zhì)?任務(wù)2完成的練習(xí)2.預(yù)習(xí)自測1.已知雙曲線的一個焦點為，則此雙曲線的實軸長為（）A． B． C． D．答案：C解析：考查雙曲線簡單幾何性質(zhì).2..已知雙曲線的離心率為，則（）A． B． C． D．答案：D解析：考查雙曲線簡單幾何性質(zhì).3.橢圓和雙曲線有共同的焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．不能確定答案：B解析：考查雙曲線簡單幾何性質(zhì).（二）課堂設(shè)計1.知識回顧1.焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點，其中；2.焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點其中.3.相交于兩點,則：或2.問題探究問題探究一雙曲線的幾何性質(zhì)根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它的性質(zhì)1．（1）從形的角度看：雙曲線位于直線和的外側(cè)，即在不等式與所表示的平面區(qū)域內(nèi).（2）從數(shù)的角度看：利用方程研究，雙曲線上點的坐標(biāo)滿足，故，即或；這說明雙曲線在不等式或與所表示的平面區(qū)域內(nèi).2.（1）從形的角度看：雙曲線與橢圓一樣，既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．（2）從數(shù)的角度看：在雙曲線方程中，以－x、－y代替x、y方程不變，因此雙曲線是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖象；也是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心叫做雙曲線的中心.3．雙曲線與它的對稱軸的兩個交點叫做雙曲線的頂點，雙曲線的頂點是，這兩個頂點之間的線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于,同時在另一條對稱軸上作點，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b，a、b分別是雙曲線的實半軸長和虛半軸長．4.雙曲線各支向外延伸時，與兩條直線y＝±eq\f(b,a)x逐漸接近，但永不相交，我們把這兩條直線稱為雙曲線的漸近線，方程為y＝±eq\f(b,a)x.5．雙曲線的半焦距c與實半軸長a的比叫做雙曲線的離心率，其取值范圍是．問題探究二能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題例1.求雙曲線的頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)、實軸長、虛軸長、離心率和漸近線方程．【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)】詳解：，頂點，焦點，實軸長，虛軸長離心率，在方程中將1換成0，得，即．∴為雙曲線的漸近線方程．變式引伸：已知雙曲線的漸近線方程為，并且焦點都在圓上，求雙曲線方程．解法一：（1）當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)雙曲線方程為，因為漸近線方程為，則．又由焦點在圓上知，所以，可求得，．所求雙曲線方程為．（2）當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)雙曲線方程為．由題設(shè)得，解得：．焦點在軸上時，雙曲線方程為．綜上所述，所求雙曲線方程為或．解法二：因為雙曲線的漸近線方程為．設(shè)雙曲線方程為．又焦點都在圓上，所以．則．解得．所求雙曲線方程為．即：．點拔：雙曲線與其漸近線的關(guān)系是：以為漸近線的雙曲線系方程為；雙曲線的漸近線方程為．例2.求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的方程．【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】詳解：設(shè)所求雙曲線方程為，由于雙曲線過點，有：．故雙曲線方程為，即：．點拔：與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為的形式．當(dāng)?shù)闹禐檎龝r，焦點在軸上，為負(fù)時焦點在軸上．例3.設(shè)雙曲線的半焦距為，直線過兩點，且原點到直線的距離為，求雙曲線的離心率．解：由直線過兩點，得的方程為．由點到的距離為，得．將代入，平方后整理得：．令，則：，解得或．由得，．故或．因為，故．所以應(yīng)舍去．故所求離心率為．點拔：此題易得出錯誤答案或，其原因是未注意到題設(shè)條件，從而離心率，而，應(yīng)舍去．問題探究三直線與雙曲線的位置關(guān)系1.設(shè)直線方程為，雙曲線，聯(lián)立方程得消去y并化簡①當(dāng)，即時，直線與漸近線平行，則直線與雙曲線只有一個公共點.②當(dāng)，即時，直線與雙曲線相交直線與雙曲線有兩個公共點；直線與雙曲線相切直線與雙曲線有且只有一個公共點直線與雙曲線相離直線與雙曲線無公共點2.弦長問題設(shè)直線方程為，雙曲線于點兩點，則同理可得3.雙曲線的通徑過雙曲線的焦點且垂直于實軸的直線被雙曲線截得的弦稱為雙曲線的通徑，通徑長為.例4.過點的直線與雙曲線相交于A、B兩點，且P是線段AB的中點，求直線AB的方程．【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系】詳解一：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為、．則：①②①－②得：．∵Ｐ是線段AB的中點，∴．∴．∴直線AB的斜率為2．∴直線AB的方程為．即．詳解二：設(shè)A，則B．∵A、B為雙曲線上的點，∴①②①－②得．整理得．例5.已知曲線C：及直線：．（1）若與C有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；（2）若與C交于A、B兩點，O是原點，且△OAB的面積為，求實數(shù)的值．【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系】詳解：(1)曲線Ｃ與直線有兩個不同的交點．則方程組有兩個不同的解，整理得：，此方程必有兩個不等的實根、．∴．解得且時，曲線C與直線有兩個不同的交點．(2)設(shè)交點A、B，直線與軸交于點D（0,－1）．∴．∵．∴，即．解得或．又∵且，∴或時，△OAB的面積為．3.課堂總結(jié)【知識梳理】橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別和聯(lián)系雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)有不少相同或類似之處，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，不能混淆，列表如下橢圓雙曲線方程圖形范圍對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點對稱軸：軸、軸對稱中心：原點頂點軸長長軸長，短軸長實軸長虛軸長離心率漸近線無有兩條，其方程為【重難點突破】1．雙曲線的漸近線(1)對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線的特有性質(zhì)，畫雙曲線時應(yīng)先畫出它的漸近線．(2)要明確雙曲線的漸近線是哪兩條直線，過雙曲線實軸的兩個端點與虛軸的兩個端點分別作對稱軸的平行線，它們圍成一個矩形，其兩條對角線所在直線即為雙曲線的漸近線．(3)“漸近”兩字的含義：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無限的．(4)根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的漸近線方程的方法：把標(biāo)準(zhǔn)方程中“”用“”替換得出的兩條直線方程，即雙曲線的漸近線方程為即；雙曲線的漸近線方程為，即.(5)漸近線是刻畫雙曲線的一個重要概念，根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程．漸近線為的雙曲線方程可設(shè)為：如果兩條漸近線的方程為那么雙曲線的方程可設(shè)為與雙曲線共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為2．雙曲線上兩個重要的三角形(1)實軸端點、虛軸端點及對稱中心構(gòu)成一個直角三角形，邊長滿足稱為雙曲線的特征三角形．(2)焦點過作漸近線的垂線，垂足為，則|亦是直角三角形，滿足也稱為雙曲線的特征三角形．3．學(xué)習(xí)雙曲線中應(yīng)注意的幾個問題：(1)雙曲線是兩支曲線，而橢圓是一條封閉的曲線；(2)雙曲線只有兩個頂點，離心率；(3)等軸雙曲線是一種比較特殊的雙曲線，其離心率為，實軸長與虛軸長相等，兩條漸近線互相垂直；(4)注意雙曲線中的等量關(guān)系與橢圓中的不同．4.隨堂檢測1.已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則（）A． B． C． D．答案：A解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】2.已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．答案：B解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】3.已知雙曲線的焦點、頂點恰好分別是橢圓的長軸端點、焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．答案：A解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】4.過雙曲線的右焦點F作直線交雙曲線于A、B兩點，若，則這樣的直線有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條．答案：C解析：【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性位置】5.已知分別為雙曲線的半實軸長、半虛軸長、半焦距，且方程無實根，則雙曲線離心率的取值范圍是()A． B．C． D．答案：D解析：【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)】由已知.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自在突破1.雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于()A.B.3C.4D.2答案：C解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】2．雙曲線的實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍，且一個頂點的坐標(biāo)為(0,2)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．答案：B解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】3．雙曲線與橢圓有相同的焦點，它的一條漸近線為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．答案：D解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，橢圓的幾何性質(zhì)】4．中心在原點，離心率為的雙曲線的焦點在軸上，則它的漸近線方程為（）A． B．C． D．答案：D解析：【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)】5.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.答案：A解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，圓的幾何性質(zhì)】6．雙曲線的兩焦點分別為，以為邊作等邊三角形，若雙曲線恰平分三角形的另兩邊，則雙曲線的離心率為()A．1＋eq\r(3) B．4＋2eq\r(3)C．2eq\r(3)－2 D．2eq\r(3)＋2解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】答案：A能力型師生共研7．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點P，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近方程為()A． B． C． D．答案：C解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】8.雙曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是______________．答案：解析：【知識點：直線與雙曲線的位置關(guān)系】9.設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是_________.答案：解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】10.求與雙曲線有共同的漸近線，且經(jīng)過點的雙曲線的方程．答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】設(shè)所求雙曲線方程為，由于雙曲線過點，有：．故雙曲線方程為，即：．探究型多維突破11.已知F1和F2是雙曲線的左，右焦點，P在雙曲線右支上，且，求雙曲線的離心率的取值范圍．答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】點在雙曲線右支上，故有所以當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號．所以即，雙曲線的離心率.所以雙曲線離心率的取值范圍為.12.設(shè)雙曲線：（）與直線：相交于不同的兩點、．(1)求雙曲線的離心率的取值范圍；(2)設(shè)直線與軸的交點為，且．求的值．答案：見解析解析：【知識點：直線與雙曲線的位置關(guān)系】(1)由與直線相交于不同的兩點、得方程：有兩個不同的實數(shù)解．消去并整理得．①所以解得且．雙曲線的離心率．∵且，∴且．(2)設(shè)，，．∵，∴由此得．由于、是方程①的兩根，且，所以，．消去得，由得．(四)自助餐1．雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．答案：C解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】2．已知點在雙曲線上，則到雙曲線焦點距離的最小值是（）A．9 B．3 C．2 D．無最大值和最小值答案：C解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】3．經(jīng)過點且與雙曲線僅有一個公共點的直線有（）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條答案：A解析：【知識點：直線與雙曲線的位置關(guān)系】4.若雙曲線的右支上一點到直線的距離為，則的值為（）A． B． C． D．答案：B解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】5.雙曲線的離心率e∈(1,2)，則b的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】6．已知雙曲線的離心率，A與F分別是左頂點和右焦點，B點的坐標(biāo)為，則∠ABF等于（）A． B． C． D．答案：B解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】7.若過雙曲線的右焦點，作直線與雙曲線的兩支都相交，則直線的傾斜角的取值范圍是______________.答案：解析：【知識點：直線與雙曲線的位置關(guān)系】8.雙曲線上有點，、是雙曲線的焦點，且，則△的面積是__________．答案：解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】9．已知為過雙曲線的一個焦點且垂直于實軸的弦，是另一個焦點，若，則雙曲線的離心率為__________．答案：解析：【知識點：雙曲線的幾何性質(zhì)】10.若雙曲線的漸近線方程為，且兩頂點間的距離為6，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：見解析解析：【知識點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)】設(shè)所求雙曲線方程為分討論，焦點在軸上雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點在軸上雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為11．已知雙曲線的中心在原點，焦點、在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點．（1