《橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）》教學(xué)設(shè)計

19/192.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）（名師：張遠(yuǎn)建）一、教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì).（2）明確橢圓中的幾何意義，以及之間的相互關(guān)系.（3）能利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)難點(diǎn)橢圓離心率的概念的理解及橢圓的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1預(yù)習(xí)教材，思考橢圓上的點(diǎn)的的取值范圍？橢圓具有怎樣的對稱性？與數(shù)軸的交點(diǎn)是什么？任務(wù)2完成的練習(xí)5，思考橢圓的扁平程度與那些量有關(guān)？2．預(yù)習(xí)自測1.橢圓的長軸長、短軸長、離心率依次是（）A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6．答案：B解析：橢圓的幾何性質(zhì)2.橢圓的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（－1，0）、（1，0） B．（－6，0）、（6，0） C．、 D．、．答案：D解析：橢圓的幾何性質(zhì)（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）橢圓的定義：平面內(nèi)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù)，即,當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡是橢圓（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為____焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為____其中a，b，c的關(guān)系為_________.（3）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，關(guān)于軸對稱的點(diǎn)2．問題探究問題探究一橢圓的幾何性質(zhì)●活動一設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，研究橢圓的范圍就是研究橢圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍．（1）從形的角度看：橢圓位于直線和所圍成的矩形框里．（2）從數(shù)的角度看：利用方程研究，易知，故，即；故，即．●活動二（1）從形的角度看：觀察橢圓的圖形可以發(fā)現(xiàn)，橢圓是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形．（2）從數(shù)的角度看：在橢圓方程中以分別代替，方程不變，∴橢圓既關(guān)于x軸對稱，又關(guān)于y軸對稱，從而關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心．●活動三如圖，橢圓與它的對稱軸共有四個交點(diǎn)，即和，這四個點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)，線段叫做橢圓的長軸，它的長等于2a；線段叫做橢圓的短軸，它的長等于2b.顯然，橢圓的兩個焦點(diǎn)在它的長軸_上．●活動四橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的長軸．用e表示，即.(1)離心率的范圍：(2)橢圓離心率的意義：橢圓離心率的變化刻畫了橢圓的扁平程度．當(dāng)e越接近于1時，c越接近于a，從而越小，因此橢圓越扁當(dāng)e越接近于0時，c越接近于0，從而越接近于a,因此橢圓越接近于圓；當(dāng)且僅當(dāng)時，，這時兩個焦點(diǎn)重合，圖象變?yōu)閳A．★▲問題探究二橢圓中的幾何意義，以及之間的相互關(guān)系例1.求橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)．【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】詳解：把原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程：．這里，所以．因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是和，兩個焦點(diǎn)分別是，橢圓的四個頂點(diǎn)是．點(diǎn)拔：解決這類問題關(guān)鍵是將所給方程正確地化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系求橢圓的幾何性質(zhì)．例2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)橢圓過點(diǎn)，離心率；(2)在軸上的一個焦點(diǎn)，與短軸兩個端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為8.【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：(1)若焦點(diǎn)在軸上，則，∵，，∴橢圓的方程為若焦點(diǎn)在軸上，則，∵解得.∴橢圓的方程為綜上可知橢圓方程為或.(2)設(shè)橢圓的方程為．如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊的中線(高)，且，故所求橢圓的方程為.點(diǎn)拔：利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，需要解決定位問題和定量問題.定位問題是由頂點(diǎn)、焦點(diǎn)可確定焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，不能確定的要分情況討論.定量問題可由長軸長、離心率、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)來確定.利用離心率確定a，b，c時，常用.例3.已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個焦點(diǎn)，A是一個頂點(diǎn)，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程．【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】詳解：∵橢圓的長軸長是6、且，∴點(diǎn)A不是長軸的端點(diǎn)（是短軸的端點(diǎn)）．∴．∴橢圓的方程是：或．點(diǎn)拔：△OFA是橢圓的特征三角形，它的兩直角邊長分別為、，斜邊的長為，∠OFA的余弦值是橢圓的離心率．問題探究三利用橢圓的幾何性質(zhì)解決橢圓的簡單問題●活動一求橢圓的離心率例4.為橢圓的兩個焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，求橢圓的離心率．【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的定義】解析由題目可獲取以下主要信息：①已知橢圓上兩點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的幾何關(guān)系．②求橢圓的離心率．解答本題的關(guān)鍵是把已知條件化為之間的關(guān)系．詳解：如圖所示，設(shè)，則.由橢圓定義得.所以.即.所以.又.在中，.即.所以.點(diǎn)拔：求橢圓的離心率的值，即求的值，解答這類題目的主要思路是將已知條件轉(zhuǎn)化為之間的關(guān)系．如特征三角形中邊邊關(guān)系、橢圓的定義、等關(guān)系都與離心率有直接聯(lián)系，同時，之間是平方關(guān)系，所以，在求值時，也常先考查它的平方值．●活動二橢圓中的最值問題例5.設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，為它的一個焦點(diǎn)，求的最大值和最小值．【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓的定義】詳解：設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，則由橢圓定義得：，，，，即，的最大值為，最小值為.點(diǎn)拔：橢圓上到某一焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)分別是長軸的兩個端點(diǎn)，應(yīng)掌握這一性質(zhì)．例6.若為過橢圓中心的弦，為橢圓的右焦點(diǎn)，則的面積最大值是多少？【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系】詳解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則：．因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓上，所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的最大值是．所以的最大值為．點(diǎn)拔：此題關(guān)鍵的地方是寫出過橢圓中心的弦與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后表示出相應(yīng)面積．3.課堂總結(jié)【知識梳理】依據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)填寫下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)焦距范圍對稱性關(guān)于x軸,y軸,坐標(biāo)原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)軸長軸長2a，短軸長2離心率【重難點(diǎn)突破】(1)根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一．本節(jié)就是根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來研究它的幾何性質(zhì)．其性質(zhì)可分為兩類：一類是與坐標(biāo)系無關(guān)的本身固有性質(zhì)，如長短軸長、焦距、離心率；一類是與坐標(biāo)系有關(guān)的性質(zhì)，如頂點(diǎn)、焦點(diǎn)．(2)通過對橢圓的范圍、對稱性、特殊點(diǎn)(頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心)、對稱軸及其他特性的討論從整體上把握曲線的形狀、大小和位置，進(jìn)而掌握橢圓的性質(zhì)，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意，圖形與方程對照、方程與性質(zhì)對照，通過數(shù)形結(jié)合的方式探究掌握橢圓的幾何性質(zhì)．(3)根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)解決實(shí)際問題時，關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，用代數(shù)知識解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程及等價轉(zhuǎn)化的思想方法．（4）如圖所示在中，，記則，越大，越小，橢圓越扁；越小，越大，橢圓越圓．4.隨堂檢測1．已知點(diǎn)在橢圓，則的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】2．橢圓的短軸的一個端點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離為5，焦點(diǎn)到橢圓中心的距離為3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．或B．或C．或 D．無法確定答案：C解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)】3.設(shè)橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2，過F1作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為()A.B.C．D.答案：D解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】設(shè)橢圓方程為如圖，∵，∴代入橢圓方程得，∴，∴，即，又∵，∴，∴，又，∴.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自在突破1．已知點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A.B.C．D．答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】2.若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則（）A.B.C． D．答案：B解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】3．橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A.B.C．2 D．4答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】4.已知橢圓的長軸長8，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）Ａ． B． 或C． D．或答案：D解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)】5．橢圓的一個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是______．答案：解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】6．橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，與離它較近的長軸端點(diǎn)的距離為，則此橢圓的方程為________________________.答案：解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)】能力型師生共研7．橢圓的兩個焦點(diǎn)與它的短軸的兩個端點(diǎn)是一個正方形的四個頂點(diǎn)，則橢圓離心率為()A.B.C. D.答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】8.已知的兩個定點(diǎn)為，且左焦點(diǎn)為是以為直角三角形，則橢圓的離心率為（）A.B.C. D.答案：B解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】9.以橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2所連線段為直徑的圓，恰好過短軸兩端點(diǎn)，則此橢圓的離心率e等于__________答案：解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與橢圓有相同的焦距，且離心率為．（2）長軸長是短軸長的倍，且經(jīng)過點(diǎn)．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)】（1）∵橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∴，∴該橢圓的焦距，．又∵，∴，．∴．∴所求橢圓的方程為：或．（2）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，由已知得，且橢圓過點(diǎn)，∴或，解得，或，，∴所求的橢圓方程為或．探究型多維突破11.已知A、B為橢圓C:的長軸的兩個端點(diǎn),P是橢圓C上的動點(diǎn),且的最大值是則實(shí)數(shù)m的值等于()A. B. C. D.答案：C解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】由橢圓性質(zhì)知,當(dāng)點(diǎn)P位于短軸的端點(diǎn)時取得最大值,則tan.12.設(shè)P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，求橢圓的離心率的取值范圍．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)】解法一：如下圖點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，由橢圓定義得，①在△F1PF2中，由余弦定理得.即.由①得，所以②.由①和②根據(jù)基本不等式，得.即，又，故，解得.又，所以該橢圓的離心率的范圍是.解法二：由解法一得出①，②.由①②可知，是方程的兩根．則有，即，所以.所以，又，所以該橢圓離心率e的范圍是.解法三：設(shè)點(diǎn)，則，.在△F1PF2中由余弦定理，得.化簡得，又因?yàn)?，即，解得，所以離心率的范圍是.解法四：設(shè)橢圓交軸于B1，B2兩點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P位于B1或B2處時，點(diǎn)P對兩焦點(diǎn)的張角最大，故，則.在Rt△OB1F2中，所以離心率的取值范圍是.[點(diǎn)評]本題根據(jù)橢圓定義及性質(zhì)從不同角度應(yīng)用了四種方法求橢圓離心率的范圍，法一應(yīng)用了基本不等式，法二構(gòu)造一元二次方程，應(yīng)用了方程思路，可謂奇思妙解，法三通過焦半徑公式搭建起應(yīng)用x范圍的橋梁，法四應(yīng)用了極端思想使問題迅速得解，由此可見，在橢圓中建立不等關(guān)系的途徑或方法還是比較多的，平時解題時需要根據(jù)已知條件靈活選擇方法，達(dá)到快速而又準(zhǔn)確地解答題目的目的．四、自助餐1.已知點(diǎn)（3，2）在橢圓上，則（）．A．點(diǎn)（－3，－2）不在橢圓上B．點(diǎn)（3，－2）不在橢圓上C．點(diǎn)（－3，2）在橢圓上 D．無法判斷點(diǎn)（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在橢圓上答案：C解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】2.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸之和為10，焦距為4eq\r(5)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)】3．橢圓上點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離（）．A．最大值為5，最小值為4 B．最大值為10，最小值為8C．最大值為10，最小值為6 D．最大值為9，最小值為1答案：D解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】點(diǎn)評：若橢圓上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離最小，則P點(diǎn)是橢圓的長軸離焦點(diǎn)近的端點(diǎn)，若橢圓上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離最大，則P點(diǎn)是橢圓的長軸離焦點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)4.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，若長軸長為18，且兩個焦點(diǎn)恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是（）．A． B． C． D．答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)】5．橢圓的離心率為，則k的值為()A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 D.eq\f(19,25)或21答案：C解析：【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】6.點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，點(diǎn)、分別在圓與上運(yùn)動，則的最大值是（）A