13截一個(gè)幾何體(備作業(yè))2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（北師大版）

1.3截一個(gè)幾何體一、單選題1．用一個(gè)平面去截正方體，截面形狀不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形．據(jù)此選擇即可．解：正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形．因此不可能是八邊形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的應(yīng)用，熟練掌握正方體的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．用一個(gè)平面分別截下列幾何體，不能得到三角形截面的幾何體是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】看所給選項(xiàng)的截面能否得到三角形即可．解：A、長(zhǎng)方體的截面可能是三角形，或四邊形，或五邊形，或六邊形，不符合題意；B、圓錐的截面可能是圓，三角形，不符合題意；C、三棱柱的截面可能是三角形，長(zhǎng)方形，不符合題意；D、圓柱的截面可能是圓，長(zhǎng)方形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查常見幾何體的截面的形狀，注意長(zhǎng)方體的截面經(jīng)過幾個(gè)面就可得到幾邊形．3．用一個(gè)平面去截下列幾何體，截得的平面圖形可能是三角形的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】根據(jù)三棱柱、圓錐、圓柱、長(zhǎng)方體的形狀特點(diǎn)判斷即可．解：用一個(gè)平面截下列幾何體，截面的形狀可能是三角形的是三棱柱、圓錐和長(zhǎng)方體．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是截一個(gè)幾何體，關(guān)鍵明確截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．對(duì)于這類題，最好是動(dòng)手動(dòng)腦相結(jié)合，親自動(dòng)手做一做，從中學(xué)會(huì)分析和歸納的思想方法．4．用一平面去截下列幾何體，其截面可能是長(zhǎng)方形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】根據(jù)圓柱，長(zhǎng)方體、圓錐、圓柱、四棱柱、圓臺(tái)的形狀判斷即可．【詳解】解：圓錐、圓臺(tái)不可能得到長(zhǎng)方形截面，能得到長(zhǎng)方形截面的幾何體有：圓柱、長(zhǎng)方體、四棱柱一共有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的截面，關(guān)鍵要理解面與面相交得到線，注意：截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．5．一個(gè)物體的外形是長(zhǎng)方體（如圖（1）），其內(nèi)部構(gòu)造不祥．用平面橫向自上而下截這個(gè)物體時(shí)，得到了一組截面，截面形狀如圖（2）所示，這個(gè)長(zhǎng)方體的內(nèi)部構(gòu)造是（）A．圓柱 B．球 C．圓錐 D．圓柱或球【答案】C【解析】觀察截面形狀可發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)方體內(nèi)部的圓自上而下由大圓逐漸變成小圓、點(diǎn)，符合圓錐截面的性質(zhì)．【詳解】解：觀察截面形狀可知，這個(gè)長(zhǎng)方體的內(nèi)部構(gòu)造是長(zhǎng)方體中間有一圓錐狀空洞，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了截一個(gè)幾何體，解答的關(guān)鍵是熟悉常見的幾何體的截面，由截面的形狀想象復(fù)雜幾何體的組成．6．用一個(gè)平面去截：①圓錐；②正方體；③圓柱；④五棱柱，能得到截面是三角形的幾何體是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】根據(jù)題意及圓錐、正方體、圓柱、五棱柱可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】①圓錐沿軸截面截掉可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；②正方體裁掉一個(gè)角可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；③圓柱的截面只能是圓、長(zhǎng)方體、橢圓，不能得到三角形的截面；④五棱柱過頂點(diǎn)和兩個(gè)棱作截面為三角形，故能得到截面是三角形，綜上，能得到截面是三角形的幾何體為：①圓錐，②正方體，④五棱柱，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何初步認(rèn)識(shí)，熟練掌握幾何體的平面展開圖是解題的關(guān)鍵．7．用平面截一個(gè)正方體，可能截出的邊數(shù)最多的多邊形是（）A．七邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形【答案】B【解析】正方體的截面，最多可以經(jīng)過6個(gè)面，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】正方體有六個(gè)面，截面與其六個(gè)面相交最多為六邊形，即可能截出的邊數(shù)最多的多邊形是六邊形，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查正方體的截面，分析截面的邊數(shù)時(shí)，主要是看截線可能經(jīng)過幾個(gè)面，即是幾邊形．8．如圖，將正方體沿面ABC截下，則截面的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【解析】根據(jù)正方體的6個(gè)面大小相等，形狀相同解答即可．【詳解】解：∵方體的6個(gè)面大小相等，形狀相同，∴，∴截面的形狀為等邊三角形．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了截一個(gè)幾何體：用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截出的面叫做截面．9．如圖①是圓柱被一個(gè)平面斜切后得到的幾何體，類比梯形面積公式的推導(dǎo)方法(如圖②)，推導(dǎo)圖①中的幾何體的體積為()A．60π B．63π C．72π D．84π【答案】B【解析】由圖形可知：上部分是一個(gè)半圓柱底面直徑是6，高為86=2，；下部分是一個(gè)高為6，底面直徑是6的圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式：v=sh，把數(shù)據(jù)代入公式解答即可.【詳解】解：π（）2×（86）×+π（）2×6，=9π+54π=63π．故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查組合圖形的體積，首先分析圖形是由幾部分組成，然后根據(jù)相應(yīng)的體積公式解答即可.10．用一個(gè)平面去截正方體，所得截面是三角形，留下較大的幾何體一定有（）A．7個(gè)面 B．15條棱 C．7個(gè)頂點(diǎn) D．10個(gè)頂點(diǎn)【答案】A【解析】【解析】用一個(gè)平面截正方體，若所得的截面是一個(gè)三角形，此時(shí)剩下的較大的幾何體一定比正方體多了一個(gè)面，如果過三個(gè)面截得的截面是三角形，那么就能多出3條棱和兩個(gè)頂點(diǎn)，如果過3個(gè)頂點(diǎn)截得的截面是三角形，那么就能多出0條棱和兩個(gè)頂點(diǎn)．【詳解】用一個(gè)平面截正方體，若所得的截面是一個(gè)三角形，此時(shí)剩下的較大的幾何體一定比正方體多了一個(gè)面，如果過三個(gè)面截得的截面是三角形，那么就能多出3條棱和兩個(gè)頂點(diǎn)，如果過3個(gè)頂點(diǎn)截得的截面是三角形，那么就能多出0條棱和兩個(gè)頂點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查截一個(gè)幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握立體圖形.11．下面說法，錯(cuò)誤的是（）A．一個(gè)平面截一個(gè)球，得到的截面一定是圓B．一個(gè)平面截一個(gè)正方體，得到的截面可以是五邊形C．棱柱的截面不可能是圓D．甲、乙兩圖中，只有乙才能折成正方體【答案】D【解析】選項(xiàng)A,B,C均正確，D選項(xiàng)中，甲乙都可以折成正方體.所以選D.12．一個(gè)正方體鋸掉一個(gè)角后，頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．7個(gè)或8個(gè) B．8個(gè)或9個(gè)C．7個(gè)或8個(gè)或9個(gè) D．7個(gè)或8個(gè)或9個(gè)或10個(gè)【答案】D【解析】如下圖，一個(gè)正方體鋸掉一個(gè)角，存在以下四種不同的情形，新的幾何體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為：7個(gè)、8個(gè)、9個(gè)或10個(gè).故選D.二、填空題13．用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面形狀為長(zhǎng)方形，則這個(gè)幾何體可能為：①正方體；②三棱錐；③圓柱；④圓錐__________（寫出所有正確結(jié)果的序號(hào)）．【答案】①③【解析】估計(jì)正方體、三棱錐、圓柱、圓錐的幾何體形狀逐項(xiàng)分析解題．【詳解】解：①用一個(gè)平面去截正方體，截面形狀可能是長(zhǎng)方形，故①符合題意；②用一個(gè)平面去截三棱錐，截面形狀不可能是長(zhǎng)方形，故②不符合題意；③用一個(gè)平面去截圓柱，截面形狀可能是長(zhǎng)方形，故③符合題意；④用一個(gè)平面去截圓錐，截面形狀不可能是長(zhǎng)方形，故④不符合題意，故正確結(jié)果的序號(hào)為：①③，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查用一個(gè)平面去截一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體所得到的平面圖形，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．14．如圖所示，截去正方體的一角變成一個(gè)多面體，這個(gè)多面體有____條棱，有____個(gè)頂點(diǎn)．【答案】127【解析】截去正方體一角變成一個(gè)多面體，這個(gè)多面體多了一個(gè)面、棱不變，少了一個(gè)頂點(diǎn)．【詳解】仔細(xì)觀察圖形，正確地?cái)?shù)出多面體的棱數(shù)及頂點(diǎn)數(shù)，它們分別是12，7，故填：12，7．【點(diǎn)睛】本題結(jié)合截面考查多面體的相關(guān)知識(shí)．對(duì)于一個(gè)多面體：頂點(diǎn)數(shù)＋面數(shù)?棱數(shù)＝2．15．如圖，所示的正方體豎直截取了一個(gè)“角”，被截取的那個(gè)“角”的體積是______．【答案】15cm3【解析】根據(jù)題意可知被截取的一部分為一個(gè)直三棱柱，然后確定出底面積為和高，然后求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知被截取的一部分為一個(gè)直三棱柱，

三棱柱的體積=×2×3×5=15（cm3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直三棱柱體積的計(jì)算，判斷出被截取的幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵．16．用平面去截正方體，截面最多是______邊形，去截n棱柱，截面最多是________邊形．【答案】六n+2【解析】長(zhǎng)方體有六個(gè)面，用平面去截長(zhǎng)方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形，最少與三個(gè)面相交得三角形；n棱柱有n+2個(gè)面截面最多是n+2邊形．【詳解】解：正方體有六個(gè)面，用平面去截正方體時(shí)最多與六個(gè)面相交得六邊形；n棱柱有n+2個(gè)面，截面最多是n+2邊形．故答案為：六；n+2．【點(diǎn)睛】此題考查用平面截幾何體，截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)．17．下列幾何體的截面是____．【答案】長(zhǎng)方形．【解析】根據(jù)截面的形狀，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)題意，截面的形狀是長(zhǎng)方形，故答案是：長(zhǎng)方形．【點(diǎn)睛】考察截一個(gè)幾何體截面的形狀，讀懂題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在一密閉的圓柱形玻璃杯中裝一半的水，水平放置時(shí)，水面的形狀是______．【答案】長(zhǎng)方形【解析】根據(jù)垂直于圓柱底面的截面是長(zhǎng)方形，可得答案．【詳解】解：由水平面與圓柱的底面垂直，得

水面的形狀是長(zhǎng)方形．

故答案為：長(zhǎng)方形．【點(diǎn)睛】本題考查了認(rèn)識(shí)立體圖形，垂直于圓柱底面的截面是長(zhǎng)方形，平行圓柱底面的截面是圓形．19．對(duì)長(zhǎng)方體如圖所示那樣截去一角后余下的幾何體有________個(gè)頂點(diǎn)、_______條棱、_______個(gè)面．【答案】7127【解析】根據(jù)截一個(gè)立體圖形的知識(shí)點(diǎn)判斷即可；【詳解】根據(jù)圖形可得截去一角后余下的幾何體有7個(gè)頂點(diǎn)、12條棱、7個(gè)面．故答案是：7，12，7．【點(diǎn)睛】本題主要考查了截一個(gè)立體圖形的知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．一塊長(zhǎng)方體的木塊，從左面和右面分別裁去長(zhǎng)為2厘米和5厘米的長(zhǎng)方體，成為一個(gè)正方體后，表面積減少了84平方厘米，那么原來長(zhǎng)方體的體積為_______．【答案】90立方厘米【解析】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為厘米，根據(jù)題意列方程可求得x的值，進(jìn)而得到原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的值，再計(jì)算體積即可.【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為厘米，依題意得，解得，則原長(zhǎng)方體的寬為3厘米，高為3厘米，長(zhǎng)為厘米，則立方厘米．【點(diǎn)睛】此題主要考查長(zhǎng)方體的表面積公式、體積公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟記公式．三、解答題21．例：（1）寫出下列立體圖形的名稱．（）（）（）（）（）（2）把一個(gè)正方體用刀切去一部分，能否得到正方體、長(zhǎng)方體、三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱？【答案】（1）球體，四棱錐，六棱柱，三棱柱，圓柱;（2）能得到長(zhǎng)方體、三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱；得不到正方體【解析】試題分析：（1）第一個(gè)為球體；第二個(gè)有一個(gè)且底面是四邊形，側(cè)面均為三角形，所以是四棱錐；第三個(gè)有兩個(gè)底面是六邊形，是六棱柱；第四個(gè)有兩個(gè)底面是三角形，側(cè)面是平行四邊形，所以是三棱柱；最后一個(gè)是圓柱．（2）一個(gè)正方體用刀切去一部分是不能得到正方體的，可以得到三棱錐、三棱柱、四棱柱、五棱柱，長(zhǎng)方體．如圖所示，22．把一個(gè)正方體用刀切去一塊，能否還得到正方體？長(zhǎng)方體、三棱柱、三棱錐、四棱柱、五棱柱呢？【答案】正方體不能.其它都可能.【解析】試題分析：如圖所示：為幾種切法。分別可以得到四棱柱，三棱柱，三棱錐，五棱柱，長(zhǎng)方體。解：不能得到正方體，當(dāng)截面平行正方體一面截取正方形時(shí)可以截得長(zhǎng)方體，

把正方體按面對(duì)角線垂直截取正方體可以得到三棱柱，

經(jīng)過正方體三個(gè)相鄰的頂點(diǎn)截取可以得到三棱錐，

經(jīng)過兩個(gè)相對(duì)面棱上中點(diǎn)截取可以得到四棱柱，

經(jīng)過上下兩面棱的中截取可以得到五棱柱．23．(1)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到圓形的截面的幾何體有？(2)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到三角形的截面的幾何體有？【答案】（1）球，圓柱，圓錐；（2）三棱柱，三棱錐，正方體.【解析】（1）根據(jù)截面是圓，可得幾何體是旋轉(zhuǎn)體，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到的幾何體，可得答案；（2）根據(jù)截面與幾何體的三個(gè)面相交，可得截面是三角形．【詳解】(1)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到圓形的截面的幾何體有球，圓柱，圓錐；(2)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，可以得到三角形的截面的幾何體有三棱柱，三棱錐，正方體，故答案為：（1）球，圓柱，圓錐；（2）三棱柱，三棱錐，正方體.【點(diǎn)睛】此題考查截一個(gè)幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握?qǐng)D形的形狀結(jié)構(gòu).24．如圖所示是一個(gè)圓柱體，它的底面半徑為3cm，高為6cm．（1）請(qǐng)求出該圓柱體的表面積；（2）用一個(gè)平面去截該圓柱體，你能截出截面最大的長(zhǎng)方形嗎？截得的長(zhǎng)方形面積的最大值為多少？【答案】（1）；（2）能截出截面最大的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形面積的最大值為：【解析】（1）用圓柱上下底面積加上側(cè)面積即可；（2）當(dāng)截得的面積最大時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為底面直徑，寬為6，可得面積最大值.【詳解】解：（1）圓柱體的表面積為：；；（2）能截出截面最大的長(zhǎng)方形．該長(zhǎng)方形面積的最大值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱表面積的求法和截幾何體，根據(jù)截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān)，得出這個(gè)圓柱體的截面面積最大是長(zhǎng)方形是本題的關(guān)鍵．25．用平面去截正方體.（1）截面形狀能是三角形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.（2）截面形狀能是長(zhǎng)方形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.（3）截面形狀能是梯形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.（4）截面形狀能是五邊形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.（5）截面形狀能是六邊形嗎？如果能，請(qǐng)畫出一種截法.（6）截面形狀能是圓嗎？為什么？【答案】（1）能，見解析；（2）能，見解析；（3）能，見解析；（4）能，見解析；（5）能，見解析；（6）不能，見解析.【解析】畫出一個(gè)正方體，自己試著用平面去截，找出截面為三角形的情況，畫出即可，（2）（3）（4），參照（1）的解答，分別畫出對(duì)應(yīng)的幾何體【詳解】解：（1）能，如圖1所示.（2）能，如圖2所示.（3）能，如圖3所示.（4）能，如圖4所示.（5）能，如圖5所示.圖1圖2圖3圖4圖5（6）不能，因?yàn)檎襟w的各面都是平面，所以截正方體時(shí)，得到的交線都是直線，而圓是曲線圍成的，所以截面形狀不能是圓.【點(diǎn)睛】此題考查截一個(gè)幾何體，解題關(guān)鍵在于掌握截面的形狀既與被截的幾何體有關(guān).26．如圖所示的是一個(gè)三棱柱，用一個(gè)平面先后三次截這個(gè)三棱柱．截得的截面能否是三個(gè)與該三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，畫圖說明你的截法．截得的截面能否是三個(gè)長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形？若能，畫圖說明你的截法；截得的截面能否是梯形？若能．畫圖說明你的一種截法．【答案】（1）能，圖示見解析；（2）能，圖示見解析；（3）能，圖示見解析.【解析】【解析】（1）截面與地面平行時(shí)，截面的形狀與地面相同；

（2）用垂直于地面的平面截幾何體得到的截面可以是三個(gè)長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形；

（3）用一個(gè)斜面截掉棱柱的一條棱得到的平面是梯形．【詳解】能；如圖①所示；能；如圖②所示；能；如圖③所示．【點(diǎn)睛】考查截一得到的截面幾何體，解決本題的關(guān)鍵是理解截面經(jīng)過三棱柱的幾個(gè)面，得到的截面形狀就是幾邊形.27．如圖①是一個(gè)正方體，不考慮邊長(zhǎng)的大小，它的平面展開圖為圖②，四邊形APQC是截正方體的一個(gè)截面．問截面的四條線段AC，CQ，QP，PA分別在展開圖的什么位置上？【答案】線段AC，CQ，QP，PA分別在展開圖的面ABCD，BCGF，EFGH，EFBA上.【解析】【解析】把立體圖形表面的線條畫在平面展開圖上，找到四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置這個(gè)關(guān)，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面即可．【詳解】根據(jù)四邊形所在立體圖形上的位置，確定其頂點(diǎn)所在的點(diǎn)和棱，以及四條邊所在的平面：頂點(diǎn)：A?A，C?C，P在EF邊上，Q在GF邊上．邊AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．如圖：【點(diǎn)睛】此題考查正方體的展開圖，解決此題的關(guān)鍵是抓住四邊形APQC四個(gè)頂點(diǎn)所在的位置，再進(jìn)一步確定四邊形的四條邊所在的平面就可容易地畫出．28．如圖，用一個(gè)平面去截一個(gè)正方體，如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐，請(qǐng)回答下列問題：(1)截面一定是什么圖形？(2)剩下的幾何體可能有幾個(gè)頂點(diǎn)？【答案】(1)三角形；(2)剩下的幾何體可能有7個(gè)頂點(diǎn)、或8個(gè)頂點(diǎn)、或9個(gè)頂點(diǎn)、或10個(gè)頂點(diǎn).【解析】【解析】（1）如果截去的幾何體是一個(gè)三棱錐，那么截面一